考点05三角函数（20种题型8个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

这是一份考点05三角函数（20种题型8个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用），共32页。

考点05三角函数（20种题型8个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五.刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．选择题（共2小题）
1．（2021•上海）已知f（x）＝3sinx+2，对任意的x1∈[0，]，都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，则下列选项中，θ可能的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020•上海）“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
二．填空题（共5小题）
3．（2022•上海）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为 　 　．
4．（2022•上海）若tanα＝3，则tan（α+）＝　 　．
5．（2021•上海）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos（nθ+φ）＜，则θ的最小值是　 　．
6．（2020•上海）已知3sin2x＝2sinx，x∈（0，π），则x＝　 　．
7．（2020•上海）函数y＝tan2x的最小正周期为　 　．



三．解答题（共1小题）
8．（2020•上海）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．
（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；
（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．






二、考点清单

一．任意角的概念
一、角的有关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）．
【解题方法点拨】
角的概念注意的问题
注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
二．终边相同的角
终边相同的角：
k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}
【解题方法点拨】
终边相同的角的应用
（1）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
三．象限角、轴线角
在直角坐标系内讨论角
（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．
【解题方法点拨】
（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
（2）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
四．弧度制
1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2．弧度制
把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
【解题方法点拨】
角度制与弧度制不可混用
角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
五．弧长公式
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．

六．扇形面积公式
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
七．任意角的三角函数的定义
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
八．三角函数线
几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．

九．三角函数的定义域
【概念】
函数的定义域指的是函数在自变量x的取值范围，通俗的说就是使函数有意义的x的范围．三角函数作为一类函数，也有定义域，而且略有差别．
【三角函数的定义域】
以下所有的k都属于整数．
①正弦函数：表达式为y＝sinx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣，2kπ+]单调递增，其他区间单调递减．
②余弦函数：表达式为y＝cosx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣π，2kπ]单调递增，其他区间单调递减．
③正切函数：表达式为y＝tanx；x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递增．
④余切函数：表达式为y＝cotx，x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递减．
⑤正割函数：表达式为y＝secx，x∈（2kπ﹣，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+），有secx•cosx＝1．
⑥余割函数：表达式为y＝cscx，x∈（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π），有cscx•sinx＝1．
【考点点评】
这是一个概念，主要是熟记前面四种函数的定义域，特别是他们各自的单调区间和各自的周期，在书写的时候一定不要忘了补充k∈Z．
十．三角函数值的符号
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
十一．三角函数的周期性
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
十二．诱导公式
【概述】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
【公式】
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx； sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx
②余弦函数：表达式为y＝cosx；
有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝cotx；
cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（﹣x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．
【应用】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α．
公式六：sin＝cos_α，cos＝﹣sin_α
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cos θ）2＝1±2sin θcosθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
十三．运用诱导公式化简求值
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
十四．正弦函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
十五．正弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
十六．正弦函数的奇偶性和对称性
【正弦函数的对称性】
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．
十七．余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：

（k∈Z）；
递减区间：

（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
十八．余弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
十九．正切函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ+，2kπ+]
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
二十．正切函数的单调性和周期性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
【正切函数的周期性】
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
二十一．正切函数的奇偶性与对称性
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
二十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤

两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
二十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
二十四．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
二十五．同角三角函数间的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
二十六．两角和与差的三角函数
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
二十七．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
二十八．半角的三角函数
【半角的三角函数】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．
二十九．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
三十．三角函数中的恒等变换应用
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝cotα．
公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
三十一．三角函数应用
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
三十二．解三角形
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．

7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccosA
b2＝a2+c2﹣2accosB
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosA＝
cosB＝
cosC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a

面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝

sinC＝

三、题型方法

一．弧度制（共1小题）
1．（2023•青浦区二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转θ（0≤θ≤π）弧度，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为 　 　．
二．扇形面积公式（共3小题）
2．（2023•徐汇区校级三模）已知扇形圆心角α＝60°，α所对的弧长l＝6π，则该扇形面积为 　 　．
3．（2023•徐汇区校级三模）已知一个半径为4的扇形圆心角为θ（0＜θ＜2π），面积为2π，若tan（θ+φ）＝3，则tanφ＝　 　．
4．（2023•奉贤区校级模拟）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为　 　cm2．

三．任意角的三角函数的定义（共5小题）
5．（2023•徐汇区二模）若角α的终边过点P（4，﹣3），则＝　 　．
6．（2023•浦东新区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，其终边经过点P（1，2），则sinα＝　 　．
7．（2023•普陀区校级三模）已知角α的终边过点P（﹣1，2），则tanα的值为 　 　．
8．（2023•杨浦区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，A（，）在以原点O为圆心半径等1的圆上，将射线OA绕原点O逆时针方向旋转α后交该圆于点B，设点B的横坐标为f（α），纵坐标g（α）．
（1）如果sinα＝m，0＜m＜1，求f（α）+g（α）的值（用m表示）；
（2）如果，求f（α）•g（α）的值．


9．（2023•杨浦区校级三模）已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且，则x的值是　 　．
四．三角函数的周期性（共8小题）
10．（2023•嘉定区二模）函数y＝sin2x的最小正周期是　 　．
11．（2023•普陀区校级模拟）记函数的最小正周期为T．若，且，则ω＝（　　）
A． B． C． D．
12．（2023•黄浦区二模）函数y＝4cos2x+3的最小正周期为 　 　．
13．（2023•上海模拟）函数y＝sin2（πx）的最小正周期为 　 　．
14．（2023•奉贤区二模）下列函数中，以π为最小正周期且在区间单调递增的是（　　）
A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝|cosx| D．f（x）＝|sinx|
15．（2023•松江区校级模拟）已知函数y＝sin（2ωx+φ），（ω＞0）的最小正周期为1，则ω＝　 　．
16．（2023•宝山区校级三模）已知函数，则函数f（x）的最小正周期是 　 　．
17．（2023•长宁区二模）（1）求简谐振动y＝sinx+cosx的振幅、周期和初相位φ（φ∈[0，2π））；
（2）若函数在区间（0，m）上有唯一的极大值点，求实数m的取值范围；
（3）设a＞0，f（x）＝sinax﹣asinx，若函数y＝f（x）在区间（0，π）上是严格增函数，求实数a的取值范围．







五．运用诱导公式化简求值（共1小题）
18．（2023•奉贤区校级三模）已知，则＝　 　．
六．正弦函数的图象（共3小题）
19．（2023•青浦区校级模拟）已知f（x）＝sin2x，关于该函数有下列四个说法：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（x）在[﹣，]上单调递增；
③当x∈[，]时，f（x）的取值范围为[﹣，]；
④f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（2023•徐汇区校级三模）设函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　）
A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]
21．（2023•黄浦区校级模拟）已知函数，其中ω＞0，若f（x）在区间上恰有2个零点，则ω的取值范围是 　 　．
七．正弦函数的单调性（共5小题）
22．（2023•奉贤区校级模拟）已知w＞0，函数在区间上单调递减，则w的取值范围是（　　）
A． B．（0，2] C． D．
23．（2023•黄浦区校级三模）已知在上是严格增函数，且该函数在上有最小值，那么φ的取值范围是 　 　．
24．（2023•长宁区校级三模）已知．
（1）求方程f（x）＝0的解集；
（2）求函数y＝f（x）在[0，π]上的单调增区间．



25．（2023•黄浦区模拟）设a∈R，f（x）＝sin2x+acosx．
（1）是否存在a使得y＝f（x）为奇函数？说明理由；
（2）当a＜﹣4时，求证：函数y＝f（x）在区间上是严格增函数．





26．（2023•黄浦区校级三模）已知函数f（x）＝sinxcosx﹣sin2x，x∈R．
（1）若函数f（x）在区间[a，]上递增，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，求点Q的坐标．








八．正弦函数的奇偶性和对称性（共1小题）
27．（2023•浦东新区模拟）设（其中），若点为函数y＝f（x）图像的对称中心，B，C是图像上相邻的最高点与最低点，且|BC|＝4，则下列结论正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）的对称轴方程为
B．函数的图像关于坐标原点对称
C．函数y＝f（x）在区间（0，2）上是严格增函数
D．若函数y＝f（x）在区间（0，m）内有5个零点，则它在此区间内有且有2个极小值点
九．余弦函数的图象（共1小题）
28．（2023•杨浦区二模）若存在实数φ，使函数f（x）＝cos（ωx+φ）﹣在x∈[π，3π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为 　 　．
一十．余弦函数的单调性（共1小题）
29．（2023•杨浦区校级模拟）函数y＝2cosx的严格减区间为 　 　．
一十一．正切函数的图象（共1小题）
30．（2023•宝山区校级模拟）函数y＝tan（x﹣）的部分图象如图所示，则（+）•＝　 　．

一十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题）
31．（2023•杨浦区校级三模）将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着x轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（　　）
A． B． C． D．
32．（2023•宝山区校级模拟）已知，函数y＝f（x），x∈R的最小正周期为π，将y＝f（x）的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则φ的值是 　 　．
33．（2023•徐汇区校级模拟）将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ （0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1、x2，有|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝　 　．
34．（2023•黄浦区二模）若函数y＝f（x）的图像可由函数的图像向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得到，且函数y＝f（x）在区间上是严格减函数，则φ＝　 　．
一十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共2小题）
35．（2023•浦东新区校级三模）函数在一个周期内的部分取值如表：
x





f（x）
a
1
a
﹣a
﹣1
则a＝　 　．
36．（2023•嘉定区模拟）已知A∈R，实数ω＞0，，函数y＝f（x）的部分图像如图所示，若该函数的最小正零点是，则ω＝　 　．

一十四．三角函数的最值（共6小题）
37．（2023•金山区二模）若函数（常数ω＞0）在区间（0，π）没有最值，则ω的取值范围是 　 　．
38．（2023•闵行区校级二模）若函数f（x）＝sin（x+φ）+cosx的最小值为﹣2，则常数φ的一个取值为 　 　．
39．（2023•松江区二模）已知，则的最小值为 　 　．
40．（2023•嘉定区校级三模）函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，的值域是 　 　．
41．（2023•杨浦区校级模拟）已知x，y∈R，则表达式cos2x+cos2y﹣cos（xy）（　　）
A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．既无最大值，也无最小值

42．（2023•徐汇区校级模拟）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在上的最大值与最小值．










一十五．同角三角函数间的基本关系（共3小题）
43．（2023•宝山区校级模拟）“sinα＝0”是“cosα＝1”的（　　）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
44．（2023•静安区二模）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则cosα＝　 　．
45．（2023•宝山区校级模拟）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝　 　．
一十六．两角和与差的三角函数（共5小题）
46．（2023•虹口区二模）已知x是第二象限的角，且，则＝　 　．
47．（2023•黄浦区校级三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边记作a、b、c．已知，，则B﹣C＝　 　．
48．（2023•松江区模拟）已知函数，且，则α+β＝　 　．
49．（2023•普陀区校级三模）设函数，其中0＜ω＜2．
（1）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调增区间；
（2）若函数f（x）图像在上存在对称轴，求ω的取值范围．







50．（2023•徐汇区校级三模）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2），赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时P点的位置．






一十七．二倍角的三角函数（共4小题）
51．（2023•徐汇区校级三模）已知，则＝（　　）
A． B． C． D．
52．（2023•松江区二模）已知，且，则tan2θ＝　 　．
53．（2023•浦东新区模拟）已知角x在第二象限，且，则tan2x＝　 　．
54．（2023•宝山区校级模拟）已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y＝f（x）图象向右平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，求方程g（x）＝1的解．






一十八．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题）
55．（2023•徐汇区校级模拟）已知α为锐角，且cos（+α）＝﹣，则tanα＝　 　．
一十九．三角函数中的恒等变换应用（共3小题）
56．（2023•虹口区二模）对于函数，给出下列结论：
（1）函数y＝f（x）的图像关于点对称；
（2）函数y＝f（x）在区间上的值域为；
（3）将函数y＝f（x）的图像向左平移个单位长度得到函数y＝﹣cos2x的图像；
（4）曲线y＝f（x）在处的切线的斜率为1．
则所有正确的结论是（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）
57．（2023•宝山区二模）已知函数．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）﹣m＝0在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．





58．（2023•嘉定区校级三模）若关于x的方程2sin2x﹣sin2x+m﹣1＝0在（，π）上在实数根，则实数m的取值范围是 　 　．
二十．三角函数应用（共2小题）
59．（2023•静安区二模）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“SkyRing”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮．摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野．游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1+t2的最小值为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24




60．（2023•奉贤区校级三模）已知扇形OAB的半径为1，，P是圆弧上一点（不与A，B重合），过P作PM⊥OA，PN⊥OB，M，N为垂足．​
（1）若，求PN的长；
（2）设∠AOP＝x，PM，PN的线段之和为y，求y的取值范围．







四、易错分析

易错1：忽视角的范围致错
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于(　 )
A．－ B．－ C. D.
2．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________．
3．已知θ∈(0，π)，tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
4．在△ABC中，若C＝3B，则的取值范围为(　 )
A．(0,3) B．(1,3) C．(1，) D．(，3)
易错2：对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负
5．化简：2＋＝(　 )
A．4cos 4 B．－2sin 4－4cos 4
C．4sin 4 D．2sin 4+4cos 4

6．若<θ<，则等于(　 )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
易错3：三角函数图象左右平移时忽视自变量x的系数致错
7．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　 )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
8．要得到y＝cos的图象，只需将y＝sinx的图象(　 )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
易错4：涉及到整数k的问题，忽视对k的讨论致错
9．已知角α为第一象限角，则是第________象限角．
10．(忽视对k的讨论)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
易错5：含参问题忽视对参数的讨论致错
11．已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α＝________.
易错6：三角函数的单调性问题中，忽视自变量x的系数为负值致错
12．函数f(x)＝sin的单调递增区间为________．
易错7：判断三角形形状时考虑不全致错
13. 已知在△ABC中，三个内角为A，B，C，sin 2A＝sin 2B，则△ABC是(　 )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
易错8：忽视正切函数本身的定义域
14．已知函数f＝lg＋，则f的定义域是____．





五.刷压轴

一、单选题
1．（2023·上海崇明·统考一模）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为
A． B． C． D．
2．（2023·上海闵行·统考二模）已知，若存在正整数n，使函数在区间内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（    ）
A．1 B．－1 C．0 D．1或－1
3．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）设关于、的表达式，当、取遍所有实数时，（    ）
A．既有最大值， 也有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．既无最大值， 也无最小值
4．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）已知，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数n，甲:；乙:为严格减数列，则（    ）.
A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误
5．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知点在内部，平分，，对满足上述条件的所有，下列说法正确的是（   ）

A．的三边长一定成等差数列
B．的三边长一定成等比数列
C．，，的面积一定成等差数列
D．，，的面积一定成等比数列
二、填空题
6．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点
③在单调递增④的取值范围是
其中所有正确结论的编号是______.
7．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是______．
8．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
三、解答题
9．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）设是定义域为的函数，如果对任意的、均成立， 则称是“平缓函数”.
(1)若， 试判断和是否为“平缓函数” ? 并说明理由; (参考公式:时， 恒成立)
(2)若函数是“平缓函数”， 且是以 1为周期的周期函数， 证明:对任意的、， 均有;
(3)设 为定义在上函数， 且存在正常数 使得函数为“平缓函数”. 现定义数列满足:， 试证明:对任意的正整数.