考点07函数与数学模型（2种题型）（解析版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

这是一份考点07函数与数学模型（2种题型）（解析版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用），共50页。
考点07函数与数学模型（2种题型）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四. 刷常考
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．填空题（共1小题）
1．（2022•上海）若函数f（x）＝，为奇函数，求参数a的值为 　1　．
【分析】由题意，利用奇函数的定义可得 f（﹣x）＝﹣f（x），故有 f（﹣1）＝﹣f（1），由此求得a的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝，为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（﹣1）＝﹣f（1），∴﹣a2﹣1＝﹣（a+1），即 a（a﹣1）＝0，求得a＝0或a＝1．
当a＝0时，f（x）＝，不是奇函数，故a≠0；
当a＝1时，f（x）＝，是奇函数，故满足条件，
综上，a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题．
二．解答题（共6小题）
2．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S＝，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为f＝，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S＝+．当f＝18，T＝10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小．
【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S的定义求解即可；
（2）利用导函数求S的单调性，即可求出S最小时n的值．
【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
，
所以．
（2）由题意可得S＝+＝+，n∈N*，
所以S′＝﹣＝，
令S′＝0，解得n＝≈6.27，
所以S在[1，6.27]单调递减，在[6.27，+∞）单调递增，
所以S的最小值在n＝6或7取得，
当n＝6时，S＝≈0.31，
当n＝7时，S＝0.16，
所以在n＝6时，该建筑体S最小．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
3．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？
【分析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项a1＝1.1，公差d＝0.05，再利用等差数列的前n项和公式求解即可．
（2）解法一：假设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润首次超过该季度营业额的18%，则0.16×（1+4%）n＞（1.1+0.05n）•18%，令f（n）＝0.16×（1+4%）n﹣（1.1+0.05n）•18%，（n∈N*），递推作差可得当1≤n≤9时，f（n）递减；当n≥10时，f（n）递增，注意到f（1）＜0，所以若f（n）＞0，则只需考虑n≥10的情况即可，再验证出f（24）＜0，f（25）＞0，即可得到利润首次超过该季度营业额的18%的时间．
解法二：设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润与该季度营业额的比为an，则＝＝1+0.04（1﹣），所以数列{an}满足a1＞a2＞a3＞a4＝a5＜a6＜a7＜……，再由a25，a26的值即可判断出结果．
【解答】解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，
则首项a1＝1.1，公差d＝0.05，
∴S20＝20a1+d＝20×1.1+10×19×0.05＝31.5，
即营业额前20季度的和为31.5亿元．
（2）解法一：假设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润首次超过该季度营业额的18%，
则0.16×（1+4%）n＞（1.1+0.05n）•18%，
令f（n）＝0.16×（1+4%）n﹣（1.1+0.05n）•18%，（n∈N*），
即要解f（n）＞0，
则当n≥2时，f（n）﹣f（n﹣1）＝0.0064•（1+4%）n﹣1﹣0.009，
令f（n）﹣f（n﹣1）＞0，解得：n≥10，
即当1≤n≤9时，f（n）递减；当n≥10时，f（n）递增，
由于f（1）＜0，因此f（n）＞0的解只能在n≥10时取得，
经检验，f（24）＜0，f（25）＞0，
所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%．
解法二：设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润与该季度营业额的比为an，
则＝＝1.04﹣＝1+0.04（1﹣），
∴数列{an}满足a1＞a2＞a3＞a4＝a5＜a6＜a7＜……，
注意到，a25＝0.178…，a26＝0.181…，
∴今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题．
4．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度，交通流量v＝f（x）＝．
（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；
（2）已知道路密度x＝80时，测得交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．
【分析】（1）由交通流量v随着道路密度x的增大而减小，知v＝f（x）是单调递减函数，进而知k＞0，于是只需100﹣135•＞95，解不等式即可；
（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）的解析式中，求出k的值，利用q＝vx可得到q关于x的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q的最大值，取较大者即可．
【解答】解：（1）按实际情况而言，交通流量v随着道路密度x的增大而减小，
故v＝f（x）是单调递减函数，
所以k＞0，
当40≤x≤80时，v最大为85，
于是只需令100﹣135•＞95，解得x＜，
故道路密度x的取值范围为（0，）．
（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）＝﹣k（x﹣40）+85中，
得50＝﹣k•40+85，解得k＝．
∴q＝vx＝，
①当0＜x＜40时，v＝100﹣135•＜100，
q＝vx＜100×40＝4000．
②当40≤x≤80时，q是关于x的二次函数，q＝﹣x2+120x，
对称轴为x＝，此时q有最大值，为＞4000．
综上所述，车辆密度q的最大值为．
【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．
5．（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
f（x）＝（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．
【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；
（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．
【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，
f（x）＝2x+﹣90＞40，
即x2﹣65x+900＞0，
解得x＜20或x＞45，
∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当0＜x≤30时，
g（x）＝30•x%+40（1﹣x%）＝40﹣；
当30＜x＜100时，
g（x）＝（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）＝﹣x+58；
∴g（x）＝；
当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；
当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；
说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数所占比为32.5%时，人均通勤时间最少．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．
6．（2020•上海）有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点ω1，若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系，设点B（x，0），现要建设另一座垃圾投放点ω2（t，0），函数ft（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离．
（1）若t＝60，求f60（10）、f60（80）、f60（95）的值，并写出f60（x）的函数解析式；
（2）若可以通过ft（x）与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点ω2建在何处才能比建在中点时更加便利？
【分析】（1）利用题目所给定义表示出f60（x）＝{|60﹣x|，|120﹣x|}min，分类讨论可得f60（x）；
（2）利用题意可得ft（x）＝，表示出ft（x）与坐标轴围成的面积，进而表示出面积不等式，解出不等式即可
【解答】解：（1）投放点ω1（120，0），ω2（60，0），f60（10）表示与B（10，0）距离最近的投放点（即ω2）的距离，
所以f60（10）＝|60﹣10|＝50，同理分析，f60（80）＝|60﹣80|＝20，f60（95）＝|120﹣95|＝25，
由题意得，f60（x）＝{|60﹣x|，|120﹣x|}min，
则当|60﹣x|≤|120﹣x|，即x≤90时，f60（x）＝|60﹣x|；
当|60﹣x|＞|120﹣x|，即x＞90时，f60（x）＝|120﹣x|；
综上f60（x）＝；
（2）由题意得ft（x）＝{|t﹣x|，|120﹣x|}min，
所以ft（x）＝，则ft（x）与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，
所以S＝t2+＝t2﹣60t+3600，
由题意，S＜S（60），即t2﹣60t+3600＜2700，
解得20＜t＜60，即垃圾投放点ω2建在（20，0）与（60，0）之间时，比建在中点时更加便利．

【点评】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．
7．（2019•上海）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年﹣2015年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
年份
卫生总费用（亿元）
个人现金卫生支出
社会卫生支出
政府卫生支出
绝对数（亿元）
占卫生总费用比重（%）
绝对数（亿元）
占卫生总费用比重（%）
绝对数（亿元）
占卫生总费用比重（%）
2012
28119.00
9656.32
34.34
10030.70
35.67
8431.98
29.99
2013
31668.95
10729.34
33.88
11393.79
35.98
9545.81
30.14
2014
35312.40
11295.41
31.99
13437.75
38.05
10579.23
29.96
2015
40974.64
11992.65
29.27
16506.71
40.29
12475.28
30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设t＝1表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数f（t）＝研究函数f（t）的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
【分析】（1）根据表格数据得出结论；
（2）根据函数性质得出单调性，解不等式求出t的范围，从而得出答案．
【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．
（2）∵y＝e6.4420﹣0.1136t是减函数，且y＝e6.4420﹣0.1136t＞0，
∴f（t）＝在N上单调递增，
令＞120000，解得t＞50.68，
∴当t≥51时，我国卫生总费用超过12万亿，
∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．
【点评】本题考查了函数单调性判断与应用，计算较复杂．
二、考点清单

一．函数最值的应用
函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．
这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．
例：城关中学要建造一个长方形游泳池，其容积为4800立方米，深为3米，如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍，怎样设计水池才能使总造价最低？设池壁造价为每平方米m元，则最低造价为多少？
解：设水池底面的长为x米，宽为4800÷3x米，总造价为y，则
＝2400m+6（）m…（6分）
求导可得
令，可得x＝40…（11分）
∴函数在（0，40）上单调递增，在（40，+∞）上单调递减
∴当池底长为40米，宽为40米时，总造价最低为2880m元．
这是工程上一个很常见的成本最低的问题，也很有代表性，在这个立体当中，我们要做的第一步是构建数学模型，把求成本最低的问题转化为求函数的最小值，这个题在构建模型的时候最关键的是要找到造价与底面长的关系，从而又把造价问题转化为关于底面长的一个函数，这也是我们常用的方法．第二步构建函数，然后运用数学方法求解，这个是重点，求解的一般方法为基本不等式和求导判定单调性．
【高考预测】
应用题紧贴实际，很能体现学以致用，是出题老师很喜欢的一种题型，解答这种题需要考生先苦练基本功，会求一般函数的最值；然后也具备基本的建模能力，在文字当中找到它们的内在逻辑关系，最后以函数的形式表达出来．
二．分段函数的应用
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【具体应用】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【考查预测】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
三．根据实际问题选择函数类型
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．

【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+log7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．

典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
四．带绝对值的函数
1．当函数体中包含绝对值，就需要对绝对值内的部分的正负情况进行讨论，因此含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图象进行研究．
2．①形如y＝|f（x）|的函数，由于|f（x）|＝，因此研究此类函数往往结合函数图象，可以看成由 的图象在x轴上方部分不变，下方部分关于x轴对称得到，例如y＝|x2﹣1|的图象如下图：
②f（x）＝a|x﹣m|+b|x﹣n|，（m＜n）的图象是以A（m，f（m）），B（n，f（n））为折点的折线．
当a+b＞0时，两端向上无限延伸，故存在最小值，最小值为min{f（m），f（n）}；
当a+b＜0时，两端向下无限延伸，故存在最大值，最大值为Max{f（m），f（n）}；
当a+b＝0时，两端无限延伸且平行x轴，故既有最大值又有最小值，最大值为Max{f（m），f（n）}；最小值为min{f（m），f（n）}；例如：y＝2|x﹣1|+3|x﹣2|和y＝2|x﹣1|﹣3|x﹣2|的图象分别为


三、题型方法

一．分段函数的应用（共11小题）
1．（2023•杨浦区校级三模）设y＝f（x）是定义在R上且周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，，其中a∈R．若，则f（a）＝　　．
【分析】根据题意，由函数的周期性可得f（﹣）＝f（﹣），f（）＝f（），结合函数的解析式求出a的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上且周期为2的函数，
则f（﹣）＝f（﹣），f（）＝f（），
又由当x∈[﹣1，1）时，，则有﹣+a＝|﹣|，解可得a＝，
则f（a）＝f（）＝|﹣|＝；
故答案为：．
【点评】本题考查分段函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．
2．（2023•崇明区二模）若函数y＝的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是 　　．
【分析】由题意将问题转化为f（x）在（﹣∞，0）的图像关于原点对称后与（0，+∞）的图像有两个交点，即转化为方程在（0，+∞）上有两根，孤立参数为在（0，+∞）上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：若f（x）有两组点关于原点对称，则f（x）在（﹣∞，0）的图像关于原点对称后与（0，+∞）的图像有两个交点，
由x＜0时，f（x）＝ax2；得其关于原点对称后的解析式为y＝﹣ax2，
问题转化为与y＝﹣ax2在（0，+∞）上有两个交点，即方程有两根，
化简得，即y＝﹣a与在（0，+∞）上有两个交点．
对于，求导，令，解得x＜1，
即：当x∈（0，1）时，单调递增；
令，解得：x＞1．
即：当x∈（1，+∞）时，单调递减，
∴x＝1为其极大值点，，x→+∞时，y→0；画出其大致图像：

欲使y＝﹣a与在x＞0时有两个交点，则，即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，考查转化能力，属于中档题．
3．（2023•嘉定区校级三模）已知函数，若满足f（a）＝f（b）＝f（c）（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是（　　）
A．（3，2023.5） B．（3，2024） C．[3，2024） D．[3，2025）
【分析】作出函数f（x）的图像，根据三角函数对称性得a+b＝1，解0≤log2023（c﹣1）＜1，得c∈[2，2024），进而得答案．
【解答】解：作出函数的图像，不妨设a＜b＜c，如图，

根据三角函数的对称性得可得a+b＝1，
由0≤log2023（c﹣1）＜1，得c∈[2，2024），
∴a+b+c∈[3，2025），
故选：D．
【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
4．（2023•宝山区校级模拟）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（　　）
A．（60，96） B．（45，72） C．（30，48） D．（15，24）
【分析】先画出函数f（x）的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．
【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：
若满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，
则0＜x1＜1，1＜x1＜3，
则log3x1＝﹣log3x2，即log3x1+log3x2＝log3x1x2＝0，
则x1x2＝1，
同时x3∈（3，6），x4∈（12，15），
∵x3，x4关于x＝9对称，∴＝9，
则x3+x4＝18，则x4＝18﹣x3，
则x1x2x3x4＝x3x4＝x3（18﹣x3）＝﹣x32+18x3＝﹣（x3﹣9）2+81，
∵x3∈（3，6），
∴x3x4∈（45，72），
即x1x2x3x4∈（45，72），
故选：B．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性进行转化是解决本题的关键．
5．（2023•虹口区校级三模）已知函数，点M、N是函数f（x）图像上不同的两个点，则tan∠MON（O为坐标原点）的取值范围是 　（0，3）　．
【分析】求导可知函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，当x＜0时，函数y＝f（x）的图象是焦点在y轴上的双曲线在第二象限的部分，y＝﹣x是其渐近线，利用导数的几何意义求出过原点的直线与曲线y＝f（x）（x≥0）的切线方程，其倾斜角为α，则有tanα＝2，所以，再结合两角差的正切公式求解即可．
【解答】解：当x≥0时，f（x）＝xex﹣1+1，求导得f'（x）＝（x+1）ex﹣1＞0，
即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，由y＝，得y2﹣x2＝1（x＜0，y＞1），
于是函数y＝f（x），x＜0的图象是焦点在y轴上的双曲线在第二象限的部分，y＝﹣x是其渐近线，如图，

令过原点的直线与曲线y＝f（x），x≥0相切的切点为（x0，+1），
则，整理得，
令g（x）＝x2ex﹣1，x＞0，g'（x）＝（x2+2x）ex﹣1＞0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（1）＝1，因此当且仅当x＝1时，g（x）＝1，则（x0≥0）的解为x0＝1，
即过原点的直线与曲线y＝f（x），x≥0相切的切点为（1，2），切线方程为y＝2x，
设其倾斜角为α，则有tanα＝2，
因为点M、N是函数f（x）图象上不同的两个点，则 ，
而正切函数y＝tanx在 上单调递增，因此 ，
又tan（）＝＝＝3，
所以tan∠MON的取值范围是（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数的几何意义求切线方程，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
6．（2023•松江区模拟）已知函数，若对任意实数b，总存在实数x0，使得f（x0）＝b，则实数a的取值范围是 　　．
【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数f（x）的值域为R，分两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小）值，即可得到不等式组，解得即可
【解答】解：因为函数y＝x+2在定义域R上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
要使对任意实数b，总存在实数x0，使得f（x0）＝b，即函数f（x）的值域为R，
当时，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（﹣∞，a）上也单调递增，
则只需，解得；
当时，f（x）在（a，+∞）上的最小值为﹣，则只需要，解得；
综上可得，即实数a的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查分段函数的性质，属于中档题．
7．（2023•松江区校级模拟）已知函数f（x）＝，若x＞0时，f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是　[，+∞）　．
【分析】作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】作出函数f（x）的图象如图，
则f（1）＝1，f（3）＝，f（5）＝f（3）＝，
f（7）＝＝，
要使x＞0时，f（x）≤恒成立，
则f（1）≤k，且f（3）≤，f（5）≤，f（7）≤，…，
即1≤k，且≤，≤，≤，…，
则，解得k≥，
即实数k的取值范围是[，+∞），
故答案为：[，+∞）

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，作出函数f（x）的图象，利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．
8．（2023•普陀区校级三模）已知函数，若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1+x2的最大值为 　　．
【分析】由函数解析式判断其单调性，不妨设x1＜0＜x2，可得，由此可求得，构造函数，利用导数即可求得最值．
【解答】解：∵，∴y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
不妨设x1＜0＜x2，则，
∵x1＜0，∴，得，
令，则，
当x∈时，g′（x）＞0，则g（x）在上单调递增，
当x∈时，g′（x）＜0，则g（x）在上单调递减．
故．
故答案为：．
【点评】本题考查分段函数的应用，训练了利用导数求最值，是中档题．
9．（2023•杨浦区校级三模）已知曲线C：y＝，点P，Q是曲线C上任意两个不同点，若∠POQ≤θ，则称P，Q两点心有灵犀，若P，Q始终心有灵犀，则θ的最小值θ0的正切值tanθ0＝　2　．​
【分析】由题意画出图形，求出过原点与曲线y＝x2﹣x+1（x≤0）相切的直线的斜率，再求出曲线y2﹣x2＝1（x＞0，y＞1）的渐近线的斜率，再由到角公式得答案．
【解答】解：曲线C：y＝，其图象如图，

当x≤0时，y＝x2﹣x+1，设OP与该曲线相切，且切线方程为y＝kx，
联立，可得x2﹣（k+1）x+1＝0，
由Δ＝（k+1）2﹣4＝0，解得k＝﹣3或k＝1（舍去）；
当x＞0时，，即y2﹣x2＝1（x＞0，y＞1），
则y＝x是该曲线的渐近线，
点P，Q是曲线C上任意两个不同点，若∠POQ≤θ，
则θ的最小值θ0的正切值tanθ0＝．
故答案为：2．​
【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，训练了直线到直线角的求法，是中档题．
10．（2023•黄浦区校级模拟）已知函数f（x）＝，若对任意的x1∈[2，+∞），都存在x2∈[﹣2，﹣1]，使得f（x1）•f（x2）≥a，则实数a的取值范围为 　　．
【分析】问题可转化为，分类讨论结合x1∈[2，+∞） 即可得出结论．
【解答】解：∵x1∈[2，+∞），x2∈[﹣2，﹣1]，f（x2）＞0，
∴，即对任意的x1∈[2，+∞），都存在x2∈[﹣2，﹣1]，使恒成立，
∴有，
当a≤0 时，显然不等式恒成立；
当0＜a＜2时，，解得；
当a≥2时，|x1﹣a|∈[0，+∞），此时不成立．
综上，．
故答案为：
【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
11．（2023•徐汇区校级模拟）已知a∈R，函数f（x）＝的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是　　．
【分析】分类讨论a的值，求出二次函数的单调性和最值，从而得到分段函数的最值．
【解答】解：①若a＜0时，
则f（x）＝x2﹣ax+a+1的对称轴为 x＝，
∴当x＜0时，f（x）min＝f（）＝﹣++1，
又∵当x≥0时，f（x）≥0＞2a，
∴﹣++1＝2a，∴a2+6a﹣4＝0，∴a＝﹣﹣3或a＝﹣3（舍去），
②若a＝0时，则f（x）＝，∴f（x）＞1＞2a，∴a≠0，
③若a＞0时，
则f（x）＝x2﹣ax+a+1的对称轴为 x＝＞0，
∴当x＜0时，f（x）＝x2﹣ax+a+1单调递减，∴f（x）＞f（0）＝+1，
当x≥0时，f（x）＝，
∴f（x）≥a+2，∴a+2＝2a，∴a＝2，
又∵+1＞2a，∴0＜a＜，∴a≠2，
综上所述：a∈{﹣﹣3}．
故答案为：{﹣﹣3}．
【点评】本题主要考查了二次函数的单调性和最值，考查分类讨论思想，是中档题．
二．根据实际问题选择函数类型（共14小题）
12．（2023•嘉定区校级三模）一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺序 　②③①④⑥⑤　．
【分析】根据给定条件，利用数学建模的活动过程及顺序写出结论作答．
【解答】解：数学建模活动，根据实际情境，提出问题，基于问题，建立模型，通过模型的求解，以检验模型解决问题的结果，
若结果不符合实际，还需重新建立模型；若结果符合实际，问题的回答便有了实际的结果，
所以正确的序号顺序是②③①④⑥⑤．
故答案为：②③①④⑥⑤．
【点评】本题主要考查了数学建模的活动过程及顺序，属于基础题．
13．（2023•长宁区二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围成一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图，则至少需要 　4　米栅栏．

【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：设该矩形的长为a米，宽为b米，
由题意可知，ab＝2，
故a+2b≥，当且仅当，即a＝2，b＝1时，等号成立，
故至少需要4米栅栏．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
14．（2023•闵行区校级二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用﹣的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．则下列正确的命题是（　　）

A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强
【分析】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力．
【解答】解：设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝h（t），乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝g（t），
对于A选项，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力，
乙企业的污水治理能力．由图可知，h（t1）﹣h（t2）＞g（t1）﹣g（t2），
所以h（t）＞g（t），即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；
对于B选项，由图可知，h（t）在t2时刻的切线斜率小于g（t）在t2时刻的切线斜率，
但两切线斜率均为负值，故在t2时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；
对于C选项，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；
对于D选项，由图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，
在[t1，t2]时的污水治理能力最强，故D选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查利用数学解决实际生活问题，考查读图和识图能力，属于中档题．
15．（2023•嘉定区二模）如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上，AC＝2．点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则△CDP的面积的最大值为 　　．

【分析】设CP＝x，推出△CPD的面积为f（x）的表达式，再利用基本不等式，即可求f（x）的最大值．
【解答】解：由题意，设CP＝x，△CPD的面积为f（x）．
DC＝2，CP＝x，DP＝6﹣x，根据三角形的构成条件可得，解得2＜x＜4；
三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来，即f（x）＝
＝≤2×＝2，
当且仅当4﹣x＝﹣2+x，即x＝3时，f（x）的最大值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，本题中求函数解析式用到了海伦公式，
16．（2023•普陀区校级模拟）某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的2%提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的4%提成作奖金；…后每增加5万元，其提成比例也增加一个2%．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为50000×2%+（70000﹣50000）×4%＝1800元．试求：
（1）销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？
（2）若某销售员7、8月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？
【分析】（1）根据题意利用分段求值法判断销售超额部分的范围，再列方程求解即可．
（2）根据奖金方案得出同样的超额销售，当月累积的越多，奖金越高，由此求出总奖金最高与最低值．
【解答】解：（1）设该月销售额为x万元，则奖金为f（x）＝，
超额第一个5万元可得奖金1000元，超额第二个5万元可得奖金2000元，
超额第三个5元可得奖金3000元，超额第四个5万元可得奖金4000元，
故销售员该月的销售超额部分在15万元到20万元之间．
设销售额为x万元，提成比例为8%，即（x﹣35）×8%＝7200﹣6000，
可得x＝36.5万元．
（2）根据奖金方案，同样的超额销售，累积的越多，奖金越高．
故当他一个月销售额为20万元，另一个月为40万元时，总奖金最高
此时总奖金为1000+2000+3000+4000＝10000元；
当他两个月的销售额都是30万元时，总奖金最低，
此时总奖金为（1000+2000）×2＝6000元．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
17．（2023•宝山区校级模拟）甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a元（a＞0）．
（1）把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
【分析】（1）由题意可得每小时运输成本为（a+2v3），全程行驶时间为小时，即可得答案；
（2）由y＝1004（+2v2）＝1004（++2v2），结合基本不等式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得每小时运输成本为（a+2v3），全程行驶时间为小时，
∴y＝（a+2v3）＝1004（+2v2），v∈（0，120]；
（2）因为y＝1004（+2v2）＝1004（++2v2≥1004×3＝3012，
当＝2v2，即v＝时，ymin＝3012．
【点评】本题考查了函数在生活中的应用，也考查了基本不等式的应用，属于中档题．
18．（2023•杨浦区二模）如图，某国家森林公园的一区域OAB为人工湖，其中射线OA、OB为公园边界．已知OA⊥OB，以点O为坐标原点，以OB为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）．曲线AB的轨迹方程为：y＝﹣x2+4（0≤x≤2）．计划修一条与湖边AB相切于点P的直路l（宽度不计），直路l与公园边界交于点C、D两点，把人工湖围成一片景区△OCD．
（1）若P点坐标为（1，3），计算直路CD的长度；（精确到0.1千米）
（2）若P为曲线AB（不含端点）上的任意一点，求景区△OCD面积的最小值．（精确到0.1平方千米）

【分析】（1）根据导数与切线的关系求解即可；
（2）利用切线方程与导数的关系求出点P处的切线方程，从而表示出△OCD的面积，再利用导数与单调性和最值的关系即可求解．
【解答】解：（1）因为y＝﹣x2+4（0≤x≤2），所以y′＝﹣2x，所以y′|x＝1＝﹣2，
所以由点斜式可得y﹣3＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+5，
令x＝0，解得y＝5，令y＝0，解得，
所以，
所以；
（2）设P（t，﹣t2+4），0＜t＜2，
则由（1）可知y′|x＝t＝﹣2t，
所以CD的直线方程为y+t2﹣4＝﹣2t（x﹣t），
整理得y＝﹣2tx+t2+4，
令x＝0，解得y＝t2+4，令y＝0，解得，
所以，
设，
，
令f′（t）＞0，即3t2﹣4＞0，解得，
令f′（t）＜0，即3t2﹣4＜0，解得，
所以函数f（t）在单调递减，单调递增，
所以，
所以景区△OCD面积的最小值为6.2km2．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
19．（2023•松江区模拟）某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面ACB和两段长度相等的直线型桥面AD、BE，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切．根据空间限制及桥面坡度的限制，桥面跨度DE的长要不大于18米，不小于12米．已知直线型桥面的修建费用是每米0.6万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设∠ADO＝θ．
（1）若桥面（线段AD，BE和弧ACB）的修建总费用为W万元，求W关于θ的函数表达式，并写出θ的取值范围；
（2）当θ为何值时，桥面修建总费用W最低？（角θ的取值精确到＝）

【分析】（1）设C为弧AB的中点，通过解直角三角形以及弧长公式，表示出修建总费用W的表达式，根据DE长度的限制，求得θ的取值范围；
（2）利用导数求得W的单调区间，进而求得当θ为何值时，W取得最小值．
【解答】解：（1）设C为弧AB的中点，连结OA，OC，OB，则OA⊥AD，OB⊥BE，OC⊥DE，且AD＝BE，

在△OAD中，，
又因为∠AOC＝∠ADO＝θ，所以弧ACB长为l＝3•2θ＝6θ，
所以，
而，且12≤DE≤18，所以，显然θ为锐角，
所以，
所以W关于θ的函数关系式为．
（2）因为，
设，则，
令f′（θ）＝0，得，即，
当时，f′（θ）＜0，函数f（θ）单调递减；
当时，f′（θ）＞0，函数f（θ）单调递增；
所以当时，函数f（θ）取得最小值，此时桥面修建总费用最低．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
20．（2023•上海模拟）雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：
假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”：
假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为60°的直线；
假设3：伞柄OT长为60cm，可绕矩形“纸片人”上点O旋转；
假设4：伞面为被被柄OT垂直平分的线段AB，AB＝120cm．
以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”．

（1）如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到0.1cm2）；
（2）请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分）
【分析】（1）过点A作对边的垂线，垂足为点C，过点D作对边的垂线，垂足为点E，连接OA，OB，先求出OA，OB，在△AOH中，利用正弦定理求得sin∠HAO，再根据求得cos∠BAC，从而可求得DE，再求出DF，再根据三角形的面积公式即可得解；
（2）可以从行进的视线，并从伞面面积等角度入手，建议只要合理即可．
【解答】解：（1）过点A作对边的垂线，垂足为点C，过点D作对边的垂线，垂足为点E，连接OA，OB，

由题意AB＝120，OT⊥AB，
因为T为AB的中点，所以AT＝BT＝60，
又OT＝60，所以，
又，
由正弦定理，所以，
又，所以，
＝，
所以，
所以＝．
所以阴影部分面积为；
（2）①雨伞不遮挡行人前进的视线；
②伞面为弧线，改进模型将伞设为一段圆弧，扩大伞面的面积；
③考虑伞柄可以伸缩，等等．（只要合理即可）
【点评】本题考查了正余弦定理在解决实际问题中的应用，属于中档题．
21．（2023•宝山区校级三模）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48mm2，经过3分钟覆盖面积为64mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：①y＝kax（k＞0，a＞1），②y＝logbx（b＞1），③（p＞0）可供选择．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2？（结果保留到整数）
【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择y＝kax，并求出解析式；
（2）根据题意，，求出x的取值范围，进而得出结果．
【解答】解：（1）因为y＝kax（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快，
y＝logbx（b＞1）和（p＞0）的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）．
由题意得，解得，
所以该函数模型为（x≥0）；
（2）由题意得，即，
所以，
又，
所以至少经过9min培养基中菌落的覆盖面积能超过300mm2．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（2023•浦东新区校级三模）某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？
确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车．
据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%．此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法．
你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？
（1）根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？
（2）你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题．
【分析】（1）根据题意可分析出出租车费用为分段函数的模型，故可以提出求解里程计价费用与里程的函数关系问题，并假设只能在路程的中点处停靠一次，再求解此时的函数关式；
（2）分别求解不停靠与停靠中点时的费用，再作图分析判断即可．
【解答】解：（1）由题意，出租车费用为分段函数的模型，故可提出问题：
①上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%，求里程计价费用f（x）与里程x的函数关系式子；
②若只能在路程的中点处停靠一次，分析不停靠与停靠两种计费方式哪种更划算．
（2）由（1）中所建立的函数模型：
①由题意，当0＜x≤3时，f（x）＝14；
当3＜x≤15时，f（x）＝14+2.5（x﹣3）＝2.5x+6.5，
当x＞15时，f（x）＝2.5×15+6.5+2.5×（x﹣15）×1.5＝3.75x﹣12.25．
故f（x）＝，
②若只能在路程的中点处停靠一次．
则路费函数g（x）＝，
即g（x）＝，
分别作出函数图象：

由图象可得，f（x）＝3.75x﹣12.25与g（x）＝2.5x+13有交点．
联立有3.75x﹣12.25＝2.5x+13，解得x＝20.2．
故若只能在路程的中点处停靠一次，则当路程不足202公 时不停靠更划算，当路程不足20.2公里时停靠更划算．
【点评】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
23．（2023•青浦区校级模拟）一年之计在于春，春天正是播种的好季节．小林的爷爷对自己的一块正方形菜园做了一些计划．如图，ABCD是边长为80米的正方形菜园，扇形AMN区域计划种植花生，矩形ECFG区域计划种植蔬菜，其余区域计划种植西瓜．E，F分别在BC，CD上，G在弧MN上，AM＝60米，设矩形ECFG的面积为S（单位：平方米）．
（1）若∠GAM＝θ，请写出S（单位：平方米）关于θ的函数关系式；
（2）求S的最小值．

【分析】（1）延长FG交AB于H，可用θ表示出HB，FG，由此可得S；
（2）令t＝sinθ+cosθ，将S表示为关于t的二次函数的形式，由二次函数最值的求法可求得结果．
【解答】解：（1）延长FG交AB于H，
则GH＝60sinθ米，AH＝60cosθ米，
则GE＝HB＝（80﹣60cosθ）米，FG＝（80﹣60sinθ）米，
∴S＝（80﹣60cosθ）（80﹣60sinθ）＝400[16﹣12（sinθ+cosθ）+9sinθcosθ]．
（2）由（1）得：，
令t＝sinθ+cosθ，则，∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，Smin＝1400，即当时，矩形ECFG面积的最小值为1400平方米．

【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
24．（2023•松江区二模）某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
车型
A
B
C
D
E
F
价格
9万元
12万元
18万元
24万元
30万元
40万元
占比
5%
15%
25%
35%
15%
5%
（1）如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？
（2）车企推出两种付款方式：
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的3%；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的．
①某位顾客现有a万元现金，欲购买价值a万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001）
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001）
【分析】（1）先计算销售一辆车的价格的数学期望E，再计算20000*E＝433000，即可得今年新能源车的销售额预计金额；
（2）①先计算全款购车两年后资产总额和分期付款购车两年后资产总额，比较即可；②由①得a＜21.2134，可得措施对购买A，B，C车型有效．
【解答】解：（1）销售一辆车的价格的数学期望E为：
E＝9×5%+12×15%+18×25%+24×35%+30×15%+40×5%＝21.65，
20000×E＝433000（万元）＝43.3（亿）
所以，今年新能源车的销售额预计约为43.3亿元；
（2）①全款购车两年后资产总额为：a×3%×（1+1.8%）4＝0.0322a（万元），
分期付款购车两年后资产总额为a（×1.0184﹣×1.0183﹣×1.0182﹣×1.018﹣）＝a（×1.0184﹣×）＝0.0233a（万元），
因为0.0322a＞0.0233a，所以顾客选择全款购车方式收益更多；
②由①得：0.0322a﹣0.0233a＝0.0089a＜0.1888，所以a＜21.2134，
故这一措施对购买A，B，C车型有效．
【点评】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
25．（2023•奉贤区二模）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如图所示，并铺设了部分人行通道．
为了简单起见，现作如下假设：
假设1：绿地是由线段AB，BC，CD，DE和弧围成的，其中是以O点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；
假设2：线段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；
假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；
假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．
图1﹣图3中的相关边、角满足以下条件：
直线BA与DE的交点是O，AB∥CD，．DE＝EO＝OA＝AB＝200米．
小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．

（1）假设休息亭建在弧的中点，记为Q，沿和线段QC修路，如图2所示．求QC的长；
（2）假设休息亭建在弧上的某个位置，记为P，作PM⊥BC交BC于M，作PN⊥CD交DC于N．沿、线段PM和线段PN修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；
（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．

【分析】（1）建系，根据三角函数的定义，两点间距离公式，即可求解；
（2）设∠POA＝θ，从而可构建修建的总路长为y关于θ的函数模型，再利用导数研究函数的单调性，从而可求出函数的最值；
（3）根据比较设计方案总路径的大小，即可作答．
【解答】解：（1）如图，以O原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，

∵点Q为弧的中点，∴，即，
又可以计算得，
∴（米），
∴QC的长约为346米；
（2）设∠POA＝θ，
则P（200cosθ，200sinθ），M（400，200sinθ），，
设修建的总路长为y＝f（θ）＝，
则
＝，
∴f'（θ）＝﹣200+200sinθ﹣200cosθ，
令f'（θ）＝0，则sinθ﹣cosθ＝1，，解得，
∴当时，f'（θ）＜0，函数y＝f（θ）单调递减；
当时，f'（θ）＞0，函数y＝f（θ）单调递增，
∴y＝f（θ）的最小值为 （米），
∴修建的总路长的最小值约为651米；
（3）（1）涉及到的设计方案总路径是米，比起方案2显然不是最优（短）路径；
（2）涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷（不利于AB段附近居民前往）．
【点评】本题考查坐标法的应用，两点间距离公式的应用，函数模型的建立，函数思想的应用，属中档题．
四.刷常考

一．选择题（共1小题）
1．（2022•闵行区校级二模）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（　　）（参考数据ln19≈3）
A．60 B．62 C．66 D．63
【分析】根据所给材料的公式列出方程＝0.95K，解出t即可．
【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t*﹣50）＝，
两边取对数有﹣0.23（t*﹣50）＝﹣ln19，
解得t*≈63，
故选：D．
【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题．
二．填空题（共2小题）
2．（2021•浦东新区三模）已知函数f（x）＝，若存在实数x0，使得对于任意的实数x都有f（x）≤f（x0）成立，则实数a的取值范围是　[1，+∞）　．
【分析】根据题意，得到函数存在最大值，结合分段函数的性质即可求解结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝，若存在实数x0，使得对于任意的实数x都有f（x）≤f（x0）成立，
即函数有最大值f（x0），
又因为当x＞a时，f（x）＝﹣x+2，单调递减，且f（x）＜﹣a+2，
故当x≤a时，f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，
∴1≥﹣a+2且a≥﹣1，
故a≥1，
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题主要考查分段函数的性质，以及分类讨论思想的应用，属于中档题目．
3．（2021•黄浦区二模）已知a∈R，函数f（x）＝的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是　　．
【分析】分类讨论a的值，求出二次函数的单调性和最值，从而得到分段函数的最值．
【解答】解：①若a＜0时，
则f（x）＝x2﹣ax+a+1的对称轴为 x＝，
∴当x＜0时，f（x）min＝f（）＝﹣++1，
又∵当x≥0时，f（x）≥0＞2a，
∴﹣++1＝2a，∴a2+6a﹣4＝0，∴a＝﹣﹣3或a＝﹣3（舍去），
②若a＝0时，则f（x）＝，∴f（x）＞1＞2a，∴a≠0，
③若a＞0时，
则f（x）＝x2﹣ax+a+1的对称轴为 x＝＞0，
∴当x＜0时，f（x）＝x2﹣ax+a+1单调递减，∴f（x）＞f（0）＝+1，
当x≥0时，f（x）＝，
∴f（x）≥a+2，∴a+2＝2a，∴a＝2，
又∵+1＞2a，∴0＜a＜，∴a≠2，
综上所述：a∈{﹣﹣3}．
故答案为：{﹣﹣3}．
【点评】本题主要考查了二次函数的单调性和最值，考查分类讨论思想，是中档题．
三．解答题（共9小题）
4．（2021•浦东新区三模）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k+1（9≤k≤29，k∈N*）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人．
（1）若k＝9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数．
【分析】（1）记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），然后利用数列{an}（1≤n≤9）是等差数列，由等差数列前n项求和公式求解即可；
（2）由题意，分别求出当1≤n≤k，k+1≤n≤30时的an，然后利用等差数列前n项求和公式，求出k的值，即可得到答案．
【解答】解：（1）记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），则数列{an}（1≤n≤9）是等差数列，
a1＝20，公差为50，又a10＝410，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为（a1+a2+…+a9）+a10＝（9×30+）+410＝2480人；
（2）记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），
11月k日新感染者人数最多，当1≤n≤k时，an＝50n﹣20，
当k+1≤n≤30时，an＝（50k﹣20）﹣20（n﹣k）＝﹣20n+70k﹣20，
因为这30天内的新感染者总人数为11940人，
所以＝11940，
解得﹣35k2+2135k﹣9900＝11940，即k2﹣61k+624＝0，
解得k＝13或k＝48（舍），
此时a13＝50×13﹣20＝630，
所以11月13日新感染者人数最多为630人．
【点评】本题考查了数列的实际应用问题，等差数列的定义，等差数列通项公式以及等差数列前n项求和公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
5．（2021•浦东新区校级三模）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
【分析】（1）由题意知p（t）＝，t∈N，（k为常数），再由p（2）＝560求得k，则p（t）可求，进一步求得p（6）得答案；
（2）由Q＝，可得Q＝，分段求最值得答案．
【解答】解：（1）由题意知p（t）＝，t∈N，（k为常数），
∵p（2）＝1200﹣k（10﹣2）2＝560，
∴k＝10，
∴p（t）＝＝，
∴p（6）＝1200﹣10（10﹣6）2＝1040；
（2）由Q＝，可得
Q＝，
当2≤t＜10时，Q＝6[140﹣10（）]≤6（140﹣10×12）＝120，
当且仅当t＝，t＝6时等号成立；
当10≤t≤20时，Q＝≤384﹣360＝24，当t＝10时等号成立，
∴当发车时间间隔为t＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
答：当发车时间间隔为t＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．
6．（2021•崇明区二模）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本为C（x）当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时.（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（件）的函数解析式：
（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为.（万元），根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，
∴L（x）＝50x﹣x2﹣10x﹣250＝﹣x2+40x﹣250；
②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，
∴L（x）＝50x﹣51x﹣+1450﹣250＝1200﹣（x+）．
综合①②可得，L（x）＝．
（2）①当0＜x＜80时，L（x）＝﹣x2+40x﹣250＝﹣（x﹣60）2+950，
∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；
②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x+）≤1200﹣2＝1200﹣200＝1000，
当且仅当x＝，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．
综合①②，由于950＜1000，
∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元
【点评】本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力，属于中档题
7．（2021•奉贤区校级二模）由于2020年1月份国内疫情暴发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB＝120°，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA，PB的距离分别为RS＝4m，RT＝6m，（m为长度单位）．陈某准备过点R修建一条长椅MN（点M，N分别落在PA，PB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．
（Ⅰ）求点P到点R的距离；
（Ⅱ）为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值．

【分析】（1）连接ST，先在△RST中，由余弦定理求出ST的值，再由余弦定理求得cos∠STR的值，而sin∠PTS＝cos∠STR，再在△PST中，由正弦定理可得SP的值，然后利用勾股定理，即可得解；
（2）由正弦面积公式和S△PMN＝S△PRM+S△PRN，可推出|PM|•|PN|＝2|PM|+3|PN|，再结合基本不等式，得解．
【解答】解：（1）连接ST，
在△RST中，∠SRT＝180°﹣∠APB＝60°，
由余弦定理知，ST2＝RS2+RT2﹣2RS•RTcos∠SRT＝42+62﹣2×4×6cos60°＝28，
∴ST＝2，
∴cos∠STR＝＝＝，
∴sin∠PTS＝cos∠STR＝，
在△PST中，由正弦定理知，＝，即，
∴SP＝，
连接RP，在Rt△SPR中，PR2＝RS2+SP2＝42+（）2＝，
∴PR＝，
故点P到点R的距离为m．

（2）由正弦面积公式知，S△PMN＝|PM|•|PN|sin120°＝|PM|•|PN|，
∵S△PMN＝S△PRM+S△PRN＝|PM|•|RS|+|PN|•|RT|＝|PM|×4+|PN|×6＝2|PM|+3|PN|，
∴|PM|•|PN|＝2|PM|+3|PN|≥2，
∴|PM|•|PN|≥128，当且仅当2|PM|＝3|PN|，即|PM|＝8，|PN|＝时，等号成立，
此时S△PMN＝|PM|•|PN|≥×128＝32，
故当PM等于8m时，该三角形PMN区域面积最小，面积的最小值为32m2．
【点评】本题考查函数的实际应用，涉及解三角形的知识，利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正余弦定理、正弦面积公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8．（2022•上海模拟）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益（单位：元）满足R（x）＝其中x（单位：台）是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司利润最大？最大为多少元？（总收益＝总成本+利润）
【分析】（1）利润＝收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；
（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．
【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而利润f（x）＝；
（2）当0≤x≤400时，f（x）＝﹣（x﹣300）2+25000，
所以当x＝300时，有最大值25000；
当x＞400时，f（x）＝60000﹣100x是减函数，
所以f（x）＝60000﹣100×400＜25000．
所以当x＝300时，有最大值25000，
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．
【点评】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．
9．（2022•浦东新区校级模拟）如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计），其中OM为东西走向，Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知tan∠MON＝﹣3，OA＝6（百米），Q到直线OM，ON的距离分别为3（百米），（百米）．现新修一条自A经过Q的直线型观光车轨道AB（点B在ON上），并在B处修建一游客休息区．
（1）求轨道AB的长；
（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟．表演时，喷泉喷洒区域是以P为圆心，r为半径的圆心区域，且t分钟时，（百米）（0≤t≤9，0＜a＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿轨道BA以（百米/分钟）的速度开往休息区A．试判断观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到？并说明理由．

【分析】（1）以点O为坐标原点，直线OM为x轴，过O作OM的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，由题设得A（6，0），直线ON的方程为y＝﹣3x，Q（x0，3），（x0＞0），由＝，求出Q（3，3），从而直线AQ的方程为y＝﹣（x﹣6），联产方程组求出B（﹣3，9），
由此能求出轨道AB的长．
（2）将喷泉记为圆P，由题意得P（3，9），生成t分钟时，观光车在线段AB上的点C处，则BC＝，0≤t≤9，从而C（﹣3+t，9﹣t），若喷泉不会洒到观光车上，则PC2＞r2对t∈[0，9]恒成立，由此能求出喷泉的水流不会洒到观光车上．
【解答】解：（1）以点O为坐标原点，直线OM为x轴，过O作OM的垂线为y轴，建立平面直角坐标系
由题设得A（6，0），直线ON的方程为y＝﹣3x，Q（x0，3），（x0＞0），
由＝，解得x0＝3，∴Q（3，3），
∴直线AQ的方程为y＝﹣（x﹣6），
由，得，∴B（﹣3，9），
∴|AB|＝＝9．
（2）将喷泉记为圆P，由题意得P（3，9），
生成t分钟时，观光车在线段AB上的点C处，
则BC＝，0≤t≤9，∴C（﹣3+t，9﹣t），
若喷泉不会洒到观光车上，则PC2＞r2对t∈[0，9]恒成立，
即PC2＝（6﹣t）2+t2＝2t2﹣12t+36＞4at，
当t＝0时，上式成立，
当t∈（0，9）时，2a＜t+，＝6，
当且仅当t＝3时，取等号，
∵a∈（0，1），∴r＜PC恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．

【点评】本题考查轨道长的求法，考查喷泉的水流能否洒到观光车上的判断，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．
10．（2022•徐汇区三模）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y＝（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．
【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y＝10（1≤x≤16，x∈N*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；
（2）由题意0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），分离参数求最值，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意，20＝，∴2p＝100，
∴y＝10（1≤x≤16，x∈N*），
∴油库内储油量M＝mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；
（2）∴0≤M≤30，
∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），
∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立；
设＝t，则≤t≤1，．
由≤（x＝4时取等号），可得m≥，
由20t2+10t+1＝≥（x﹣16时取等号），可得m≤，
∴≤m≤．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，确定函数解析式，正确分离参数求最值是关键．
11．（2021•徐汇区校级三模）已知函数f（x）＝其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．
（Ⅰ）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；
（Ⅱ）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M＝[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）＝[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若P∪M＝R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．
【分析】（I）利用y＝|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域，再求其并集即可；
（Ⅱ）抓住线索﹣3∈P∪M，逐层深入，先判断﹣3∈P，得a的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a的值；（Ⅲ）先根据函数的单调性确定∴（﹣∞，0）⊆M，（1，+∞）⊆P，再证明在（0，1）上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合P，M．
【解答】解：（I）∵P＝（﹣∞，0），∴f（P）＝{y|y＝|x|，x∈（﹣∞，0）}＝（0，+∞），
∵M＝[0，4]，∴f（M）＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈[0，4]}＝[﹣8，1]．
∴f（P）∪f（M）＝[﹣8，+∞）
（Ⅱ）若﹣3∈M，则f（﹣3）＝﹣15∉[﹣3，2a﹣3]，不符合要求
∴﹣3∈P，从而f（﹣3）＝3
∵f（﹣3）＝3∈[﹣3，2a﹣3]
∴2a﹣3≥3，得a≥3
若a＞3，则2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1＝﹣x2+2x
∵P∩M＝∅，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a
∴x0＝2a﹣3≤a，得a≤3，与前提矛盾
∴a＝3
此时可取P＝[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M＝[﹣1，0），满足题意
（Ⅲ）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）＝0，∴x∈M
∴（﹣∞，0）⊆M，同理可证：（1，+∞）⊆P
若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，则1＞f（x0）＝﹣+2x0＞x0，
于是[x0，﹣+2x0]⊆M
记x1＝﹣+2x0∈（0，1），x2＝﹣+2x1，…
∴[x0，x1]∈M，同理可知[x1，x2]∈M，…
由xn+1＝﹣+2xn，得1﹣xn+1＝1+﹣2xn＝（1﹣xn）2；
∴1﹣xn＝（1﹣xn﹣1）2＝（1﹣xn﹣2）22＝…＝（1﹣x0）2n
对于任意x∈[x0，1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然数nx，则
x∈[xnx，xnx+1]⊆M
∴[x0，1）⊆M
综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：
P＝（0，t）∪[1，+∞），M＝（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1
或者P＝（0，t]∪[1，+∞），M＝（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1
或者P＝[1，+∞），M＝（﹣∞，1）
或者P＝（0，+∞），M＝（﹣∞，0]
【点评】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题解决问题的能力
12．（2022•闵行区校级二模）某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．
（1）若a＝9，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
【分析】（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元．在计划时间内，列出该企业的人均年终奖，令其大于或等于3万元，求出最低年限，判断a＝9是否满足题意．
（2）设1≤x1＜x2≤10，利用函数的单调性定义，人均年终奖年年有增长，确定a的范围，然后确定该企业每年员工的净增量不能超过的人数．
【解答】解：（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元．
则；（4分）
由题意，有，
解得，．
所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标．
（2）设1≤x1＜x2≤10，则f（x2）﹣f（x1）＝＝，
所以，60×800﹣2000a＞0，得a＜24．
所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人．
【点评】本题考查其他不等式的解法，函数单调性的判断与证明，根据实际问题选择函数类型，考查逻辑思维能力，分析问题解决问题的能力，是中档题．