考点08平面向量及其应用（12种题型6个易错考点）（解析版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

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考点08平面向量及其应用（12种题型6个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五.刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．选择题（共1小题）
1．（2021•上海）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得＝0；②存在△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（　　）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【分析】设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），由向量数量的坐标运算即可判断①；F为AB中点，可得（+）＝2，由D为BC中点，可得CF与AD的交点即为重心G，从而可判断②
【解答】解：不妨设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），
①＝（﹣1﹣2x，﹣2y），＝（x﹣1，y），
若＝0，则﹣（1+2x）（x﹣1）﹣2y2＝0，即﹣（1+2x）（x﹣1）＝2y2，
满足条件的（x，y）存在，例如（0，），满足上式，所以①成立；
②F为AB中点，（+）＝2，CF与AD的交点即为重心G，
因为G为AD的三等分点，E为AD中点，
所以与不共线，即②不成立．
故选：B．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．
二．填空题（共9小题）
2．（2023•上海）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝　（1，0）　．
【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．
【解答】解：因为向量＝（3，4），＝（1，2），
所以﹣2＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．
3．（2021•上海）如图正方形ABCD的边长为3，求•＝　9　．

【分析】根据，直接求解即可．
【解答】解：由数量积的定义，可得，
因为，所以 ＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题．
4．（2023•上海）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝　4　．
【分析】直接利用平面向量的坐标运算法则求解．
【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（1，2），
∴•＝﹣2×1+3×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
5．（2020•上海）三角形ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝　　．
【分析】根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积的运算即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，
∴由余弦定理得，＝，
∴，且D是BC的中点，
∴
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
6．（2022•上海）若平面向量||＝||＝||＝λ，且满足•＝0，•＝2，•＝1，则λ＝　　．
【分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．
【解答】解：由题意，有•＝0，则，设＜＞＝θ，
⇒
则得，tanθ＝，
由同角三角函数的基本关系得：cosθ＝，
则＝||||cosθ＝＝2，
λ2＝，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（2022•上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为 　﹣　．
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2x2﹣3x，再利用二次函数求最值即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如下，

则B（2，0），C（0，2），M（1，0），
直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，
点P在直线上，设P（x，2﹣x），
∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），
∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x＝2﹣≥﹣，
∴•的最小值为﹣．
故答案为：﹣．

【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．
8．（2020•上海）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是　6　．
【分析】设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k的最大值．
【解答】解：如图，设，，

由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，
分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．
故满足条件的k的最大值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．
9．（2020•上海）已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足＝0（n＝1，2，3），||•||＝n+1（n＝1，2，3），则||的最小值为　　．
【分析】可设，从而据题意可得出，，并设A1（0，0），根据是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值．
【解答】解：设，则，，
设A1（0，0），如图，
∵求的最小值，则：
A2（x，0），，，
∴＝，当且仅当，即时取等号，
∴||的最小值为．
故答案为：．

【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
10．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且⊥、⊥，与夹角为60°，点P为空间任意一点，且||＝1，满足|•|≤|•|≤|•|，则|•|最大值为 　　．
【分析】将问题坐标化，表示出的坐标，再设，代入条件，结合不等式的性质求解．
【解答】解：设，，，
，不妨设x，y，z＞0，则||＝x2+y2+z2＝1，
因为|•|≤|•|≤|•|，
所以，可得，z≥y，
所以，解得，
故＝y．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算以及不等式的性质，属于中档题．

二、考点清单

1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算

向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)　
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ0,
∴>0⇒2λ＋1>0, 得λ>－,λ的取值范围是.
【错因】当向量a,b同向时,θ＝0,cos θ＝1满足cos θ>0,但不是锐角．
【正解】∵θ为锐角,∴0