考点08平面向量及其应用（12种题型6个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

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考点08平面向量及其应用（12种题型6个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五.刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．选择题（共1小题）
1．（2021•上海）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得＝0；②存在△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（　　）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
二．填空题（共9小题）
2．（2023•上海）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝　 　．
3．（2021•上海）如图正方形ABCD的边长为3，求•＝　 　．

4．（2023•上海）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝　 　．
5．（2020•上海）三角形ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝　 　．
6．（2022•上海）若平面向量||＝||＝||＝λ，且满足•＝0，•＝2，•＝1，则λ＝　 　．
7．（2022•上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为 　 　．
8．（2020•上海）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是　 　．
9．（2020•上海）已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足＝0（n＝1，2，3），||•||＝n+1（n＝1，2，3），则||的最小值为　 　．
10．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且⊥、⊥，与夹角为60°，点P为空间任意一点，且||＝1，满足|•|≤|•|≤|•|，则|•|最大值为 　 　．
二、考点清单

1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算

向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)　
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
7．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
8．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
9.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
10．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0

11.平面向量与解三角形的综合应用
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．
<常用结论>
1．五个特殊向量
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
2．五个常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．

(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：
①＋＋＝0；
②＝(＋)；
③＝(＋)，＝(＋)．
(5)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3．基底需要的关注三点
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
4．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
5．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
7．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
三、题型方法

一．向量的概念与向量的模（共2小题）
1．（2023•奉贤区二模）在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a和一个奇数b构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 　 　．
2．（2023•普陀区二模）设x、y∈R，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 　 　．
二．两向量的和或差的模的最值（共3小题）
3．（2023•黄浦区二模）如图．在直角梯形ABCD中．AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，点P是腰AB上的动点，则|2|的最小值为 　 　．

4．（2023•杨浦区二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是 　 　．
5．（2023•长宁区二模）已知空间向量、、、满足：，，，，则的最大值为 　 　．
三．平面向量数量积的含义与物理意义（共2小题）
6．（2023•松江区模拟）已知向量和满足，则在方向上的数量投影为 　 　．
7．（2023•普陀区校级三模）若＝（1，2），＝（3，﹣4），则在方向上的投影为　 　．
四．平面向量数量积的性质及其运算（共33小题）
8．（2023•虹口区校级模拟）将向量绕坐标原点O顺时针旋转30°得到，则＝　 　．
9．（2023•杨浦区校级三模）已知在上的数量投影为，其中点O为原点，则点B所在直线方程为 　 　．
10．（2023•普陀区校级模拟）已知点O为ABC的外心，且•+•＜•，则△ABC为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
11．（2023•浦东新区校级一模）已知向量，，满足++＝，且＜＜，则、、中最小的值是（　　）
A． B． C． D．不能确定的
12．（2023•普陀区校级三模）在△ABC中，AB＝AC＝3，．若，则＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
13．（2023•宝山区校级模拟）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
14．（2023•奉贤区校级三模）同一平面内的两个不平行的单位向量，，在上的投影向量为，则＝　 　．
15．（2023•杨浦区校级模拟）若向量与不共线也不垂直，且，则向量夹角＝　 　．
16．（2023•黄浦区校级三模）已知平面向量，，满足，，，则的最大值为 　 　．
17．（2023•嘉定区二模）△ABC是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则＝　 　．
18．（2023•上海模拟）向量为直线x﹣2y+2＝0中的法向量，则向量（1，1）在方向上的投影为 　 　．
19．（2023•浦东新区校级一模）已知向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1）．
（1）若，求tan2x的值；
（2）若f（x）＝（+），求函数f（x）的最小正周期及当x∈[0，]时的最大值．





20．（2023•嘉定区校级三模）如图直线l以及三个不同的点A，A'，O，其中O∈l，设，，直线l的一个方向向量的单位向量是，下列关于向量运算的方程
甲：，乙：，
其中是否可以作为A，A'关于直线l对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（　　）

A．甲乙都可以 B．甲可以，乙不可以
C．甲不可以，乙可以 D．甲乙都不可以
21．（2023•虹口区校级三模）已知平面向量满足，则的取值范围是 　 　．
22．（2023•长宁区校级三模）已知，，是同一个平面上的向量，若，且，则＝　 　．
23．（2023•嘉定区校级三模）已知与垂直，，且与的夹角是钝角，则在方向上的投影为 　 　．
24．（2023•徐汇区校级模拟）已知平面向量、、，对任意实数t，都有|﹣t|≥|﹣|、|﹣t|≥|﹣|成立，若||＝3，||＝2，|﹣|＝，则||＝　 　．
25．（2023•闵行区二模）平面上有一组互不相等的单位向量，若存在单位向量满足＝0，则称是向量组的平衡向量．已知〈，〉＝，向量是向量组的平衡向量，当取得最大值时，的值为 　 　．
26．（2023•宝山区二模）已知非零平面向量不平行，且满足，记，则当与的夹角最大时，的值为 　 　．
27．（2023•浦东新区二模）已知边长为2的菱形ABCD中，∠A＝120°，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且PQ⊥BD，则的最大值是 　 　．
28．（2023•松江区二模）已知点A、B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且．若存在m，n∈R，使得与垂直，且，则|AB|的最小值为 　 　．
29．（2023•黄浦区校级模拟）已知是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为 　 　．
30．（2023•崇明区二模）设平面向量满足：，，，，则的取值范围是 　 　．

31．（2023•崇明区二模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，＝0．
（1）求角B大小；
（2）设，当时，求f（x）的最小值及相应的x．





32．（2023•松江区校级模拟）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝2，若，则给出下面四个结论：
①λ+μ的最小值为；
②的最小值为﹣6；
③λ+μ的最大值为；
④的最大值为8．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
33．（2023•浦东新区校级模拟）已知，对任意1≤i＜j≤5都有，则实数M的最小值为 　 　．
34．（2023•黄浦区模拟）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若的取值范围是，则λ的取值范围是 　 　．
35．（2023•上海模拟）设向量，，记，若圆C：x2+y2﹣4x+8y＝0上的任意三点A1，A2，A3，且A1A2⊥A2A3，则的最大值是 　 　．
36．（2023•浦东新区校级三模）已知点A，B，C在圆x2+y2＝4上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（1，0），则|++|的取值范围是 　 　．
37．（2023•浦东新区校级三模）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是 　 　．
38．（2023•黄浦区校级三模）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝2，若＝+，则给出下面四个结论：
①λ+μ的最小值为﹣；
②λ+μ的最大值为；
③的最小值为﹣6；
④的最大值为8．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
39．（2023•虹口区二模）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数t，均有，则的最小值为 　 　．
40．（2023•徐汇区校级三模）已知平面向量，，，满足，，且λ+2μ＝1，若对每一个确定的向量，记的最小值为m，则当变化时，实数m的最大值为 　 　．
五．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共1小题）
41．（2023•嘉定区模拟）已知向量＝（2，﹣1），＝（1，t），且|+|＝|﹣|，则t＝　 　．
六．向量的投影（共2小题）
42．（2023•虹口区校级三模）已知，若向量在向量方向上的数量投影为，则实数m的值为 　 　．
43．（2023•徐汇区校级三模）已知向量，，则向量在向量方向上的数量投影为 　 　．
七．投影向量（共3小题）
44．（2023•南岗区校级二模）已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于 　 　．
45．（2023•松江区校级模拟）已知向量，，则在方向上的投影向量等于 　 　．
46．（2023•青浦区二模）已知向量和，则在方向上的投影是 　 　．
八．平面向量的基本定理（共5小题）
47．（2023•青浦区二模）设、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
48．（2023•徐汇区校级三模）如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且+＝x+y，则+的最小值为 　 　．

49．（2023•黄浦区校级三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，若，则＝　 　．
50．（2023•普陀区校级模拟）在平行四边形ABCD中，，．若，则m+n＝　 　．
51．（2023•青浦区校级模拟）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则λ+μ的最大值为　 　．
九．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题）
52．（2023•黄浦区校级三模）已知平面向量，，若，则m＝　 　．
53．（2023•普陀区校级模拟）已知，若与互相平行，则实数k的值是 　 　．
一十．数量积表示两个向量的夹角（共4小题）
54．（2023•金山区二模）已知向量，向量，则与的夹角的大小为 　 　．
55．（2023•闵行区校级二模）已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的最小值为 　 　．
56．（2023•浦东新区模拟）已知O是△ABC的外心，且，则cos∠BAC＝　 　．
57．（2023•杨浦区校级三模）对任意两个非零的平面向量和，定义⊗＝．若平面向量，满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且⊗和⊗都在集合{|n∈Z}中，则⊗＝　 　．
一十一．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）
58．（2023•闵行区校级三模）已知向量，若，则实数x＝　 　．
一十二．正弦定理（共1小题）
59．（2023•上海模拟）在△ABC中，∠A＝150°，D1，D2，…，D2022，依次为边BC上的点，且BD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D2021D2022＝D2022C，设∠BAD1＝α1、∠D1AD2＝α2、…、∠D2021AD2022＝α2022、∠D2022AC＝α2023，则的值为 　 　．



四、易错分析

易错点一、忽略向量共线致误
1、已知向量的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．
2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．
易错点二、对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误
3、给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则且存在且唯一；(4) λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命题的个数为
A.1 B. 2 C.3 D.4
易错点三、对两两夹角相等理解不准确
4、若单位向量两两夹角相等,则的模为 .
易错点四、确定向量夹角忽略向量的方向致错
5、已知等边△ABC的边长为1,则·＋·＋·＝________.
6、在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于 （ ）
A． B. C. D.
易错点五、向量基本概念模糊致错
7、下列五个命题：
① 若a∥b,b∥c,则a∥c；
② 若A,B,C,D是同一平面内的四点且=，则ABCD为平行四边形；
③ 若,则；
④ ； 其中正确的命题有______个。
易错点六、 忽视平面向量基本定理的成立条件
8、下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A、=（0，0），=（1，-2） B、=（-1，2），=（5，7）
C、=（3，5），=（6，10） D、=（2，-3），=（4，-6）


五.刷压轴

一、单选题
1．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．
二、填空题
2．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知平面向量，，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，实数的最大值为 .
3．（2023·上海宝山·统考二模）已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为 ．
4．（2023·上海·统考模拟预测）如图，已知，是直角两边上的动点，，，，，，则的最大值为 .

5．（2023·上海金山·上海市金山中学校考模拟预测）已知平面向量，其中为单位向量，且满足，若与夹角为，向量满足，则最小值是 .
6．（2023·上海杨浦·统考二模）已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是
7．（2023·上海闵行·统考二模）平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，值为 ．
8．（2023·上海普陀·统考二模）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
9．（2023·上海松江·统考二模）已知点是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 ．
10．（2023·上海闵行·统考一模）已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ．
11．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知平面向量，，满足，，，则的最大值为 ．
12．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是 .
三、解答题
13．（2023·上海闵行·统考一模）如图，点A、B、C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．

(1)求直线BC的方程；
(2)求证：；
(3)已知直线的方程为，线段QM的中点为T，是否存在垂直于y轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．