考点10函数与数学模型（4种题型与基础、易错专练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（原卷版）

这是一份考点10函数与数学模型（4种题型与基础、易错专练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（原卷版），共28页。试卷主要包含了考点清单，题型方法，刷基础等内容，欢迎下载使用。

考点10函数与数学模型（4种题型与基础、易错专练）
一、 2022真题抢先刷，考向提前知

一．填空题（共2小题）
1．（2022•上海）若函数f（x）＝，为奇函数，求参数a的值为 　 　．
2．（2022•浙江）已知函数f（x）＝则f（f（））＝　 　；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是 　 　．

二、考点清单

一．函数最值的应用
函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．
这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．
例：城关中学要建造一个长方形游泳池，其容积为4800立方米，深为3米，如果建造池底的单价是建造池壁单价的1.5倍，怎样设计水池才能使总造价最低？设池壁造价为每平方米m元，则最低造价为多少？
解：设水池底面的长为x米，宽为4800÷3x米，总造价为y，则
＝2400m+6（）m…（6分）
求导可得
令，可得x＝40…（11分）
∴函数在（0，40）上单调递增，在（40，+∞）上单调递减
∴当池底长为40米，宽为40米时，总造价最低为2880m元．
这是工程上一个很常见的成本最低的问题，也很有代表性，在这个立体当中，我们要做的第一步是构建数学模型，把求成本最低的问题转化为求函数的最小值，这个题在构建模型的时候最关键的是要找到造价与底面长的关系，从而又把造价问题转化为关于底面长的一个函数，这也是我们常用的方法．第二步构建函数，然后运用数学方法求解，这个是重点，求解的一般方法为基本不等式和求导判定单调性．
【高考预测】
应用题紧贴实际，很能体现学以致用，是出题老师很喜欢的一种题型，解答这种题需要考生先苦练基本功，会求一般函数的最值；然后也具备基本的建模能力，在文字当中找到它们的内在逻辑关系，最后以函数的形式表达出来．
二．分段函数的应用
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【具体应用】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【考查预测】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
三．根据实际问题选择函数类型
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．

【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+log7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．

典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
四．带绝对值的函数
1．当函数体中包含绝对值，就需要对绝对值内的部分的正负情况进行讨论，因此含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图象进行研究．
2．①形如y＝|f（x）|的函数，由于|f（x）|＝，因此研究此类函数往往结合函数图象，可以看成由 的图象在x轴上方部分不变，下方部分关于x轴对称得到，例如y＝|x2﹣1|的图象如下图：
②f（x）＝a|x﹣m|+b|x﹣n|，（m＜n）的图象是以A（m，f（m）），B（n，f（n））为折点的折线．
当a+b＞0时，两端向上无限延伸，故存在最小值，最小值为min{f（m），f（n）}；
当a+b＜0时，两端向下无限延伸，故存在最大值，最大值为Max{f（m），f（n）}；
当a+b＝0时，两端无限延伸且平行x轴，故既有最大值又有最小值，最大值为Max{f（m），f（n）}；最小值为min{f（m），f（n）}；例如：y＝2|x﹣1|+3|x﹣2|和y＝2|x﹣1|﹣3|x﹣2|的图象分别为


三、题型方法

一．函数最值的应用（共6小题）
1．（2022•和平区三模）设a，b＞0，a+b＝5，则+的最大值为　 　．
2．（2022•兴庆区校级一模）若函数f（x）＝•cosx+3在[﹣，]上的最大值与最小值之和为（　　）
A．6 B．3 C．4 D．8
3．（2022•商洛一模）声音大小（单位：dB）取决于声波通过介质时所产生的压力（简称声压，单位：N/m2）变化．已知声压x与声音大小y的关系式为．根据我国《工业企业噪声卫生标准》规定，新建企业工作地点噪音容许标准为85dB．若某新建企业运行时测得的声音大小为60dB，符合《工业企业噪声卫生标准》规定，则此时声压为（　　）
A．2N/m2 B．20N/m2 C．0.2N/m2 D．0.02N/m2
4．（2022•合肥二模）已知函数f（x）＝x2﹣asinx﹣1，a∈R．
（1）设函数g（x）＝f′（x），若y＝g（x）是区间上的增函数，求a的取值范围；
（2）当a＝2时，证明：函数f（x）在区间（0，π）上有且仅有一个零点．



（多选）5．（2022•福建模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0．对于任意的，函数f（x）在区间上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期小于
B．函数f（x）在内不一定取到最大值
C．
D．函数f（x）在内一定会取到最小值
6．（2022•上海模拟）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益（单位：元）满足R（x）＝其中x（单位：台）是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司利润最大？最大为多少元？（总收益＝总成本+利润）




二．分段函数的应用（共18小题）
7．（2023•新疆模拟）已知函数f（x）＝，其中a＞0且a≠1，若函数f（x）图象上存在关于原点对称的点仅有两对，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023•呼和浩特模拟）若函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023•海口模拟）函数f（x）＝x2﹣4|x|+3的单调递减区间是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2）和（0，2）
C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）和（2，+∞）
10．（2023•青秀区校级一模）已知函数，那么f（f（﹣1））＝（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
11．（2023•宜宾模拟）若函数的最小值是﹣2，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
12．（2023•永州三模）若函数y＝f（x）和y＝f（﹣x）在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y＝f（x）的“稳定区间”．已知区间[1，2023]为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（　　）
A． B． C． D．
13．（2023•射洪市校级模拟）已知函数f（x）＝若f（a）＜f（6﹣a），则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，﹣3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，3）

14．（2023•大通县二模）已知实数a≠1，函数若f（1﹣a）＝f（a﹣1），则a的值为（　　）
A． B． C． D．
15．（2023•九江模拟）设函数f（x）＝4x+|x﹣a|，其中a∈R．
（1）当a＝6时，求曲线y＝f（x）与直线4x﹣y+8＝0围成的三角形的面积；
（2）若a＜0，且不等式f（x）＜2的解集是（﹣∞，﹣3），求a的值．





16．（2023•北京模拟）已知函数，若方程f（x）＝1的实根在区间（k，k+1），k∈Z上，则k的最大值是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
17．（2023•古冶区校级模拟）已知函数，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
18．（2023•湖北模拟）已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（　　）
A．（e，+∞） B． C． D．
19．（2023•东城区二模）设函数，若f（x）为增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，4] B．[2，4] C．[2，+∞） D．[4，+∞）
20．（2023•嘉定区校级三模）已知函数，若满足f（a）＝f（b）＝f（c）（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是（　　）
A．（3，2023.5） B．（3，2024） C．[3，2024） D．[3，2025）
21．（2023•嵊州市模拟）已知函数，若p≠q，且f（p）+f（q）＝2，则p+q的最小值是（　　）
A．2﹣2ln2 B．3﹣2ln2 C．4﹣2ln3 D．2
22．（2023•南昌三模）函数若关于x的不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，+∞），则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
23．（2023•丹东模拟）设函数y＝f（x）由关系式x|x|+y|y|＝1确定，函数，则（　　）
A．g（x）为增函数
B．g（x）为奇函数
C．g（x）值域为[﹣1，+∞）
D．函数y＝f（﹣x）﹣g（x）没有正零点
24．（2023•黄埔区校级模拟）已知函数f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．
（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．







三．根据实际问题选择函数类型（共18小题）
25．（2023•全国二模）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa＝1N/m2），已知大气压强p（Pa）随高度h（m）的变化规律是，其中p0是海平面大气压强，k＝0.000126m﹣1．当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为 　 　米．（答案保留整数，参考数据ln3≈1.1）
26．（2023•西城区校级三模）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2023年5月1日
12
35000
2023年5月15日
60
35500
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（　　）
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
27．（2023•驻马店三模）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：L/min•m2），水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min•m2时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（　　）（参考数据：）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
28．（2023•密云区三模）血药浓度（PlasmaConcentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；
②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；
③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．
其中正确说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2023•广西模拟）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把（1+1%）365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把（1﹣1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（　　）天．（参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010）
A．35 B．25 C．15 D．9
30．（2023•闵行区校级二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用﹣的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．则下列正确的命题是（　　）

A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强
31．（2023•潍坊二模）如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成．已知A，C可在带滑槽的直杆l上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）．若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为 　 　．

32．（2023•哈尔滨二模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容．例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕．
圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C．
现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则|OM|的最小值为 　 　．

33．（2023•济南一模）机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点 A（x1，y1），B（x2，y2）的闵氏距离为Dp（A，B）＝（|x1﹣x2|p+|y1﹣y2|p），其中p为非零常数．如果点M在曲线y＝ex上，点N在直线y＝x﹣1上，则D1（M，N）的最小值为 　 　．
34．（2023•重庆模拟）王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，月利率为0.3%，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）．
（1）若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；
（2）若王先生采取等额本息的还贷方式．银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批．（不考虑其他因素）参考数据1.003119≈1.428，1.003180≈1.433，1.003121≈1.437

















35．（2023•郴州模拟）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的．所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和．它们计算的基点分别是存期的起点和终点．例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则S＝A（1+r）n其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为．
现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案
方案一：一次性付全款25万元；
方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；
（1）已知一年期存款的年利率为2.5%，试讨论两种方案哪一种更好？
（2）若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1）问中的存款年利率2.5%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值．（精确到百元）
参考数据：（1+2.5%）10≈1.28















36．（2023•丰城市模拟）某企业购买某种仪器，在仪器使用期间可能出现故障，需要请销售仪器的企业派工程师进行维修，因为考虑到人力，成本等多方面的原因，销售仪器的企业提供以购买仪器维修服务的条件：在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元在仪器使用期间，如果维修服务次数不够再次购买，则需要每次1500元，现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务，为此搜集并整理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到如下表格：
维修次数
5
6
7
8
9
频数（台）
50
100
150
100
100
记x表示一台仪器使用期内维修的次数，y表示一台仪器使用期内维修所需要的费用，n表示购买仪器的同时购买的维修服务的次数．
（1）若n＝6，求y与x的函数关系式；
（2）以这500台仪器使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求6≤x≤8的概率；
（3）假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数，以此为决策依据，判断应购买7次还是8次维修服务？






37．（2023•海淀区校级三模）“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg2≈0.3）（　　）
A．75 B．74 C．73 D．72
38．（2023•苏州三模）5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至12000，则C大约增加了（　　）（参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg5＝0.6990）
A．25% B．30% C．36% D．45%
39．（2023•无锡三模）“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步．假设我们每天进步1%，则一年后的水平是原来的1.01365≈37.8倍，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长．如果将我们每天的“进步”率从目前的10%提高到20%，那么大约经过（　　）天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg11≈1.041）
A．82 B．84 C．86 D．88
40．（2023•南昌二模）足球是大众喜爱的运动，足球比赛中，传球球员的传球角度、接球球员的巧妙跑位都让观众赞不绝口．甲、乙两支球队一场比赛的某一时刻，三位球员站位如图所示，其中A，B点站的是甲队队员，C点站的是乙队队员，l1∥l2，这两平行线间的距离为3m，CA⊥AB，|AC|＜|AB|，|BC|＝10m，点B在直线l上，且l⊥l2，这时，站位A点球员传球给站位B点队友（传球球员能根据队友跑位调整传球方向及控制传球力度，及时准确传到接球点），记传球方向与l1的夹角为α，已知站位B，C两点队员跑动速度都是8m/s，现要求接球点满足下面两个条件：
①站位B点队员能至少比站位C点队员早1s跑到接球点；
②接球点在直线l的左侧（包括l）；则tanα的取值范围是 　 　．

41．（2023•平顶山模拟）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸．课堂上，老师给每位同学发了一张长为12cm，宽为10cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠．若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长度的取值范围是 　 　cm．


42．（2023•奉贤区二模）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如图所示，并铺设了部分人行通道．
为了简单起见，现作如下假设：
假设1：绿地是由线段AB，BC，CD，DE和弧围成的，其中是以O点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；
假设2：线段AB，BC，CD，DE所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；
假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；
假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．
图1﹣图3中的相关边、角满足以下条件：
直线BA与DE的交点是O，AB∥CD，．DE＝EO＝OA＝AB＝200米．
小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．

（1）假设休息亭建在弧的中点，记为Q，沿和线段QC修路，如图2所示．求QC的长；
（2）假设休息亭建在弧上的某个位置，记为P，作PM⊥BC交BC于M，作PN⊥CD交DC于N．沿、线段PM和线段PN修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；
（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．



四．带绝对值的函数（共3小题）
43．（2023•咸阳校级模拟）已知函数f（x）＝|x+2|+2|x﹣1|﹣2
（1）在下列坐标系中作出函数f（x）的图象；
（2）若f（x）⩾kx+2k，求实数k的取值范围．

44．（2023•射洪市校级模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．
（1）在直角坐标系中画出y＝f（x）和y＝g（x）的图象；
（2）若f（x）+a≥g（x）恒成立，求a的取值范围．







45．（2023•船山区校级模拟）设函数f（x）＝|2x﹣a|+2a
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣6≤x≤4}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣5的解集非空，求实数k的取值范围．

四、刷基础

一．选择题（共12小题）
1．（2023•咸阳二模）某商场要将单价分别为36元/kg，48元/kg，72元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等．那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为（　　）
A．52元/kg B．50元/kg C．48元/kg D．46元/kg
2．（2023•温州模拟）某公司计划租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．经测算，若在距离车站10km处建仓库，则每月的土地费用与运输费用分别为2万元和8万元．要使两项费用之和最小，仓库和车站的距离为（　　）
A．4km B．5km C．6km D．7km
3．（2023•德阳模拟）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点P（﹣1，﹣2）处出发，河岸线对应的直线方程为x+y＝2，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2023•合肥模拟）Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N（t）与时间t关系时，得到的Malthus模型是N（t）＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（　　）（ln6.3≈1.84）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023•酒泉模拟）我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系．声音的强度常用I（单位：瓦/米2，即W/m2）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L（单位：分贝）表示，它们满足换算公式：（L≥0，其中是人们平均能听到的声音的最小强度）．若某小区内公共场所因施工声音的强度水平升高了20分贝，则声音的强度应变为原来的（　　）
A．5倍 B．100倍 C．10倍 D．20倍
6．（2023•4月份模拟）某购物网站在2022年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免60元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共45件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．（2023•鼓楼区校级模拟）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（　　）（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631 ）
A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.4%
8．（2023•湖北模拟）研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则鲑鱼以1m/s游动时的耗氧量是它静止时的耗氧量的（　　）
A．7倍 B．8倍 C．9倍 D．10倍
9．（2023•重庆模拟）生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y（单位：mg）与时间t（单位：年）近似满足关系式y＝λ（1﹣3﹣λt），λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝λ，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
10．（2023•合肥三模）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是（1+1%）365＝1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是（1﹣1%）365＝0.99365.一年后“进步”的是“退步”的倍．如果每月的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（　　）月后“进步”的是“退步”的一万倍．（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．20 B．21 C．22 D．23
11．（2023•青秀区校级一模）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系y＝ekx+b（y为保鲜时间，x为储存温度），若该食品在冰箱中0°C的保鲜时间是144小时，在常温20°C的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40°C的保鲜时间是（　　）
A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时
12．（2023•大荔县一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2（1+）．它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至6000，则C的增长率为（　　）（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．10% B．16% C．26% D．33%
二．多选题（共2小题）
（多选）13．（2023•韶关二模）已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，．设F（x）＝f（x）+f（x﹣1），则（　　）
A．函数y＝F（x）是奇函数也是周期函数
B．函数y＝F（x）的最大值为1
C．函数y＝F（x）在区间（2022，2023）上单调递减
D．函数y＝F（x）的图像有对称中心也有对称轴
（多选）14．（2023•张家口一模）已知函数f（x）＝|sinx|+cos|x|，则下列结论正确的有（　　）
A．f（x）为偶函数
B．f（x）的最小值为
C．f（x）在区间上单调递增
D．方程在区间[0，4π]内的所有根的和为8π
三．填空题（共3小题）
15．（2023•陕西模拟）已知函数f（x）＝则f[f（x）]＜2的解集是 　 　．
16．（2023•全国一模）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度t℃应满足的不等关系式是 　 　．
17．（2023•重庆模拟）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，至少需要 　 　块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度为原来的强度的以下．（lg3＝0.477）
四．解答题（共1小题）
18．（2023•西山区校级模拟）春见柑橘的学名是春见，俗称粑粑柑，2001年从中国柑橘研究所引进，广泛种植于四川、重庆、江西等地．四川省某个春见柑橘种植基地随机选取并记录了8棵春见柑橘树未使用新技术时的年产量（单位：千克）和使用了新技术后的年产量的数据的变化，得到如下表格：
未使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量

第一棵
第二棵
第三棵
第四棵
第五棵
第六棵
第七棵
第八棵
年产量
30
32
33
30
34
30
34
33
使用了新技术后的8棵春见柑橘树的年产量

第一棵
第二棵
第三棵
第四棵
第五棵
第六棵
第七棵
第八棵
年产量
40
39
40
37
42
38
42
42
已知该基地共有40亩地，每亩地有55棵春见柑橘树．
（1）根据这8棵春见柑橘树年产量的平均值，估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比；
（2）已知使用新技术后春见柑橘的成本价为每千克5元，市场销售价格为每千克10元．若该基地的所有春见柑橘有八成按照市场价售出，另外两成只能按照市场价的八折售出，试估计该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润是多少万元．









五.刷易错

一．选择题（共7小题）
1．（2023•南宁二模）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为M＝M0e﹣kt（其中M0，k是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉80%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.01h，参考数据：lg2≈0.30）（　　）
A．1.53h B．1.60h C．1.75h D．2.33h
2．（2023•南宁二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2023•河南模拟）著名物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．统计学家发现网络热搜度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，热搜度会逐渐降低．假设事件的初始热搜度为N0（N0＞0），经过t（天）时间之后的热搜度变为N（t）＝N0e﹣αt，其中α为冷却系数．若设某事件的冷却系数α＝0.3，则该事件的热搜度降到初始的50%以下需要的天数t至少为（　　）（ln2≈0.693，t取整数）
A．7 B．6 C．4 D．3
4．（2023•河东区二模）已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）
A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
5．（2023•绍兴二模）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度（即梯形的高）约为（　　）（参考数据：≈1.732）

A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米
6．（2023•江西模拟）已知λ∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣4x+1+2λ，若关于x的方程f（g（x））＝λ有6个解，则λ的取值范围为（　　）
A．（0，] B．（0，） C．（，1） D．（，）


7．（2023•遂川县校级一模）已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（　　）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1） D．[﹣1，1）
二．填空题（共1小题）
8．（2023•徐汇区校级模拟）已知a∈R，函数f（x）＝的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是　 　．
三．解答题（共1小题）
9．（2023•重庆模拟）正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加．正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：V（t）＝Asin（2πft+φ），其中V（t）表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位：V）是关于时间t（单位：s）的函数，而A＞0表示正弦信号的幅度，f是正弦信号的频率，相应的为正弦信号的周期，φ为正弦信号的初相．由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理．如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为R1，R2，R3，R4（单位：Ω）．
V1（t）和V2（t）是两个输入信号，V0（t）表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，V0（t）与V1（t）和V2（t）的关系为：．
例如当R1＝R2＝R3＝R4＝1Ω，输入信号V1（t）＝sint，V2（t）＝cost时，输出信号：．
（1）若R1＝R2＝R3＝R4＝1Ω，输入信号V1（t）＝sint，V2（t）＝cost，则V0（t）的最大值为_____；
（2）已知R2＝1Ω，R3＝2Ω，R4＝3Ω，输入信号，．若（其中A＞0），则R1＝_____；
（3）已知R3＝1Ω，R4＝1Ω，0＜R2＜R1≤1Ω，且V1（t）＝sint，V2（t）＝cos2t．若V0（t）的最大值为，则满足条件的一组电阻值R1，R2分别是_____．