考点13 函数与方程11种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版）

这是一份考点13 函数与方程11种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版），共16页。试卷主要包含了求函数的零点，确定零点所在的区间，判断函数零点个数，已知函数零点求值，与零点相关的比较大小问题，求零点的和，嵌套函数的零点问题，函数零点的综合应用等内容，欢迎下载使用。

考点13 函数与方程11种常见考法归类


考点一 求函数的零点
考点二 确定零点所在的区间
考点三 判断函数零点个数
（一）解方程法
（二）零点存在性定理法
（三）数形结合法
考点四 已知函数零点求值
考点五 根据零点所在的区间求参数的取值范围
考点六 根据函数零点的个数求参数的取值范围
考点七 与零点相关的比较大小问题
考点八 求零点的和
考点九 嵌套函数的零点问题
考点十 函数零点的综合应用
考点十一 用二分法求方程的近似解


1. 函数的零点与方程的解
(1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
注：
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
⑤周期函数如果存在零点，则必有无穷多个零点.
⑥对于零点存在性定理，须知满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点.
2. 理解函数零点存在定理要注意三点：
①“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可. 如图1仅满足前者，图2仅满足后者，两函数均无零点.

图1 　 　图2
②定理不可逆，就是说满足了①中的两个条件的函数一定有零点，但是一个函数有零点，不一定需要具备这两个条件. 如图3中f(a)f(b)＞0，但函数有零点.

图3 　图4
③该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数. 至少存在一个零点，就是说满足了①中的两个条件的函数一定至少有一个零点，但不一定只有一个零点，可能有其它更多的零点，如图4，但若该函数是单调函数，则有唯一零点.
3. 确定函数的零点（方程的根）所在的区间
确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定．
4. 函数零点个数的判断方法
（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）
才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5. 已知函数零点所在区间求参数的取值范围
根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
6. 已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
7. 已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
已知零点个数求参数范围问题的主要解法：直接法、分离参数法、数形结合法.一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果．
8. 与函数零点有关的比较大小问题
与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定.
9. 嵌套函数的零点
（1）在复合函数中,我们把一个函数自身对自身复合所得到的函数叫做嵌套函数,也叫迭代函数.其中函数的零点问题是命题的热点求解时通常先“换元解套”将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解。
（2）四个命题
命题1函数在上有个零点方程在上有个解方程组在上有组解函数的图像与轴在上有个交点(其中).
命题2函数在上有个零点方程在上有个解方程组中在上有个解(其中).
命题3若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个
证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根;所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个
命题4若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个
证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根,所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个
上述命题充分体现了四大数学思想,通过分类讨论和数形转换,不仅为图像法在解决函数零点问题中的运用提供理论保障,同时还为处理嵌套函数零点问题提供了求解方向,即研究内外层函数零点的情况。
（3）对于一般的“”的函数的零点问题,解答步骤是:(1)换元解套,令,则,从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数和的零点问题,(2)依次解方程,令解出的值,然后代入方程中解出的值.而由含参嵌套函数方程引起的参数范围问题,在上述解题要诀的基础上,让含参的值动起来,动静结合、数形结合、抓住临界位置进行求解。
（4）常见类型题如下：
①求嵌套函数的零点个数
关于嵌套函数方程的零点个数问题,可先换元解套,则,从而先由确定的解(或取值范围),再由通过数形结合确定的解的个数
②求分段函数中参数的取值范围
③求嵌套函数(或方程)中参数的取值范围
10. 用二分法求方程的近似解
(1)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
②求区间(a，b)的中点c.
③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
(ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④.
11. 数形结合思想的应用
数形结合思想是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来研究和解决数学问题的一种数学思想方法. 数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”，把直观图形数量化，使形更加精确.


考点一 求函数的零点
1．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数的零点是_________．
2．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的零点是（    ）
A． B． C． D．9
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则方程的根___________.
4．（2023·全国·高三专题练习）e是自然对数的底数，的零点为______.
考点二 确定零点所在的区间
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间为（    ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的零点所在的区间为（    ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）方程的解所在的区间为（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数与的图象交点为，则所在区间是（    ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（    ）
x
-1
0
1
2
3

-0.670
3.011
5.432
5.980
7.651

-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892

A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：

-3
-2
-1
0
1
2
3
4

6

-4
-6
-6
-4

6
可以判断方程的两根所在的区间是（    ）
A．和 B．和
C．和 D．和
考点三 判断函数零点个数
（一）解方程法
13．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．（2023·全国·高三专题练习）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；        
②在区间上单调递增；
③在上有4个零点；    
④的值域是.
其中所有正确结论的编号是（    ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
（二）零点存在性定理法
15．（2023·四川德阳·统考一模）已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2023秋·山东济南·高三校联考期末）已知函数的图象是连续不断的，其部分函数值对应如下表：

1
2
3
4
5

0.37

2.72
0

则函数在区间上的零点至少有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2023·高三课时练习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表：
x
1
2
3
4

136.136
15.552

10.88
x
5
6
7



11.238
由表可知，函数存在零点的区间至少有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（三）数形结合法
18．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（    ）
A． B． C． D．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________.
21．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数，则在上的零点个数为________．
22．（2023·甘肃武威·统考三模）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
23．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（     ）
A．3 B．4
C．5 D．6
考点四 已知函数零点求值
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（    ）
A． B．0 C．2 D．4
25．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（    ）
A． B． C． D．
26．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点为，则（    ）．
A． B．1 C． D．2
27．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）有两个零点-1和m，若存在实数，使得，则实数m的值可能是（    ）
A． B． C． D．
考点五 根据零点所在的区间求参数的取值范围
28．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（    ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
29．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．
30．（2023·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
31．（2023·全国·高三专题练习）设函数，.若在有零点，则实数的取值范围为（    ）
A．[-1，+ ∞) B．[ ，+ ∞) C．[，+ ∞) D．[0，+ ∞)
32．【多选】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
33．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上有零点，则的最小值为___________.
34．（2023·高三课时练习）已知函数的零点，，则______．
35．（2023·河北·高三学业考试）已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
36．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是(    )
A． B． C． D．
考点六 根据函数零点的个数求参数的取值范围
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
38．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知函数有且只有1个零点，则实数的值是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______．
40．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）已知关于的函数有唯一零点，则（    ）
A． B．3 C．或3 D．4
41．（2023·新疆·校联考二模）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________．
42．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知，则“”是“有两个不同的零点”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
43．（2023·北京·高三专题练习）设函数
①当时， _________；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________．
44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
45．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
46．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数
①函数的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
47．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是 _______．
48．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，，若方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（    ）
A． B． C． D．1
49．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A．（1，3） B．（2，4） C． D．
考点七 与零点相关的比较大小问题
50．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
51．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（    ）
A． B． C． D．
52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）．
A． B．
C． D．
53．（2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是
A． B． C． D．
54．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的零点分别为，，则（    ）
A． B． C． D．
55．【多选】（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知函数，若，且，则（    ）
A． B．
C． D．
56．【多选】（2023·吉林·统考二模）如图，函数的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数满足有3个零点，，，且，则（    ）

A． B． C．D．
考点八 求零点的和
57．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
58．（2023·江西九江·统考二模）函数的所有零点之和为______．
59．（2023·江西宜春·统考一模）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为__________.
60．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.
61．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ）
A．－32 B．32 C．16 D．8
62．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
63．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________
考点九 嵌套函数的零点问题
64．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
65．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
66．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ）
A．3 B．5 C．7 D．9
67．（2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是______．
68．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
69．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设函数，则下列说法正确的是（    ）
A．若有4个零点，则
B．存在实数t，使得有5个零点
C．当有6个零点时．记零点分别为，且，则
D．对任意恒有2个零点
考点十 函数零点的综合应用
70．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数，满足，，则________.
71．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数恰有两个零点，和一个极大值点，且，，成等比数列，则__________；若的解集为，则的极大值为__________．
72．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）设随机变量，函数没有零点的概率是，则_____________附：若，则，．
考点十一 用二分法求方程的近似解
73．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ）
A． B． C． D．
74．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ）
A．， B．，
C．， D．，
75．（2023·全国·高三专题练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：






那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5