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考点14 函数模型及其应用10种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版）
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这是一份考点14 函数模型及其应用10种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版），共18页。试卷主要包含了用函数图象刻画变化过程，已知函数模型解决实际问题，利用二次函数模型解决实际问题，利用分段函数模型解决实际问题，利用分式函数模型解决实际问题，利用指数函数模型解决实际问题，利用对数函数模型解决实际问题，利用幂函数模型解决实际问题等内容，欢迎下载使用。
考点14 函数模型及其应用10种常见考法归类
考点一 用函数图象刻画变化过程
考点二 已知函数模型解决实际问题
考点三 根据实际问题增长率选择合适的函数模型
考点四 指数、对数、幂函数模型的增长差异
考点五 利用二次函数模型解决实际问题
考点六 利用分段函数模型解决实际问题
考点七 利用分式函数模型解决实际问题
考点八 利用指数函数模型解决实际问题
考点九 利用对数函数模型解决实际问题
考点十 利用幂函数模型解决实际问题
1. 几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数，且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
幂型函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2. 三种函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴
接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
3. 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法：
①构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；②验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况(或误差更大者).
4. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程
生活中遇到的实际问题，其运算往往不简洁，故由所给函数模型解决跨学科领域的交汇问题(常涉及近似计算)是近几年高考热点问题，解此类问题的关键点：
(1)分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”或其他)；
(2)根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；
(3)通过运算、推理求解函数模型，根据已知条件，利用待定系数法确定模型中的待定系数；,
(4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律、解决有关问题.
注：解函数应用问题的步骤：
(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;
(3)解模：求解数学模型，得出结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
5. 二次函数模型解析式的选择策略
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
6. 分段函数模型的求解策略
在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．
7. 指数、对数函数模型的求解策略
(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．
(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
(4)对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：
与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长．
(5)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
考点一 用函数图象刻画变化过程
1．（2023春·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）图中实线是某景点收支差额关于游客量的图像，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图像用虚线表示，以下能说明该事实的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·四川广安·高三统考期末）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·高三课时练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是( )
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为的函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
考点二 已知函数模型解决实际问题
5．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知电磁波在空间中自由传播时的损耗公式为，其中D为传输距离（单位：km），F为载波频率（单位：MHz），L为传输损耗（单位：dB）．若载波频率变为原来的200倍，传输损耗增加90dB，则传输距离约为原来的（ ）参考数据：．
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
6．（2023·北京通州·统考模拟预测）声强级（单位：）与声强x（单位：）满足．一般噪音的声强级约为80，正常交谈的声强级约为50，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
7．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（ ）
A．17周 B．24周 C．28周 D．26周
8．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）2023年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足，M，m，v之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．【多选】（2023·全国·高三专题练习）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
考点三 根据实际问题增长率选择合适的函数模型
11．（2023·高三单元测试）下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（ ）
x
-2
-1
0
1
2
3
y
0.26
1.11
3.96
16.05
63.98
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．对数函数模型 D．指数函数模型
12．（2023秋·高三单元测试）下列函数中，随着的增大，增长速度最快的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023秋·浙江·高三校联考期末）有一组实验数据如下表所示：
t
3.0
6.0
9.0
12.0
15.0
v
1.5
2.5
2.9
3.6
4.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023秋·重庆九龙坡·高三统考期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
3
9
27
81
2
以下函数中最符合变量与的对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·高三课时练习）已知三个变量，，随变量的变化数据如下表：
1
2
4
6
8
…
2
4
16
64
256
…
1
4
16
36
64
…
0
1
2
2.585
3
…
则反映，，随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
16．（2023秋·贵州黔东南·高三统考期末）1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：，是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
行星编号
1（金星）
2（地球）
3（火星）
4（ ）
5（木星）
6（土星）
离太阳的距离
(1)为了描述行星离太阳的距离与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）；
①；②；③．
(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合）
(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．
考点四 指数、对数、幂函数模型的增长差异
17．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A． B． C． D．
18．【多选】（2023秋·广东广州·高三广东实验中学校考期中）已知函数，，，下列关于这三个函数的描述中，当在上逐渐增大时，下列说法正确的是（ ）
A．的增长速度越来越快 B．的增长速度越来越快
C．的增长速度一直快于 D．的增长速度有时慢于
19．【多选】（2023秋·高三单元测试）函数，，，在区间上（ ）
A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢
C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度
20．（2023春·江苏南通·高三南通一中校考阶段练习）已知，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，有成立
B．，，有成立
C．，，有成立
D．，，有成立
21．（2023·高三课时练习）若，则使成立的的取值范围是________，使成立的的取值范围是________．
考点五 利用二次函数模型解决实际问题
22．（2023·全国·高三专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
23．（2023·全国·高三专题练习）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.
24．（2023·全国·高三专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．
(1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？
25．（2023·江西鹰潭·二模）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
月销售单价（单位：元/件）
4
5
6
7
8
9
月销售量（万件）
89
83
82
79
74
67
(1)若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：，和，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的.请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；
(2)已知该商品的月销售额为（单位：万元），利用（1）中的计算正确的结果回答问题：当月销售单价为何值时，啇品的月销值额预报值最大，并求出其最大值.
26．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．该公司每年产生此药品不超过300千件，此药品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为（万元）．每千件药品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．
（Ⅰ）当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？利润最大是多少？
（Ⅱ）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润．
考点六 利用分段函数模型解决实际问题
27．（2023·全国·高三专题练习）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元.
28．（2023·全国·高三专题练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
29．（2023·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
30．（2023·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2023年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2023年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
31．（2023·全国·高三专题练习）2023年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）
(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.
32．（2023·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)
(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
考点七 利用分式函数模型解决实际问题
33．（2023·全国·高三对口高考）某工厂统计资料显示,一种产品的次品率p与日产量x（件）（且）之间的关系如下表:
日产量x
1
2
3
4
5
…
98
99
100
次品率p
…
已知生产一件正品盈利a元,生产一件次品损失元．
(1)将该厂的日赢利额y（元）表示为日产量x（件）的函数;
(2)为使日赢利最大,该厂的日产量应定为多少？
34．（2023·上海·高三专题练习）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元）
(1)求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式；
(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值.
35．（2023·全国·高三专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
36．（2023春·云南曲靖·高三宣威市第三中学校考阶段练习）2023 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4−. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
37．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，设矩形的周长为cm，把沿折叠，折过去后交于点，设cm，cm．
(1)建立变量与之间的函数关系式，并写出函数的定义域;
(2)求的最大面积以及此时的的值．
考点八 利用指数函数模型解决实际问题
38．（2023·甘肃武威·统考三模）2023年8月，中科院院士陈发虎带领他的团队开始了第二次青藏高原综合科学考察．在科考期间，陈院士为同行的科研人员讲解专业知识，在空气稀薄的高原上开设了“院士课堂”．已知某地大气压强与海平面大气压强之比为b，b与该地海拔高度（单位：米）满足关系：（k为常数，e为自然对数的底）． 若科考队算得A地，海拔8700米的B地 ，则A，B两地的高度差的绝对值约为（，）（ ）
A．3164米 B．4350米 C．5536米 D．6722米
39．（2023届福建省福州市高三质量检测数学试题）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于贷款人的年收入（单位：万元）的Logistic，模型：，已知当贷款大的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（ ）（精确到0.01万元，参考数据：，）
A．4.65万元 B．5.63万元 C．6.40万元 D．10.00万元
40．（2023春·江西赣州·高三校联考期中）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区.假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为（ ）（参考数据：取）
A．9 B．10 C．11 D．12
41．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，那么他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒驾？（参考数据：，）（ ）
A．8点 B．9点 C．10点 D．11点
42．（2023·贵州·统考模拟预测）某工厂产生的废气经过过滤后排放，已知在过滤过程中的污染物的残留含量（单位：）与过滤时间（单位：）之间的函数关系为，其中是自然对数的底数，为常数，为原污染物总量.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，则污染物被过滤掉了所需时间约为（ ）
A． B． C． D．
考点九 利用对数函数模型解决实际问题
43．（2023·全国·高三专题练习）某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到（ ）
A．300只 B．400只 C．600只 D．720只
44．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的核心零件是多层式结构的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层棉滤芯可以过滤掉的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，则棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
45．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那他至少经过（ ）小时才能驾驶．（参考数据）
A．5 B．6 C．7 D．8
46．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）某地锰矿石原有储量为a万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m（，且m为常数）倍，第n（）年开采后剩余储量为，按该计划使用10年时间开采到剩余储量为原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的70%，则需开采约（参考数据：）（ ）
A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
47．（2023·江苏·高三统考学业考试）2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（ ）
A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍
48．（2023·北京·高三专题练习）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B．
C． D．
考点十 利用幂函数模型解决实际问题
49．（2023·全国·高三专题练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（ ）
A． B． C． D．
50．（2023·全国·高三专题练习）2023年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2023年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
51．（2023·全国·高三专题练习）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
考点14 函数模型及其应用10种常见考法归类
考点一 用函数图象刻画变化过程
考点二 已知函数模型解决实际问题
考点三 根据实际问题增长率选择合适的函数模型
考点四 指数、对数、幂函数模型的增长差异
考点五 利用二次函数模型解决实际问题
考点六 利用分段函数模型解决实际问题
考点七 利用分式函数模型解决实际问题
考点八 利用指数函数模型解决实际问题
考点九 利用对数函数模型解决实际问题
考点十 利用幂函数模型解决实际问题
1. 几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数，且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
幂型函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2. 三种函数模型性质比较
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴
接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
3. 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法：
①构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；②验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况(或误差更大者).
4. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程
生活中遇到的实际问题，其运算往往不简洁，故由所给函数模型解决跨学科领域的交汇问题(常涉及近似计算)是近几年高考热点问题，解此类问题的关键点：
(1)分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”或其他)；
(2)根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；
(3)通过运算、推理求解函数模型，根据已知条件，利用待定系数法确定模型中的待定系数；,
(4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律、解决有关问题.
注：解函数应用问题的步骤：
(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;
(3)解模：求解数学模型，得出结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
5. 二次函数模型解析式的选择策略
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
6. 分段函数模型的求解策略
在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．
7. 指数、对数函数模型的求解策略
(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．
(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
(4)对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：
与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长．
(5)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
考点一 用函数图象刻画变化过程
1．（2023春·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）图中实线是某景点收支差额关于游客量的图像，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图像用虚线表示，以下能说明该事实的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·四川广安·高三统考期末）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·高三课时练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是( )
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为的函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
考点二 已知函数模型解决实际问题
5．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知电磁波在空间中自由传播时的损耗公式为，其中D为传输距离（单位：km），F为载波频率（单位：MHz），L为传输损耗（单位：dB）．若载波频率变为原来的200倍，传输损耗增加90dB，则传输距离约为原来的（ ）参考数据：．
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
6．（2023·北京通州·统考模拟预测）声强级（单位：）与声强x（单位：）满足．一般噪音的声强级约为80，正常交谈的声强级约为50，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
7．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（ ）
A．17周 B．24周 C．28周 D．26周
8．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）2023年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足，M，m，v之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．【多选】（2023·全国·高三专题练习）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
考点三 根据实际问题增长率选择合适的函数模型
11．（2023·高三单元测试）下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（ ）
x
-2
-1
0
1
2
3
y
0.26
1.11
3.96
16.05
63.98
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．对数函数模型 D．指数函数模型
12．（2023秋·高三单元测试）下列函数中，随着的增大，增长速度最快的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023秋·浙江·高三校联考期末）有一组实验数据如下表所示：
t
3.0
6.0
9.0
12.0
15.0
v
1.5
2.5
2.9
3.6
4.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023秋·重庆九龙坡·高三统考期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
3
9
27
81
2
以下函数中最符合变量与的对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·高三课时练习）已知三个变量，，随变量的变化数据如下表：
1
2
4
6
8
…
2
4
16
64
256
…
1
4
16
36
64
…
0
1
2
2.585
3
…
则反映，，随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
16．（2023秋·贵州黔东南·高三统考期末）1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：，是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
行星编号
1（金星）
2（地球）
3（火星）
4（ ）
5（木星）
6（土星）
离太阳的距离
(1)为了描述行星离太阳的距离与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）；
①；②；③．
(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合）
(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．
考点四 指数、对数、幂函数模型的增长差异
17．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A． B． C． D．
18．【多选】（2023秋·广东广州·高三广东实验中学校考期中）已知函数，，，下列关于这三个函数的描述中，当在上逐渐增大时，下列说法正确的是（ ）
A．的增长速度越来越快 B．的增长速度越来越快
C．的增长速度一直快于 D．的增长速度有时慢于
19．【多选】（2023秋·高三单元测试）函数，，，在区间上（ ）
A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢
C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度
20．（2023春·江苏南通·高三南通一中校考阶段练习）已知，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，有成立
B．，，有成立
C．，，有成立
D．，，有成立
21．（2023·高三课时练习）若，则使成立的的取值范围是________，使成立的的取值范围是________．
考点五 利用二次函数模型解决实际问题
22．（2023·全国·高三专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
23．（2023·全国·高三专题练习）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.
24．（2023·全国·高三专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．
(1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？
25．（2023·江西鹰潭·二模）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
月销售单价（单位：元/件）
4
5
6
7
8
9
月销售量（万件）
89
83
82
79
74
67
(1)若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：，和，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的.请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；
(2)已知该商品的月销售额为（单位：万元），利用（1）中的计算正确的结果回答问题：当月销售单价为何值时，啇品的月销值额预报值最大，并求出其最大值.
26．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．该公司每年产生此药品不超过300千件，此药品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为（万元）．每千件药品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．
（Ⅰ）当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？利润最大是多少？
（Ⅱ）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润．
考点六 利用分段函数模型解决实际问题
27．（2023·全国·高三专题练习）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元.
28．（2023·全国·高三专题练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
29．（2023·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
30．（2023·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2023年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2023年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
31．（2023·全国·高三专题练习）2023年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）
(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.
32．（2023·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)
(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
考点七 利用分式函数模型解决实际问题
33．（2023·全国·高三对口高考）某工厂统计资料显示,一种产品的次品率p与日产量x（件）（且）之间的关系如下表:
日产量x
1
2
3
4
5
…
98
99
100
次品率p
…
已知生产一件正品盈利a元,生产一件次品损失元．
(1)将该厂的日赢利额y（元）表示为日产量x（件）的函数;
(2)为使日赢利最大,该厂的日产量应定为多少？
34．（2023·上海·高三专题练习）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元）
(1)求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式；
(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值.
35．（2023·全国·高三专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为 ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
36．（2023春·云南曲靖·高三宣威市第三中学校考阶段练习）2023 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4−. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
37．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，设矩形的周长为cm，把沿折叠，折过去后交于点，设cm，cm．
(1)建立变量与之间的函数关系式，并写出函数的定义域;
(2)求的最大面积以及此时的的值．
考点八 利用指数函数模型解决实际问题
38．（2023·甘肃武威·统考三模）2023年8月，中科院院士陈发虎带领他的团队开始了第二次青藏高原综合科学考察．在科考期间，陈院士为同行的科研人员讲解专业知识，在空气稀薄的高原上开设了“院士课堂”．已知某地大气压强与海平面大气压强之比为b，b与该地海拔高度（单位：米）满足关系：（k为常数，e为自然对数的底）． 若科考队算得A地，海拔8700米的B地 ，则A，B两地的高度差的绝对值约为（，）（ ）
A．3164米 B．4350米 C．5536米 D．6722米
39．（2023届福建省福州市高三质量检测数学试题）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于贷款人的年收入（单位：万元）的Logistic，模型：，已知当贷款大的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（ ）（精确到0.01万元，参考数据：，）
A．4.65万元 B．5.63万元 C．6.40万元 D．10.00万元
40．（2023春·江西赣州·高三校联考期中）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区.假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为（ ）（参考数据：取）
A．9 B．10 C．11 D．12
41．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，那么他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒驾？（参考数据：，）（ ）
A．8点 B．9点 C．10点 D．11点
42．（2023·贵州·统考模拟预测）某工厂产生的废气经过过滤后排放，已知在过滤过程中的污染物的残留含量（单位：）与过滤时间（单位：）之间的函数关系为，其中是自然对数的底数，为常数，为原污染物总量.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，则污染物被过滤掉了所需时间约为（ ）
A． B． C． D．
考点九 利用对数函数模型解决实际问题
43．（2023·全国·高三专题练习）某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到（ ）
A．300只 B．400只 C．600只 D．720只
44．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的核心零件是多层式结构的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层棉滤芯可以过滤掉的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，则棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
45．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那他至少经过（ ）小时才能驾驶．（参考数据）
A．5 B．6 C．7 D．8
46．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）某地锰矿石原有储量为a万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m（，且m为常数）倍，第n（）年开采后剩余储量为，按该计划使用10年时间开采到剩余储量为原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的70%，则需开采约（参考数据：）（ ）
A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
47．（2023·江苏·高三统考学业考试）2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（ ）
A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍
48．（2023·北京·高三专题练习）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B．
C． D．
考点十 利用幂函数模型解决实际问题
49．（2023·全国·高三专题练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（ ）
A． B． C． D．
50．（2023·全国·高三专题练习）2023年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2023年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
51．（2023·全国·高三专题练习）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
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