2022-2023学年湖北省荆州市沙市区高二上学期9月第一次月考数学试题含答案

2022-2023学年湖北省荆州市沙市区高二上学期9月第一次月考数学试题

一、单选题

1．“幸福感指数”是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取位湖州市居民，他们的幸福感指数为5，6，6，6，7，7，8，8，9，10.则这组数据的分位数是（    ）

A．7.5 B．8 C．8.5 D．9

【答案】C

【分析】题中数据从小到大排列，故按照求第百分位数的步骤计算即可.

【详解】因，

故分位数为第8项数据和第9项数据的平均数，即，

故选：C

2．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先化简，再利用复数的除法化简得解.

【详解】.

所以复数对应的点在第四象限，

故选：D

【点睛】结论点睛：复数对应的点为，点在第几象限，复数对应的点就在第几象限.

3．已知，，若，则等于（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量垂直的数量积的形式可求出，故可求的坐标，从而可求.

【详解】∵，∴，

∴．∴，

∴．

故选：B．

【点睛】如果，那么：

（1）若，则；

（2）若，则；

4．已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．，则

C．若，则 D．，则

【答案】D

【分析】A选项可以举反例，B选项考查面面平行判定定理，C选项漏了条件，D选项即为线面平行性质定理.

【详解】对于选项A，垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交；

对于选项B，根据面面平行判定定理，直线m，n应为相交直线；

对于选项C，直线m可能在平面内；

对于选项D，恰好为线面平行的性质定理.

故选：D.

5．在中，若，则该三角形一定是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等边三角形 D．不能确定

【答案】A

【分析】利用余弦定理将角转化为边，然后化简可得结果.

【详解】因为，

所以由余弦定理得，

所以，所以，

因为，所以，

所以为等腰三角形，

故选：A

6．在区域病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的指标的预报簇为（    ）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④

【答案】C

【分析】通过举反例说明命题不符合题意，或通过根据平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项即可.

【详解】①错，举反倒：0，0，0,  0，2， 6，6；其平均数，不符合题意;

②错，举反倒：；其平均数且,不符合题意;

③对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人，即x≥6,

则极差大于故假设不成立，故一定符合上述指标；

④对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人,即x≥6, 则极差不小于,与极差小于或等于4相矛盾,故假设不成立,故一定符合上述指标.

故选：C

7．在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（    ）

A．0 B． C． D．1

【答案】B

【分析】以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设，用数量积的坐标表示求得数量积，然后由二次函数知识得最小值．

【详解】由题意等腰梯形的高为，

如图，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，设，则，，

，

所以时，取得最小值．

故选：B．

8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且. 则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平面线性规划的方法，我们类比推理，可得若，则点只能再现在三棱柱中，若，则点只能再现在三棱柱中，进而确定出满足条件的点只能再现在三棱锥中，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

【详解】解：若，则点只能再现在三棱柱中，

若，则点只能再现在三棱柱中，

若要同时满足，则点只能再现在三棱锥中，

又三棱锥的体积.

故选：D.

二、多选题

9．下列命题中正确的是（    ）

A．已知平面向量，，则与共线

B．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则的值为2

C．已知复数满足，则

D．已知复数，满足，则

【答案】BC

【分析】求出的坐标，再利用向量共线的坐标表示即可判断A；利用投影向量的定义可判断B；设，根据复数模的概念以及共轭复数的定义、复数的乘法运算计算可判断C；举反例可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A，，因为，则与不共线，故选项A错误；

对于B，因为在上的投影向量为，所以，又因为，所以，故选项B正确；

对于C，设，因为，所以，即，所以，故选项C正确；

对于D，令，，则，但，故选项D错误，

故选：BC.

10．给出下列命题，其中正确的是（    ）

A．任意向量，，满足

B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是

C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底

D．若为正四面体，G为的重心，则

【答案】CD

【分析】根据相等向量的概念即可判断选项A；

根据空间向量的坐标系中，点关于坐标平面对称点的特征即可判断选项B；

根据空间向量的基底的概念即可判断选项C；

根据空间向量的线性运算和重心的定义即可判断选项D.

【详解】A：因为与是一个标量，设，，

若要，则需要向量方向相同，但不一定相同，

所以不一定成立，故A错误；

B：点关于坐标平面的对称点为，故B错误；

C：因为是空间的一个基底，所以不共面，

假设共面，则存在实数使得，

即，所以，方程组无解，

所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确；

D：，

则，又为的重心，

所以，故，故D正确.

故选：CD

11．以下对各事件发生的概率判断正确的是（    ）

A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是

B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为

C．抛掷一枚骰子1次，事件A=“向上的点数是1，2”，事件B=“向上的点数是1， 3”，则事件A与事件B不是相互独立事件

D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是

【答案】BCD

【分析】根据概率的基本概念，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．

【详解】解：对于A，画树形图如下：

从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，

P（甲获胜），P（乙获胜），故玩一局甲不输的概率是，故A错误；

对于B，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为，故B正确；

对于C，抛掷一枚骰子1次的点数有1，2，3，4，5，6，事件A=“向上的点数是1，2”，则事件A发生的概率：，事件B=“向上的点数是1， 3”，则事件B发生的概率：，A、B同时发生的概率为：，有独立事件的关系可知，故C正确；

对于D，记三件正品为，，，一件次品为B，任取两件产品的所有可能为，，，，，，共6种，其中两件都是正品的有，，，共3种，则所求概率为，故D正确.

故选：BCD.

12．将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点，分别为线段，的中点，则（    ）

A．

B．四面体的表面积为

C．四面体的外接球的体积为

D．过且与平行的平面截四面体所得截面的面积为

【答案】BCD

【分析】A用非等腰三角形来判断，B求四面体表面积来判断，C求外接球体积来判断，D作出截面并计算出截面面积来判断.

【详解】设是的中点，则两两相互垂直，

二面角为之二面角，平面，

A选项，连接，，，所以三角形不是等腰三角形，而是的中点，所以与不垂直，A选项错误.

B选项，，所以三角形和三角形是等边三角形，所以四面体的表面积为，B选项正确.

C选项，由于，所以是四面体外接球的球心，外接球的半径为，体积为，C选项正确.

D选项，设是中点，是中点，画出图象如下图所示，，四点共面.

由于平面，平面，所以平面，，

由于，所以平面，所以，而，所以，所以截面面积为.D选项正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为      .

【答案】

【分析】首先求得与同向的单位向量，根据投影向量定义知所求为.

【详解】，与同向的单位向量，

在方向上的投影向量为.

故答案为：.

14．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数和为偶数的概率为    ．

【答案】

【分析】先求出基本事件总数，再求出两个数和为偶数包含基本事件个数，最后根据古典概型概率计算公式得概率．

【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，

基本事件总数n==6，

两个数和为偶数包含基本事件个数m==2，

∴这两个数和为偶数的概率

故答案为．

15．已知复数，满足，，若（为虚数单位），则      ．

【答案】

【分析】设，所对应的向量为，，依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律得到，最后根据计算可得；

【详解】解：设，所对应的向量为，，，，，

因为，，，

，，，所以，所以

所以

故答案为：

16．在正三棱柱中，，点P满足，其中，则三角形周长最小值是           .

【答案】/

【分析】根据题意，结合向量线性运算可知，点在线段上，再根据两点之间线段最短，即可求解.

【详解】根据题意，因为，其中，

所以点在线段上.

如图所示，沿展开正三棱柱的侧面，

故三角形周长为，

当、、三点共线时，取等号.

故答案为：.

四、解答题

17．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图.

(1)求直方图中的值；

(2)试估计该市居民月均用水量的众数、平均数；

(3)如果希望的居民月均用水量不超过标准，那么标准定为多少比较合理？

【答案】(1)

(2)吨，吨

(3)x=2.9

【分析】（1）利用频率分布直方图能求出；

（2）由频率分布直方图估计该市居民月均用水量的众数和平均数即可；

（3）求出月均用水量小于2.5吨和小于3吨的百分比，计算出有的居民每月用水量不超过标准的值．

【详解】（1）解：由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，

频率（频率组距）组距，

，解得：，

的值为0.3；

（2）解：由频率分布直方图估计该市居民月均用水量的众数为（吨，

估计该市居民月均用水量的平均数为：

（吨．

（3）解：由频率分布直方图得月均用水量低于2.5吨的频率为：

，

月均用水量低于3吨的频率为：

，

（吨．

18．在中，内角所对的边分别为，且满足．

(1)求的值；

(2)已知的面积为，求a的值．

【答案】(1)2

(2)1或

【分析】（1）边化角，利用正弦定理即可求解；

（2）应用三角形面积公式计算出AB边上的高，再利用勾股定理即可.

【详解】（1）由正弦定理得：  ,

，  ,

，因为A，C是三角形内角， ，

所以 ，而由正弦定理得，∴ ，即 ；

（2）由第一问可知，b=2a，设AB边上的高为h，

则三角形ABC的面积 ，

作下图：

过点C作AB的垂线，垂足为D，则CD=h，

设AD=x    ，则由勾股定理得到下列方程组：

，解得 ，

由公式法得 ，

，a=1；

19．如图，在多面体中，为等边三角形，.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）证明：取中点，中点，连接

中点，中点

，  

是平行四边形，

平面，平面，

平面.

，

又 ，且平面

平面

平面 ，

又为等边三角形，为边的中点，

，平面

平面

又

平面，

平面

平面平面．

（2）解：取的中点，直线与平面所成角即为直线与平面所成角，

过作，垂足为，连接．

平面平面，平面，，

平面．

为在平面的射影，

为直线与平面所成角

在中，，

，

直线与平面所成角的正弦值为.

20．为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛，比赛分两轮进行，每位选手都必须参加两轮比赛，若选手在两轮比赛中都胜出，则视为该选手赢得比赛.现已知甲、乙两位选手，在第一轮胜出的概率分别为，，在第二轮胜出的概率分别为，，甲、乙两位选手在一轮二轮比赛中是否胜出互不影响.

（1）在甲、乙二人中选派一人参加比赛，谁赢得比赛的概率更大？

（2）若甲、乙两人都参加比赛，求至少一人赢得比赛的概率.

【答案】（1）甲；（2）．

【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，即可判断；

（2）设表示“甲赢得比赛”， 表示“乙赢得比赛”， 表示“两人中至少有一个赢得比赛”， 由，即可求出．

【详解】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则

“甲赢得比赛”，.

“乙赢得比赛”，.

因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.

（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，

则；.

于是“两人中至少有一人赢得比赛”

.

21．如图，在三棱锥中，平面，

（1）若，.求证：；

（2）若，分别在棱，上，且，，问在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，则求出的值；若不存在.请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【分析】（1）由已知，得平面，由线面垂直得，

结合得平面，再由线面垂直可得答案；

（2）作的中点，连接，，由已知得平面，由中位线得，由线面平行、面面平行的判定定理和性质定理可得答案.

【详解】证明：（1）∵平面，平面，

∴，

又∵，，∴平面，

平面，∴，

∵，，∴平面，

∵平面，

∴.

（2）存在，且，

理由如下：

如图，作的中点，连接，，

由得，又∵，

∴，平面，平面，

∴平面，

又∵，分别为，的中点，

∴，平面，平面，

∴平面，

∵，平面，平面，

∴平面平面，

∵平面，

∴平面.

22．如图所示，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.

(1)当时，求防护网的总长度；

(2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；

(3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？

【答案】(1)

(2)

(3)时，面积取最小值为

【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，由勾股定理得，知为正三角形，由此可得结果；

（2）设，由可得；在中，利用正弦定理可得；由此可构造方程求得；

（3）设，由（2）知；在中，利用正弦定理可得，根据，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦函数的最值可确定所求最小值.

【详解】（1）在中，，，，，

在中，由余弦定理得：，；

，则，，

为正三角形，则的周长为，即防护网的总长度为.

（2）设，

，，即，

在中，由得：，

，即，又，

，解得：，即.

（3）设，由（2）知：，

在中，由得：，

，

当且仅当，即时，面积取最小值为.