2022-2023学年上海市格致中学高二下学期第二次测试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年上海市格致中学高二下学期第二次测试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】由双曲线的标准方程求得，从而求得双曲线的离心率.
【详解】因为双曲线，
所以，则，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
2．函数的驻点（使得导数为零的自变量的值）为 .
【答案】或
【分析】利用驻点的定义即可求出结果.
【详解】因为，则，令，即，解得或，所以驻点为或.
故答案为：或.
3．抛物线x2＝6y的焦点到直线3x+4y﹣1＝0的距离为 ．
【答案】1
【分析】由题可得抛物线焦点为（0，）,根据点到直线距离公式求解即可
【详解】抛物线x2＝6y的焦点为（0，）,
所以点（0，）到直线3x+4y﹣1＝0的距离d
故答案为：1
【点睛】本题考查抛物线的几何性质,考查点到直线距离的应用,考查运算能力
4．设等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】24
【分析】根据等差数列的性质与前项和公式计算．
【详解】是等差数列，
∴，，
．
故答案为：24.
5．椭圆的焦点为为椭圆上一点,若,则 .
【答案】
【解析】根据椭圆定义可得:, ,在三角形中由余弦定理,即可求得答案.
【详解】椭圆
可得:,,.
根据椭圆定义可得:, ,
可得
解得:.
在三角形中由余弦定理:,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了由余弦定理解三角形,解题关键是掌握椭圆基础知识和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
6．已知函数，则在点处的切线的倾斜角为 .
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，求出在点处的切线的斜率，然后再根据斜率和倾斜角之间的关系，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
所以在点切线的斜率为，
所以在点处的切线的倾斜角为.
故答案为：.
7．等比数列的前项和，则的值为 .
【答案】
【分析】根据等比数列的前项和公式，求，再结合等比数列的性质，列式求解.
【详解】根据题意，等比数列的前项和，则，
，则有
，解可得，
故答案为：
8．将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是 ．
【答案】
【分析】函数的图象是圆，，是半径为1的下半圆，将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器为以为半径的半球体，由此能求出结果．
【详解】解：函数的图象是圆，，是半径为1的下半圆，
将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器为以为半径的半球体，
将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是：
．
故答案为．
【点睛】本题考查几何容器的容积的求法，考查旋转体的性质、球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
9．若函数在区间内单调递增，则的取值范围 .
【答案】
【分析】由题意得出导函数在上恒成立，即在上恒成立，求得即可得解.
【详解】在上恒成立，
所以在上恒成立，
当，，
所以，
故答案为：.
10．已知函数在处有极值0，则 .
【答案】
【分析】由题可得，即可得答案.
【详解】因为，所以，依题意可得
.解得，
经检验适合题意，所以.
故答案为：
11．在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数“近似计算”的值为 （结果用分数表示）.
【答案】/
【分析】非常接近，求出在处的切线方程，在附近用代替计算可得．
【详解】函数的导数为，所以，函数在点处的切线，所以在附近可以用代替，即，
又非常接近，.
故答案为：.
12．双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图象，关于此函数有如下四个命题：① 是奇函数；② 的图象过点或；③ 的值域是；④ 函数有两个零点；则其中所有真命题的序号为 .
【答案】①②
【分析】根据双曲线关于坐标原点对称,则旋转后得到的函数的图象也关于原点对称,即有为奇函数；根据双曲线的顶点、渐近线方程可得旋转后的的图象的渐近线,再由对称性可得的图象过或；根据的图象按逆时针旋转位于一三象限由图象可得顶点为点,不是极值点,则的值域不是,也不是
；分的图象所在的象限讨论,得出的图象与直线没有交点,函数没有零点.
【详解】解：双曲线关于坐标原点对称,
可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称,

即有为奇函数,故①对；
由双曲线的顶点为,渐近线方程为,
可得的图象的渐近线为和,
图象关于直线对称,
可得的图象过或.
由对称性可得的图象按逆时针旋转位于—三象限；
按顺时针旋转位于二四象限；故②对；
的图象按逆时针旋转位于一三象限由图象可得顶点为点或..
不是极值点,则的值域不是；
的图象按顺时针旋转位于二四象限,由对称性可得的值域也不是
,故③不对；
当的图象位于一三象限时,的图象与直线有两个交点,函数有两个零点；
当的图象位于二四象限时,的图象与直线没有交点,函数没有零点故④错.
故真命题为：①②
故答案为：①②
【点睛】本题考查双曲线的性质和函数图象的对称性、极值、零点,属于中档题.
二、单选题
13．已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（ ）
A．0B．4C．8D．12
【答案】C
【分析】根据两圆相交圆心距验证各选项即可.
【详解】因为两圆相交，所以两圆的圆心距即，仅有C满足，
故选：C
14．已知函数导函数为，且，则（ ）
A．21B．20C．16D．11
【答案】B
【分析】首先利用导数公式，求，再代入求的值.
【详解】由，得，
则，所以，则，
故选：B
15．已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题：
①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件；
②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件．
则说法正确的选项是（ ）
A．命题①和②均为真命题B．命题①为真命题，命题②为假命题
C．命题①为假命题，命题②为真命题D．命题①和②均为假命题
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质根据函数的充分性和必要性进行判断即可.
【详解】解：由题意得：
命题①：
为奇函数
为奇函数
对两边求导可得： ，即
又导函数的定义域为R，它关于原点对称
所以函数的定义域为R上的偶函数
所以“为奇函数”是“为偶函数”的充分条件；
，其定义域为R，关于原点对称，且
其原函数（C为常数），若是非奇非偶函数
故“为奇函数”是“为偶函数”的非必要条件；
所以命题①为真命题；
命题②：
令函数，其定义域为R，在定义域上是严格的增函数
而其导函数是常数函数，定义域R上不是严格的增函数
所以“为严格增函数”是“为严格增函数”的非充分条件；
令函数，其定义域为R，在定义域上是严格的增函数
而其原函数为二次函数在定义域R上不是严格的增函数
所以“为严格增函数”是“为严格增函数”的非必要条件
所以“为严格增函数”是“为严格增函数”的即非充分又非必要条件；
所以命题②为假命题；
故选:B
16．已知点A、B、C为椭圆：上的三点，为坐标原点，当时，称为“稳定三角形”，则这样的“稳定三角形”（ ）
A．不存在B．存在有限个
C．有无数个但面积不为定值D．有无数个且面积为定值
【答案】D
【分析】设为椭圆上的三个动点，根据题意化简整理即可得到，进而再结合平面向量的夹角坐标公式求出夹角的余弦值，进而表示出的面积，同时证得其为定值，结合重心的性质即可得出结论.
【详解】设为椭圆上的三个动点，
因为，所以，所以，
，因此有，即
，而
所有，整理得，
将看成关于的方程，即，
，因，所以，
所以存在有无数组使得成立；
由重心的性质可知面积相等，
故只需先求的面积即可；
则，
，
，
则
所以，因此,
所以的面积为定值.
故选：D.
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
三、解答题
17．2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：
(1)该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；
(2)从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．
【答案】(1)3位；第75百分位数是30
(2)
【分析】（1）根据茎叶图和百分位数公式，即可计算结果；
（2）根据对立事件和组合数公式求概率.
【详解】（1）由茎叶图可知，25岁的球员共有3位球员；
因为，所以第75百分位数是第20位，由茎叶图可知，年龄从小到大排列，第20位球员的年龄是30；
（2）11名球员没有年龄不小于30的概率,
所以这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，与平面所成角的大小为，为中点.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求异面直线与所成角的大小 (结果用反三角函数值表示).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）、连接，根据题意找出与平面所成角，进而求出的值，然后由棱锥体积公式计算即可求解；
（2）、连接，与交于点,连接,找出异面直线与所成的角，解三角形即可求出异面直线与所成角的大小.
【详解】（1）连接，平面，平面,,
是在平面上的射影，即为与平面所成的角.
与平面所成角的大小为，,
又是边长为的正方形，，
在中，，
四棱锥的体积为.
（2）连接，与交于点,连接,
是边长为的正方形，,点为中点，点为中点，
又为中点，∥,即为异面直线与所成角,
又,
,,
在中，,.
异面直线与所成角的大小为.
19．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调减区间和极小值.
【答案】(1)；
(2)单调减区间为，极小值为.
【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）利用导数求出函数的单调减区间及极小值作答.
【详解】（1）函数，求导得，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数，
求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的单调减区间是，在处取得极小值.
20．已知曲线的方程为，直线：与曲线在第一象限交于点.
(1)若曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，求的值；
(2)若，时，直线与曲线相交于两点M，N，且，求曲线的方程；
(3)是否存在不全相等，，满足，且使得成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】（1）根据椭圆离心率的公式以及椭圆中的关系即可求解,
（2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理以及弦长公式求解，
（3）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，根据假设，代入即可化简求解.
【详解】（1）由题得，曲线为：，又离心率为，，
则，
又因为，因此，.
（2）设，，
联立方程得，
因为，
则，，
所以，，解得或.
因此，曲线的方程为：或.
（3）联立 得，
又，得，解得，
假设存在（，，不全相等），使得成立.
故，
有，
进一步有，
化简得，
由在第一象限，且，得.
（i），则，，；
（ii），则，得，又因为，
则与已知矛盾.
综上所述：存在（，，不全相等），使得成立，此时
【点睛】圆锥曲线中与直线相交的问题，一般采用联立方程，得韦达定理.常采用设而不求的思想.常用的做题思路为：
(1)设直线的方程为 ，设交点坐标为，
(2)联立直线与曲线的方程，得韦达定理，或者
(3)根据交点坐标计算相关量（例如斜率，弦长等），利用其满足的性质和题目中的条件求得参数值或者参数的关系.