2022-2023学年山东省淄博市第一中学高二下学期第一次学习质量检测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山东省淄博市第一中学高二下学期第一次学习质量检测数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．数列1，，，，，…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据规律写出数列的通项公式
【详解】奇数项为正，偶数项为负，可用来实现，
而各项分母可看作
各项分子均为1，
∴该数列的通项公式为．
故选：A
2．函数y＝x2cs 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcs 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcs 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cs 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcs 2x＋2x2sin 2x
【答案】B
【分析】利用复合函数的导数运算法则计算即可．
【详解】y′＝(x2)′cs 2x＋x2(cs 2x)′＝2xcs 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcs 2x－2x2sin 2x
故选：B
3．已知等比数列的前三项和为84，，则的公比为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】根据已知结合等比数列的通项与前项和列式联立得出答案.
【详解】由可设的公比为，
等比数列的前三项和为84，，
，解得，
故选：B.
4．若,则的解集为（ ）
A．(0,)B．(-1,0)(2,)
C．(2,)D．(-1,0)
【答案】C
【详解】
5．已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（ ）
A．1666B．1654C．1472D．1460
【答案】A
【分析】根据题意求出两个数列相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.
【详解】有两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：
2，14，26，38，50，…，182，194，共有项，是公差为12的等差数列，
故新数列前17项的和为，
即数列的各项之和为1666.
故选：A.
6．已知曲线在点处的切线方程为，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
7．等比数列的前项和是,且,若,则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质成等比数列，列方程求解
【详解】设,则,所以
由等比数列性质知成等比数列
所以,得,所以
所以
故选：D
8．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
9．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，利用倒序相加法求解.
【详解】解：因为，
且，
令,
又
，
两式相加得：，
解得，
故选：B
10．若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设切点，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点，结合韦达定理可得的关系，进而可得的关系，再利用导数即可得出答案.
【详解】设切点，
则切线方程为，
又切线过，则，
有两个不相等实根，
其中或，
令或，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
，，
当时，，当时，，
所以，
即.
故选：D.
二、多选题
11．记正项等比数列的前n项和为，则下列数列为等比数列的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据等比数列的定义和前n项公式和逐项分析判断.
【详解】由题意可得：等比数列的首项，公比，即，
对A：，且，即为等比数列，A正确；
对B：，且，即为等比数列，B正确；
∵，则有：
对C：，均不为定值，即不是等比数列，C错误；
对D：，均不为定值，即不是等比数列，D错误；
故选：AB.
12．若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】举特例，可说明A不符合题意，同理可说明C不符合题意；依据“鲤鱼跃龙门数列”的定义，可说明B,D.
【详解】对于A,不妨取，但，不满足，故A错误；
对于B, ,对，若,则，
则,即，故B正确；
对于C，不妨取，但，不满足，故C错误；
对于D, ,对，若,则，
则，故，即，故D正确；
故选：BD
13．已知函数的导函数，且，，则（ ）
A．是函数的一个极大值点
B．
C．函数在处切线的斜率小于零
D．
【答案】AB
【分析】根据导数符号与单调性的关系，以及极值的定义逐项分析判断.
【详解】令，解得，则在上单调递增，
令，解得或，则在上单调递减，
故是函数的一个极大值点，，A、B正确；
∵，则，故函数在处切线的斜率大于零，C错误；
又∵，则，但无法确定函数值的正负，D错误；
故选：AB.
14．已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．
【答案】ACD
【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可.
【详解】对于A,数列为等差数列，，
数列为递减的等差数列，
故A正确，
对于B, 数列为递减的等差数列，
的最大值为，
故B错，
对于C,
由得
的最小值为,即，
故C正确，
对于D,
故D正确.
故选：ACD
15．已知，下列说法正确的是（ ）
A．存在b，d使得是奇函数
B．时，过原点且与相切的直线只有1条
C．若为的两个极值点，则
D．若在R上单调，则
【答案】ABD
【分析】对于A，当时,为奇函数，从而即可判断；
对于B，求过原点的切线方程，即可判断；
对于C，求导，由题意和韦达定理可得，，再由重要不等式得，即可判断；
对于D，由题意可得恒成立，由，求解即可.
【详解】对于A，当时,，定义域为，并且满足此时函数为奇函数，故A正确；
对于B，当时,，设切点为，，
则，解得：（舍）
当切点为原点时，，所以在原点的切线方程为，只有一条，故B正确；
对于C，因为，
又因为为的两个极值点，
所以，，所以C错误；
对于D，若单调，则有恒成立，
所以，
解得，选项D正确.
故选：ABD.
16．提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列的第2021项为
C．数列的前项和
D．数列的前项和
【答案】CD
【分析】由题意可得数列由此可得数列从第2项起构成公比为2的等比数列，从而可求出其通项公式，判断选项A，由于，所以可求出数列的通项公式，从而可判断B，对于C，利用分组求和可求出数列的前项和，对于D，利用错位相减法可求出数列的前项和
【详解】数列各项乘以10再减4得到数列
故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；
从而所以故B错误
当时；
当时
0.3.
当时也符合上式，所以故C正确
因为所以当时
当2时，
所以
所以
又当时也满足上式，所以，故D正确.
故选：CD.
三、填空题
17．已知函数，则 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，两边求导再赋值计算得解.
【详解】函数，求导得：函数，
当时：，解得，
所以.
故答案为：
18．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51（n>3），Sn＝100，则公差d＝ ．
【答案】2
【分析】由数列的前n项和定义、等差数列的等和性、等差数列的通项公式及等差前n项和公式计算可得.
【详解】{an}为等差数列，故由Sn－Sn－3＝51（n>3）可得an－2＋an－1＋an＝51，
由等差数列的等和性可得：3an－1＝51，即：an－1＝17，
所以a1＋an＝a2＋an－1＝20，
所以，解得：n＝10，
所以，解得d＝2．
故答案为：2.
19．已知数列满足，，则的通项公式是 .
【答案】
【分析】根据所给递推关系可得，，与原式作差即可求解.
【详解】因为①
所以，
当时，②，
①-②可得，，
所以，
所以数列的通项公式是.
故答案为： .
20．若，，则 ；
【答案】
【分析】设，求出，然后根据等比数列的定义即得.
【详解】解：设，
所以，
，，
所以，
所以数列是一个以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题
21．已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）当时，，两式相减得，由，可求出的值；
（2）由（1）知，由绝对值的定义结合等差数列的前项和公式即可求出数列的前项和.
【详解】（1）因为，所以时，，所以.
又由数列为等比数列，所以.又因为，所以，
综上.
（2）由（1）知，
当时，，
当时，
所以.
22．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间以及其在上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)单调递增区间是和，单调递减区，间是，
函数在区间的最大值是，最小值是.
【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先利用极值点求，再根据导数判断函数的单调区间，再根据单调性，端点值，极值求函数的最值.
【详解】（1）当时，，，
，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2），
由题意可知，，得，
当时，，
函数与的变化情况如下表，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，
由表格可知，函数在区间单调递减，在区间单调递增，，，，
所以函数在区间的最大值是，最小值是.
23．已知首项不为0的等差数列，公差（为给定常数），为数列前项和，且为所有可能取值由小到大组成的数列.
(1)求；
(2)设为数列的前项和，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式与求和公式得到关于的方程，即可得到结果；
（2）根据题意，得到数列的通项公式，再由裂项相消法即可得到其前项和.
【详解】（1）由题意得，，得①
由，得②
由①②，可得且，则，
由，当在范围内取值时的所有取值为：
所以.
（2）
所以
由于是递减的，所以
24．已知函数（为自然对数的底数）.
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先判断在上单调递增，再利用单调性解不等式得解；
（2）等价于对恒成立，令，利用二次求导对分类讨论求函数的最大值得解.
【详解】（1）解：，由复合函数的单调性原理得在上单调递增，由得，即.
（2）解：对恒成立
令，，
，在上单调递减，
，
若，即时，在上恒成立，则在上单调递减，符合题意.
若，即时，
（i）若，则，在上单调递增，这与题设矛盾，舍去.
（ii）若，则存在使，且当时，单调递增，此时这与题设也矛盾，舍去.
综上：实数的取值范围为.
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增