2022-2023学年上海市三校（金山中学、闵行中学、嘉定一中）高二下学期5月联考数学试题含答案

2022-2023学年上海市三校（金山中学、闵行中学、嘉定一中）高二下学期5月联考数学试题

一、填空题

1．若集合，则实数__________

【答案】

【解析】由可得，即可得解.

【详解】由，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查了集合的交集概念，以及元素和集合的关系，属于基础题.

2．已知向量，，若，则实数的值为______.

【答案】/

【分析】根据向量的共线的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由向量，，因为，所以，解得.

故答案为：.

3．函数 的最小正周期是________

【答案】

【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数，根据最小正周期等于求出结果.

【详解】函数，

函数的最小正周期为

故答案为：.

4．已知复数满足（为虚数单位），则______.

【答案】

【分析】由复数的除法法则计算出复数，然后求模长即可.

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：.

5．已知某圆锥的高为4，底面积为，则该圆锥的侧面积为___.

【答案】

【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积.

【详解】圆锥底面积为，则底面半径为3，又圆锥的高为4，

则圆锥的母线长为5，则该圆锥的侧面积为

故答案为：

6．计算_______.

【答案】

【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.

【详解】

故答案为：

7．已知函数，则__________．

【答案】

【分析】首先计算，当时，即可求值.

【详解】，

，

.

故答案为：

8．已知是双曲线与抛物线的一个共同焦点，则双曲线的离心率的大小为______.

【答案】

【分析】先求出抛物线的焦点坐标，即为双曲线的焦点，然后求解即可.

【详解】抛物线的焦点为，

也是双曲线的焦点，

所以，所以，即，

所以双曲线的离心率为.

故答案为：.

9．若是函数的极值点，则的值为___________.

【答案】3

【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可知，据此可求出，然后针对的每一个值，进行讨论，看是不是函数的极值点，综合即可得答案.

【详解】解：根据题意，，

得，

由题意可知，

解得或，

当时，，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点；

当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，

故答案为：3.

【点睛】本题考查利用导数分析函数的极值，本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.

10．设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，则与所成角的取值范围是______.

【答案】

【分析】不妨设、、相交于点，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得与所成角的最小值与最大值即可.

【详解】不妨设、、相交于点，如图，根据题意构造两个圆锥，

其中底面圆心为，轴所在直线为，小圆锥的母线所在直线为，轴截面

；大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且在一条直线上.

由题意，，

由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小，

最小值为.

当移动到，移动到时，可得与所成角的最大，

最大值为.

所以与所成角的取值范围为.

故答案为：

11．已知正数、满足，则的最小值为___.

【答案】

【分析】将题给条件转化为，再利用二次函数在给定区间上的值域即可求得的最小值.

【详解】正数、满足，则

则，

又时，，则，

则的最小值为.

故答案为：

12．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可.

【详解】将直线与的方程化为一般式为，

，所以到两直线的距离之和为：，

所以①.

当时，①式变形为：；

当时，①式变形为：；

当时，①式变形为：；

当时，①式变形为：；

则动点为如图所示的四边形的边，

的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率.

，，，.

则的取值范围是：.

故答案为：.

二、单选题

13．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】B

【详解】A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，也可能相交；D中，也可能在平面内.

【考点定位】点线面的位置关系

14．在中，设三个内角A、、的对边依次为、、，则“”是“”成立的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】先利用求得角A的值，进而得到二者间的逻辑关系.

【详解】由，可得，

则，又，则，

以上步步可逆.

则“”是“”成立的充要条件.

故选：C

15．设，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知中函数的部分图像，运用韦达定理结合图像判断的符号.

【详解】解：∵，∴，

由图知，两个极值点，设为，则，

由图知单调递增，单调递减，则，

则，∴，

由图知，∴，

故选：D．

16．已知数列满足，且对任意的正整数，都有，若对任意的正整数成立，则正整数的最小值为（    ）

A．2021 B．2022 C．2023 D．2024

【答案】B

【分析】根据题意化简得到，求得，进而求得正整数的最小值，得到答案.

【详解】由数列满足，且对于任意的正整数，都有，

可得，

若时，即，可得，解得或，不符合题意，舍去；

若时，可得，解得，

因为，所以不符合题意，舍去；

所以，所以，即为，

则，

若正整数使得对任意正整数成立，则，

所以正整数的最小值为.

故选：B

三、解答题

17．已知数列的前项和.

(1)求的值；

(2)求的通项公式.

【答案】(1)15

(2)

【分析】（1）利用即可求得的值；

（2）利用数列前项和与通项间的关系即可求得数列的通项公式.

【详解】（1）

（2）当时，，

当时，，

综上，的通项公式为

18．已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.

(1)求证：直线平面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点，连接，进而根据即可证明；

（2）根据题意，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】（1）证明：连接交于点，连接，

因为底面为正方形，

所以为的中点，

所以，在中，为的中点，为的中点，

所以；

又因为面，面，

所以平面.

（2）解：因为平面，为正方形，平面，

所以，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

所以，，即，

令，则，，即，

，

设点P到平面MAC的距离为d，

所以，

所以，点到平面的距离为.

19．为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为、、、、，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求出的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数；

(2)采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在（即第四、五组内）的学生中抽取了12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，求这名组长的竞赛成绩在内的概率.

【答案】(1)，73.5

(2)

【分析】（1）由频率之和为解，由频率分布直方图中平均数的估计方法求解平均数即可；

（2）先由分层抽样的方法确定每层的人数，然后由古典概率公式计算概率即可.

【详解】（1）由，解得；

这100人的竞赛成绩的平均数估计为：

.

（2）成绩在的频率为0.25，成绩在的频率为0.05，

所以竞赛成绩在，两个组的人数之比为，

采用分层抽样的方法从中抽取人，

所以成绩在抽得的人数为人，

成绩在抽得的人数为人.

现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，

则这名组长的竞赛成绩在内的概率为.

20．把右半个椭圆和圆弧合成的封闭曲线称为“曲圆”，“曲圆”与轴的左、右交点依次记为、，与轴的上、下交点依次记为、，过椭圆的右焦点的直线与“曲圆”交于、两点.

(1)当点与重合时，求的周长；

(2)当、两点都在半椭圆时，是否存在以为直径的圆恰好经过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由；

(3)当点在第一象限时，求的面积的最大值.

【答案】(1)8

(2)不存在，理由见解析

(3)3

【分析】（1）由焦点三角形周长求解即可；

（2）假设存在，设出直线的方程联立方程组，由判断可知不存在；

（3）分类讨论由求面积的最大值即可.

【详解】（1）因为圆弧的左顶点，

刚好是半椭圆的左焦点，

所以点与重合时，的周长为；

（2）假设存在直线，

因为、两点都在半椭圆，或，

所以，联立 得，

设、，则恒成立.

所以，.

以为直径的圆恰好经过点，

所以，即，

即，

代入韦达定理得，

即，解得，

所以不存在直线，满足题意.

（3）①由(2)知，当、两点都在半椭圆时，

设直线的方程为，当在第一象限时，.

且

当且仅当得时等号成立，即的面积为，

②当、两点分别在半椭圆与圆弧上时，此时当与重合时取得最大值，

此时.

综上，的面积的最大值为3.

21．已知曲线，在点处的切线为，若曲线上存在异于的点，使曲线在点处的切线与重合，则称为曲线关于的“公切点”；若曲线上存在，使曲线在处的切线与垂直，则称为曲线关于的“正交点”.

(1)求曲线关于的“正交点”；

(2)若，，已知曲线上存在关于的“正交点”，求的取值集合；

(3)已知，若对任意，曲线上都存在关于的“正交点”，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据切线与垂直，即可求解.

（2）设的斜率为，的斜率为，的“正交点”，利用，得到，又，，可得，即可根据求得结果.

（3）据已知可得，通过分类讨论和可知不存在这样的点，即可知道的范围.

【详解】（1），，

则，

设的斜率为，的斜率为，的“正交点”，

则，，，，

即的“正交点”为.

（2），

设的斜率为，的斜率为，的“正交点”，

，

，

同理，，

因为，

所以，

即，

设，

因，则，

当，，

当，，

所以，

同理，

因为，

所以，即，

则，又，

所以.

故的取值集合为.

（3）设的斜率为，的斜率为，

的“正交点”，

，，

则，

当时，，

因为，，

所以不存在这样的点；

当时，，

因为，，

所以上式也不成立.

故的取值范围为.