2022-2023学年江苏省扬州市高邮市高二下学期4月学情调研测试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市高邮市高二下学期4月学情调研测试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州市高邮市高二下学期4月学情调研测试数学试题 一、单选题1．已知，那么（    ）A．5 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】利用排列数公式计算可得答案.【详解】因为，所以，则.故选：C.2．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（    ）A． B． C． D．10【答案】A【分析】由题意得，利用空间向量的坐标运算计算即可．【详解】由题意得，则，即，解得.故选：A.3．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个奇数和两个偶数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（    ）A．9个 B．24个 C．36个 D．54个【答案】D【分析】根据题意，选出一个奇数和两个偶数，共有种选法，再结合排列数的公式，即可求解.【详解】从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个奇数和两个偶数，共有种选法，所以组成一个没有重复数字的三位数，共有个.故选：D.4．，，，若，，共面，则实数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空间向量共面的充要条件：存在唯一的实数对，使，列出方程组，即可求出的值．【详解】向量，，，若向量，，共面，则存在唯一的实数对，使，即，解得， 实数的值为．故选：D5．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为，若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（    ）A．0.69 B．0.49 C．0.42 D．0.39【答案】A【分析】根据全概率公式进行分析求解即可.【详解】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为，记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则，且两两互斥，所以，又三种产品中绑带式口罩的比例分别为，记事件为“选到绑带式口罩”，则所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为.故选：A.6．的展开式中的系数是（    ）A． B．5 C．15 D．25【答案】A【分析】由，再写出展开式的通项，即可求出展开式中的系数.【详解】由，其中展开式的通项为（且），所以的展开式中含的项为，所以展开式中的系数为.故选：A7．甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（    ）A．240 B．192 C．96 D．48【答案】B【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.【详解】丙在正中间（4号位）；甲､乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，考虑到甲､乙的顺序有种情况；剩下的4个位置其余4人坐有种情况；故不同的坐法的种数为.故选：B.8．考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为，，，所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：，，，若从这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数，则的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先找出这6个数字中任意取出3个数的个数,再找出满足题意的数的个数，求出概率.【详解】这6个数字中任意取出3个数的共种,因为共3组，所以要使6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数，则的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个，所以共有种，故概率为.故选：B. 二、多选题9．下列说法正确的有（    ）A．若随机变量，，则B．若随机变量，则方差C．从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数X服从超几何分布D．已如随机变量的分布列为，则【答案】ACD【分析】根据正态分布曲线的性质可判断A；方差的性质可判断B；超几何分布定义可判断C；随机变量的分布列的性质可判断D.【详解】对于A，，根据正态分布的性质，，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误；对于C，可取，则，所以选出的女生个数X服从超几何分布，故C正确；对于D，由题意可得，得，可得，解得，所以，故D正确；故选：ACD.10．已知的展开式的各项系数之和为256，则展开式中（    ）A．奇数项的二项式系数和为128 B．第4和5项的系数最大 C．有理项共有5项 D．存在常数项【答案】AC【分析】令即可求出的值，再写出展开式的通项，即可一一判断.【详解】令，得，则或（舍去）.∴的展开式的通项（且）.对于A，，即奇数项的二项式系数和为，故A正确；对于B，由题设知展开式共项，第项的二项式系数最大，又展开式的系数即为二项式系数，所以第项的系数最大，故B错误；对于C，由为整数，又且，所以时为有理项，故有理项共有项，故C正确；对于D，令，解得，又且，故展开式中不存在常数项，故D错误.故选：AC.11．一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出红球”；分别用，表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据条件概率公式和全概率公式依次判断选项即可.【详解】由题得，，根据条件概率公式，得，，故A，B正确.对选项C，，所以，故C错误.对选项D，，，故D正确.故选：ABD12．已知图1中，正方形的边长为，、、、是各边的中点，分别沿着、、、把、、、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则（    ）  A．平面平面B．直线与直线所成的角为C．直线与平面所成角的正切值为D．多面体的体积为【答案】BC【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法，依次判定ABC选项即可，D选项需要对几何体进行补体，补成长方体，由长方体体积减去锥体的体积求解.【详解】如图，取CD、AB的中点O、M，连接OH、OM，因为A、B、C、D是正方形各边的中点，则CH=DH，因为O为CD中点，所以,因为平面CDH平面ABCD，平面CDH平面ABCD=CD，OH平面CDH，所以OH平面ABCD，在图中，易知四边形ABCD为边长为1的正方形，所以OMCD,故建立空间直角坐标系.  则，对于选项A，设平面AEF的一个法向量为，;设平面CGH的一个法向量为，，，故平面与平面不垂直，故A选项错误；对于B选项， ,,,故直线与直线所成的角为，B选项正确；对于C选项，记直线与平面所成角为，则，则，则，故直线与平面所成角的正切值为，C选项正确；对于D选项，如上图所示，以ABCD为底面，以OH为高将几何体补成长方体，则E、F、G、H分别为的中点，因为|AB|=1，|OH|=，则长方体的体积为，，因此多面体的体积为，故D选项错误.故选：BC. 三、填空题13．5名医生各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是        .（结果用数字作答）【答案】【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】依题意每名医生有种选择，故不同的方法种数为.故答案为：14．已知(m>1)，则的值为        .（结果用数字作答）【答案】126【分析】因为，由组合数的计算性质可算出，代入求解即可.【详解】因为，若m=2m-1，得m=1（舍），所以，由组合数的计算性质得，所以.故答案为：126. 四、双空题15．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发.每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则质点回到原点的位置的概率为        ，质点位置与点3的距离不大于1的概率为        .【答案】     /0.3125     【分析】表示向右移动的次数，则，再根据二项分布即可得到质点回到原点的概率，设表示质点位置与点3的距离，得到，再计算概率即可.【详解】设表示向右移动的次数，则.若质点运动6次回到原点，则向左，右各移动3次，所以质点回到原点的概率.设表示质点位置与点3的距离，则表示质点向左移动的次数，则，即，所以.故答案为：；. 五、填空题16．如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为        .  【答案】【分析】首先取的中点，连接，易证平面平面，从而得到点在平面的轨迹为，再计算的长度即可.【详解】取的中点，连接，如图所示：  因为，平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，，所以平面平面.因为平面，平面，所以点在平面的轨迹为.所以.故答案为： 六、解答题17．有四名男生，两名女生和两名老师站成一排照相，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（结果用数字作答）(1)两名老师站正中间；(2)四名男生身高都不相等，从左向右看，四名男生按从高到低的顺序站.【答案】(1)1440(2)1680 【分析】（1）先排2名老师，再排6名学生，由分步乘法计数原理可得答案；（2）先从8个位置中选出4个位置给4名男生，再在剩下的4个位置上排其余4人，由分步乘法计数原理可得答案．【详解】（1）2名老师站中间，有种站法，6名学生有种站法，故共有种；（2）先从8个位置中选出4个位置给4名男生，有种方法，再在剩下的4个位置上排其余4人，有种站法，故四名男生从左到右按照由高到低的顺序的站法有=1680（种）．18．若，且.(1)求实数a的值；(2)求的值.【答案】(1)1(2)1 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式计算可得答案；（2）利用赋值法求出，再取可得答案.【详解】（1）依题意，展开式的通项为=，由，=2得，所以，，解得，所以实数a的值是1.（2）由（1）知，，当时，，      当时，，        因此=1.19．如图，在四面体中，，，.  (1)求的值；(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意得到，再求解即可.（2）根据，再平方求解即可.【详解】（1）在四面体中，，，.（2）如图所示：  因为，则，因为F是CD中点，则，于是.，所以.20．甲､乙两位同学参加学校组织的数学文化知识答题游戏，规则如下：甲同学先回答2道题，至少答对一道题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次答题机会.两位同学每答对一道题可获得5积分，答错不得分，甲同学每道题答对的概率均为，乙同学每道题答对的概率均为，每道题答对与否互不影响.(1)求乙同学有机会答题的概率；(2)记X为甲和乙同学一共拿到的积分，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）先求甲同学两道题都答错的概率，再利用对立事件求解；（2）由题意可知，，再根据随机变量的意义，即可求解概率和分布列，再根据期望的公式求期望.【详解】（1）记“乙同学有机会答题”为事件，所以，答：乙同学有机会答题的概率是（2）的所有可能取值为，所以，     所以的分布列为：05101520所以答：数学期望是21．在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识网络问卷调查（一位市民只能参加一次），共有100000名市民提交了问卷，现从提交问卷的市民中随机地抽取100人的得分统计结果如表所示：得分（百分制）[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数1015253515(1)若从样本中问卷得分不低于60分的市民中随机地抽取2人，求2人得分均不低于90分的概率；(2)由样本数据分析可知，该市全体参加问卷的市民得分服从正态分布，其中可近似为样本中的100名市民得分的平均值（同一组数据用该组数据的中间值代替），利用该正态分布，估计全市参加问卷的全体市民中得分在[85，92]分的人数；(3)为了鼓励市民积极参与创建文明城，问卷得分不低于92分的市民可继续参与答题赠话费活动，规则如下：①参加答题的市民的初始分都设置为100分；②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第题时所需的分数为；③每答对一题得2分，答错得0分；④答完题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）.已知市民甲答对每道题的概率均为0.6，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量为多少时，他获得的平均话费最多？参考数据：若，则，，【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）记“从样本中问卷得分不低于分的市民中随机地抽取人，人得分均不低于分”为事件，利用古典概型概率公式求解即可.（2）求出名市民问卷得分的平均值，即，然后根据正态分布区间概率公式求解即可.（3）以随机变量表示甲答对的题数，则且，记甲答完题所加的分数为随机变量，则，所以，列出甲答完题后的最终得分为，即可得出结果.【详解】（1）由题意得样本中得分不低于分的市民共有人，其中得分不低于的人数为人，记“从样本中问卷得分不低于分的市民中随机地抽取人，人得分均不低于分”为事件，则.故从样本中问卷得分不低于分的市民中随机地抽取人，人得分均不低于分的概率为.（2）由题意知样本中的名市民问卷得分的平均值为：，则，由得，所以，所以，估计全市参加问卷的全体市民中，得分在人数为，即全市参加问卷的全体市民中得分在的人数为.（3）以随机变量表示甲答对的题数，则且，记甲答完题所加的分数为随机变量，则，所以，依题意为了获取答道题的资格，甲需要的分数为：，设甲答完题后的最终得分为，则.由于，所以当或时，取最大值.即当他的答题数量为或时，他获得的平均话费最多.22．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.  (1)求证：平面；(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证，从而得证；法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，证明其与平行，从而得证；（2）利用空间向量法求点到面的距离；（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.【详解】（1）法一：连结，因为为等边三角形，为中点，，又平面，平面，平面平面，又平面，由题设知四边形为菱形，，分别为中点，，又平面平面.法二：由平面，平面，又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则又平面平面.法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为  ，即不妨取，则，则所以平面的一个法向量为，，，平面（2）由（1）坐标法得，平面的一个法向量为（或）点到F到平面的距离=（3）设，则，；由（1）知：平面平面的一个法向量（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；设平面的法向量，则，令，则；，令，则；，即锐二面角的余弦值的取值范围为.