2022-2023学年江苏省扬州市高二下学期开学考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市高二下学期开学考试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州市高二下学期开学考试数学试题 一、单选题1．双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由双曲线的方程得出和的值，再由离心率公式即可求得结果．【详解】由题意得，，所以．故选：C．2．在等比数列中，，，则（    ）．A．3 B．9 C．27 D．81【答案】B【分析】根据等比数列通项公式求解.【详解】由题意，在等比数列中，，，解得，所以.故选：B3．下列求导数运算正确的是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据求导公式以及复合函数求导法则，可得答案.【详解】选项A，，故A错误；选项B，，故B错误；选项C，，故C错误；选项D，，故D正确.故选：D.4．若直线过二、三、四象限，则（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】将直线过二、三、四象限,转化为直线在两坐标轴上的截距都小于0可得答案.【详解】因为直线过二、三、四象限,所以直线在两坐标轴上的截距都小于0,所以.故选:D【点睛】本题考查了直线方程的截距式,考查了截距的概念,属于基础题.5．圆与圆的位置关系为（    ）．A．相交 B．内切 C．外切 D．外离【答案】B【分析】由两圆的位置关系计算即可.【详解】由题意可得，故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则，易知，故两圆内切.故选：B6．已知函数，则的图象大致为（    ）．A．   B．  C．   D．  【答案】A【分析】对函数求导利用导函数的正负判断出原函数单调性，通过排除法即可作出判断.【详解】根据题意可知函数的定义域为，则，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减；根据函数的单调性，结合选项即可知A正确.故选：A7．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，由再逐项判断.【详解】解：因为所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，所以，即 ，A． ，则 ，故错误；B． ，则 ，故错误；C． ，则 ，故正确；D． ，则 ，故错误；故选：C8．已知数列满足，且，数列满足，，则的最小值为（    ）．A． B．5 C． D．【答案】D【分析】利用等差数列通项公式可求得公差和，采用累加法可求得，再判断单调性即可计算作答.【详解】由数列满足，，根据等差数列的定义知，数列是首项为，公差为2的等差数列，所以，，当时，，又满足，，所以.设，根据对勾函数的性质可知，当时，单调递减；当时，单调递增.又，，所以，当时，有最小值为.故选：D. 二、多选题9．下列四个结论，其中正确的有（    ）．A．方程与方程表示同一条直线B．直线恒过定点C．直线的倾斜角为135°D．过点，且在两坐标轴上截距相等的直线仅有一条【答案】BC【分析】根据的范围即可判断A；根据直线过定点的求法即可判断B；根据直线方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系即可判断C；分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断D．【详解】对于A，由方程中的，而方程中的，所以两个方程表示不同的直线，故A错误；对于B，当时，不管为何值，，所以直线恒过定点，故B正确；对于C，由，则，即直线斜率为，所以其倾斜角为135°，故C正确；对于D，当直线在坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，当直线在坐标轴上的截距都不为0时，可设其方程为，则，解得，此时直线方程为，所以过点，且在两坐标轴上截距相等的直线有2条，故D错误．故选：BC．10．等差数列的前n项和为，且，，，则下列说法中正确的有（    ）．A． B．C．当或6时，取最小值 D．【答案】ACD【分析】由可判断A；由作差可判断B；先由和可得，则可判断C；由可得，利用等差数列的性质可判断D.【详解】因为，所以，故A正确；因为，，所以，故B错误；因为，，所以，所以，因为，所以当或6时，取最小值，故C正确；由得，，所以，所以，故D正确.故选：ACD11．已知函数，，其中e＝2.71828…，则下列说法中正确的有（    ）．A．函数与的图象没有交点 B．函数与的最大值相等C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增【答案】ABD【分析】对于A，令，再利用导数求出其最小值，判断其最小是否大于零即可，对于B，分别利用导数求出两函数的最大值即可，对于C，先对函数求导，再由导数小于零，可求出其单调递减区间，对于D，先对函数求导，再由导数大于零，可求出函数的递增区间.【详解】对于A，令，则，令，则，所以在上递增，因为，，所以，使，即，所以当时，，即，当时，，即，所以在上递减，在上递增，所以，即，即在上恒成立，所以函数与的图象没有交点，所以A正确，对于B，，则，当时，，当时，所以在上递增，在上递减，所以的最大值为，由，得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以的最大值为，所以函数与的最大值相等，所以B正确，对于C，由，得，令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，，所以，使，所以当时，，即，当时，，即，所以在上递增，在上递减，所以C错误，对于D，由，得，令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，所以，所以函数在上单调递增，所以D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考利用导数求函数的最值和单调性，解题的关键是准确求出函数的导数，通过判断导数的正负求出函数的单调区间，考查计算能力，属于较难题.12．如图，在矩形中，，，（从下到上）将边等分，点在边的延长线上，且，（从左到右）将边等分，记直线与直线的交点为，若，则下列说法中正确的有（    ）．  A．在抛物线上运动B．在双曲线上运动C．对任意的，到直线的距离大于D．记的中点为，则存在，使得【答案】BC【分析】以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，可利用表示出各点的坐标，由此可得的方程，联立可求得点坐标，整理得到点轨迹方程，知AB正误；利用点到直线距离公式可求得C正确；假设存在满足题意的点，构造方程可得点坐标，可确定不存在满足题意的，知D错误.【详解】以中点为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，  则，，，，，分别为的等分点，，；对于AB，直线的方程为：；直线的方程为：；由得：，即，，，，点在以为焦点，实轴长为的双曲线上，A错误，B正确；对于C，直线的方程为：，即，点到直线的距离，，，，即对任意的，到直线的距离大于，C正确；对于D，由题意知：，设，，；由得：，解得：，此时，即，又，，不存在满足题意的的取值，使得成立，不存在，使得，D错误.故选：BC. 三、填空题13．若直线与圆相交于两点，则弦的长为      ．【答案】【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用垂径定理可求得结果.【详解】由圆的方程得：圆心为，半径，圆心到直线的距离，.故答案为：.14．已知点F为抛物线的焦点，，点P为抛物线上一动点，则的最小值为      ．【答案】4【分析】根据抛物线的定义可求最小值.【详解】如图，过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，由抛物线的定义可知，则，当且仅当共线时等号成立，故的最小值为4.故答案为：4.  15．已知点P在曲线上，点Q在直线 (其中e为自然对数的底数)上，则PQ长度的最小值为      ．【答案】【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.【详解】设与直线平行的直线的方程为， ∴当直线与曲线相切，且点Q为切点时，，两点间的距离最小，设切点， ，所以，，，， 点，直线的方程为，即 ，两点间距离的最小值为平行线和间的距离，两点间距离的最小值为.故答案为：. 四、双空题16．已知等差数列中，，公差，其前四项中去掉某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列的前三项，则      ；若对任意的正整数n，恒成立，则实数λ的取值范围为      ．【答案】     3     【分析】空①：根据分类讨论思想，利用等差数列的定义以及等比数列等比中项的性质，建立方程，可得答案；空②：写出等差数列以及等比数列的通项公式，利用分离参数的方法，整理不等式，构造函数，利用导数求其单调区间，求得最值，可得答案.【详解】由题意，可知，，，，①当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，则，即，化简可得，解得，不符合题意；②当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，则，即，化简可得，解得或，不符合题意；③当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，则，即，化简可得，解得或，则符合题意；④当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，则，即，化简可得，解得，不符合题意.故等差数列中首项，公差，则；故等比数列中，，，公比，则.由，则，即，令令，，令，则，由，则，单调递增极大值单调递减当时，；当时，.的最大值为，则，即.故答案为：；.【点睛】关键点睛：本题在解决数列不等式时需用构造函数的方法，明确函数单调区间后，注意的取值为正整数. 五、解答题17．已知直线，求：(1)过点且与直线l平行的直线的方程；(2)过点且与直线l垂直的直线的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据两直线平行得到斜率，再利用点斜式写出方程；（2）根据两直线垂直得到斜率，再利用点斜式写出方程.【详解】（1）因为直线的斜率为，所以与直线l平行的直线的斜率为，又所求直线过，所以所求直线方程为，即．（2）因为直线的斜率为，所以与直线l垂直的直线的斜率为，又所求直线过，所以所求直线方程为，即．18．已知函数，且．(1)求实数a的值及曲线在点处的切线方程；(2)当时，求f(x)的最大值．【答案】(1)；(2)2 【分析】（1）先求导函数，代入即可求值，由导数的几何意义求切线方程即可；（2）由导函数确定极值，再与端点函数值比较即可.【详解】（1）由题意可得，所以，即，所以，，所以，.所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）由(1)得，令，则或．列表得：x﹣2﹣112 ＋0﹣0＋ f(x)﹣22﹣22所以当时，在时取得极小值，在时取得极大值，且，故的最大值为2.19．在平面直角坐标系中，圆C的方程为，．(1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；(2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解；（2）要使得，则M在线段的中垂线上，从而可得线段的中垂线与圆C有公共点，则有圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案.【详解】（1）当时，圆C的方程为，圆心，半径，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由直线l与圆C相切，则，解得，所以l的方程为，即，综上得，直线l的方程为或；（2）圆心，，则线段的中垂线的方程为，即，要使得，则M在线段的中垂线上，所以存在点M既要在上，又要在圆C上，所以直线与圆C有公共点，所以，解得，所以．  20．已知数列的前n项和为，，，．(1)求证：数列为等差数列；(2)令，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）根据已知变形，再由等差数列的定义得证；（2）由数列的前n项和求出通项公式，再利用裂项相消的方法求出数列的前n项和，从而得证.【详解】（1）因为，所以，所以是首项为，公差为2的等差数列.（2）由(1)得，则，所以又符合上式，所以所以，所以.21．如图，已知椭圆(a>b>0)的离心率为，且过点，设、分别为椭圆C的左、右顶点，点S为直线x＝4上一动点(在x轴上方)，直线交椭圆C于点M，直线交椭圆于点N，记、△MSN的面积分别为、．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，求点S的坐标．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据条件先求出a与b的关系，再将点代入椭圆方程即可；（2）运用弦长公式表示出，再根据条件求解.【详解】（1）因为离心率，即，所以，即，故椭圆方程为，代入点得，解得，所以椭圆方程为；（2）由（1）得：，设，则t>0，直线，直线，由 ，得，解得，，即，同理，由 ，可得，， ，，， 所以 ，所以，即，所以或，又t>0，所以S的坐标为或；综上，椭圆方程为，S的坐标为或.【点睛】本题第二问的难点是两个三角形面积的计算，解题关键是如何表示两个三角形的面积，简化运算.22．已知函数，其中e＝2.71828…．(1)若，当时，求的极大值；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先对函数求导得，再令，求导得当，，则得在上单调递减，再由可求出的单调区间，从而可求出函数的极值；（2）将问题转化为，恒成立，构造函数，求导后取正的零点，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求得，再次构造函数，求导后求出其单调区间，从而可求出结果.【详解】（1）当时，，．则，观察得．令，，则，所以在上单调递减，又，所以当时，，则；当时，，则，所以在上单调递增；在上单调递减，所以的极大值为，（2）由题意得，，所以，恒成立，记，则由有一正一负根，记该正根为，则，当时，，递减，当时，，递增，所以   （*）记 ()，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又因为，所以的解集为，即．由在上单调递增可知，，所以．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为，恒成立，然后构造函数，利用导数求其最小值不小于零即可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.