2022-2023学年重庆市渝东九校高二下学期期中数学试题含答案
展开2022-2023学年重庆市渝东九校高二下学期期中数学试题
一、单选题
1.若,则( )
A.2 B.3 C.2或4 D.3或4
【答案】C
【分析】根据组合数公式的性质求解即可
【详解】因为,
所以或,
故选:C
2.下列函数的求导正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据常见初等函数的求导公式及复合函数求导公式可得结果.
【详解】对于A:,故A不正确;
对于B:,故B不正确;
对于C:,故C不正确;
对于D:,故D正确,
故选:D.
3.已知,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】直接根据条件概率公式计算即可.
【详解】因为,,
所以,即,
故选:B.
4.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“乐”和“书”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )
A.240种 B.36种 C.120种 D.360种
【答案】A
【分析】对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.
【详解】“乐”和“书”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有排法.
故选:A.
5.随机变量的分布如下表,其中成等差数列,且,
1 | 2 | 3 | |
则( )
A. B. C. D.1
【答案】C
【分析】根据分布列的性质及条件列方程组求出,再求数学期望即可.
【详解】由题意得,得,则.
故选:C.
6.若函数的图象在处的切线与直线垂直,则的值为( )
A. B.2或 C.2 D.1或
【答案】B
【分析】由两线垂直可知处切线的斜率为5,利用导数的几何意义有,即可求的值.
【详解】由题意知:直线的斜率为,则在处切线的斜率为5,
又∵,即,
∴,解得或,
故选:B.
7.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】利用导数研究函数的单调性即可确定函数图象.
【详解】因为,所以,
当时,,单调递减,
当时,令,得,令得,
所以在单调递减,在单调递增,当时,有最小值1,
只有选项B图象符合.
故选:B
8.已知定义在上的函数满足:,且,则的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】设,,由得出在单调递增,由得出,将转化为即可得出答案.
【详解】设,,
因为,
所以,
所以在单调递增,
因为,
所以,
由,且得,
则,
所以,又在单调递增,
所以,
故选:A.
二、多选题
9.关于的展开式,下列判断正确的是( )
A.展开式共有6项
B.展开式的各二项式系数的和为32
C.展开式的第4项的二项式系数为20
D.展开式的各项系数的和为
【答案】ABD
【分析】二局二项式定理的性质逐项判断即可.
【详解】对于A:展开式共有项,故A正确;
对于B:展开式的各二项式系数的和为,故B正确;
对于C:展开式第4项的二项式系数为,故C错误;
对于D:令,得展开式的各项系数的和为,故D正确;
故选:ABD.
10.距离高考不到1天时,国家教育部发布了《中国高考报告》,年的高考对各科都有重大的调整,为让高二的学生各科的调整有所了解,某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的位该学科的骨干教师进行“中国高考报告”的相应学科讲座,每天一科,连续天.则下列结论正确的是( )
A.从五位教师中选两位的不同选法共有种
B.数学不排在第一天的不同排法共有种
C.数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有种
D.物理要排在化学的前面(可以不相邻)的排法共有种
【答案】BC
【分析】直接利用组合计数原理可判断A选项;先排数学,再排其他四门学科,结合分步乘法计数原理可判断B选项;先排数学、英语、语文三门学科,再排其他两门学科,结合结合分步乘法计数原理可判断C选项;利用倍缩法可判断D选项.
【详解】对于A选项,从五位教师中选两位的不同选法共有种,A错;
对于B选项,数学不排在第一天,则数学有种排法,其他门学科全排即可,
所以,不同的排法种数为种,B对;
对于C选项,数学、英语、语文排在都不相邻的三天,则这三门学科分别排在第一、三、五天,
所以,不同的排法种数为种,C对;
对于D选项,物理要排在化学的前面(可以不相邻)的排法种数为种,D错.
故选:BC.
11.如图是的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的判断是( )
A.当时,取得极小值
B.当时,取得极大值
C.在上是减函数
D.在上是减函数,在上是增函数
【答案】BD
【分析】根据图象可得出在各个区间上的符号,从而得到单调区间,进而得到极值点.
【详解】由图象知,
当和时,恒成立,
当和时,恒成立,
即在上单调递增,在上单调递减,故C错误,D正确;
所以当和时,取得极大值,当时,取得极小值,
故A错误,B正确.
故选:BD.
12.已知函数有两个极值点,,则( )
A.a的取值范围为(-∞,1) B.
C. D.
【答案】BCD
【分析】利用导数判断函数的单调性,根据零点的个数求出的取值范围,进而确定的取值范围,再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可.
【详解】由题设,且定义域为,则,
当时,则单调递增,不可能存在两个零点,即不可能存在两个极值点,A错误;
当时,即单调递增,当时,即单调递减,即,
当时,,所以至多有一个零点;
当时,,而,当趋向于0时趋于负无穷大,当趋向于正无穷时趋于负无穷大,
综上,,在内各有一个零点,且,
B:由且趋向于0时趋于负无穷大,所以,故,
令,
,
又,所以单调递减,
故当时,,
又,所以,
而,因此,故正确;
C:,
令,显然有,令,显然,
因此有:,
设,则,
当时,单调递减,当时,单调递增,
因为,所以,
令,即,
因为,所以单调递增,
因为,所以,
而,所以,
因为,所以,
当时,单调递减,因此有,即,正确;
D:由,则,故,正确.
故选:BCD
【点睛】关键点睛:构造函数、、,利用导数研究单调性,根据单调性进行求解.
三、填空题
13.已知,则 .
【答案】8
【分析】根据期望的性质求解即可
【详解】因为,
所以,
故答案为:8
14.函数的单调增区间为 .
【答案】
【分析】利用导数求出函数的增区间作答.
【详解】函数的定义域为,
,由得,即单调递增区间为.
故答案为:.
15.在三个地区爆发了甲流,这三个地区分别有3%,4%,5%的人患了甲流,假设这三个地区的人口比例为5:8:7,现从这三个地区中任意选取一个人,则这个人患甲流的概率为 .
【答案】
【分析】利用互斥事件和独立事件的概率公式结合题意直接求解即可
【详解】由题意可知,现从这三个地区中任意选取一个人,则这个人患甲流的概率为
,
故答案为:
16.已知函数,若对任意都存在,使成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意,问题转化为存在,使,判断出,从而分离出,构造函数并利用导数得到取值范围,得到关于的不等式,解得的范围.
【详解】对任意都存在使成立,
而,所以,
即存在,使,
此时,,所以,
因此将问题转化为:存在,使成立,
设,,
当,,单调递增,
所以,
由题意,所以,
所以实数的取值范围是.
故答案为:.
四、解答题
17.(1)计算;
(2)已知,求的值.
【答案】(1),(2)
【分析】(1)利用排列数与组合数公式计算即可;
(2)利用赋值法求解.
【详解】(1);
(2)令,得.
18.已知函数,且.
(1)求的值;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)2
(2)最大值为,最小值为0.
【分析】(1)求导,根据求出的值;
(2)求导,得到函数单调性,极值,求出端点值,比较后求出最值.
【详解】(1),,解得.
(2),,
,,
当时,或,当时,,
故在,上单调递增,在上单调递减,
故在处取得极小值,在处取得极大值,
又,,,
,
在区间上的最大值为,最小值为0.
19.某学校的高二年级有5名数学老师,其中男老师3人,女老师2人.
(1)如果任选3人参加校级技能大赛,所选3人中女老师人数为,求的分布列;
(2)如果依次抽取2人参加市级技能大赛,求在第1次抽到男老师的条件下,第2次抽到也是男老师的概率.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)的所有可能取值为0,1,2,求出概率得到分布列.
(2)利用条件概率转化求解即可.
【详解】(1)由题可知的所有可能取值为0,1,2,
依题意得:,,,
的分布列为:
0 | 1 | 2 | |
(2)设第1次抽到男老师为事件,第2次抽到男老师为事件,则第1次和第2次都抽到男老师为事件,
根据分步计数原理,.
所以.
20.2022年的重庆遇到近61年来的第二高温天气,为了在2023年的夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,拟对某幢建筑物的屋顶和外墙建造隔热层.已知由新材料制作的隔热层能使用20年,每厘米厚的隔热层建造成本为5万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:)满足关系:,设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值.
【答案】(1)
(2)当隔热层修建5cm厚时,总费用最小,最小值为55万元
【分析】(1)根据题意可直接得到函数的解析式;
(2)由(1)可得解析式,求导可得,从而得到其极小值,即为最小值.
【详解】(1)每年能源消耗费用为,建造费用为,
∴.
(2),令得或(舍).
∴当时,,当时,.
∴在上单调递减,在上单调递增.
∴当时,取得极小值,也是最小值,
∴当隔热层修建5cm厚时,总费用最小,最小值为55万元.
21.已知函数.
(1)当时,求函数的极值;
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)当时,取得极大值3,当时,取得极小值
(2)答案见解析
【分析】(1)求出,根据的正负即可求出函数的极值;
(2)求出,令,得出或,分类讨论的取值范围即可.
【详解】(1)当时,,
则,
令,得或,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以当时,取得极大值,
当时,取得极小值,
(2),
令,则或,
当时,
,,,,
则在和上单调递增,在上单调递减;
当时,
,,,,
则在和上单调递增,在上单调递减;
当时,,,则在上单调递增;
综上所述,
当时,在和上单调递增,在上单调递减;
当时,在和上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增.
22.已知函数.
(1)若在上单调递减,求实数的取值范围;
(2)若时,存在两个极值点、,证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意可得在上恒成立,转化为在上恒成立,构造函数,利用导数可求出的取值范围,即可得出实数的取值范围;
(2)由(1)知:、满足,,不妨设,则,则,所以只需证成立,构造函数,利用导数证明出对任意的恒成立即可.
【详解】(1)解:因为,则,
因为函数在上单调递减,则对任意的,,
即,可得,
设,则,
当时,,所以,单调递增,则,故,
即实数的取值范围是.
(2)证明:由(1)知:、满足,则,
不妨设,则.
则,
则要证,即证,
即证,也即证成立.
设函数,则,
所以,在单调递减,又.
故当时,,
所以,,即.
【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下:
(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;
(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;
(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
重庆市渝东九校联盟2023-2024学年高一上学期期中数学试题(Word版附解析): 这是一份重庆市渝东九校联盟2023-2024学年高一上学期期中数学试题(Word版附解析),共15页。试卷主要包含了56, 若命题,则命题的否定是, 已知集合,则., 已知函数,则, 已知,则的最小值为, 设,则“”是“”的, 下列结论中正确的是, 定义新运算等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市渝东九校联盟高二年级下册学期期中联考数学试题【含答案】: 这是一份2021-2022学年重庆市渝东九校联盟高二年级下册学期期中联考数学试题【含答案】,共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市渝东六校共同体高二上学期联合诊断考试数学试题: 这是一份2022-2023学年重庆市渝东六校共同体高二上学期联合诊断考试数学试题,共14页。试卷主要包含了单选题,选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。