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    2022-2023学年重庆市渝东九校高二下学期期中数学试题含答案

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    这是一份2022-2023学年重庆市渝东九校高二下学期期中数学试题含答案,共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年重庆市渝东九校高二下学期期中数学试题

     

    一、单选题

    1.若,则    

    A2 B3 C24 D34

    【答案】C

    【分析】根据组合数公式的性质求解即可

    【详解】因为

    所以

    故选:C

    2.下列函数的求导正确的是(    

    A B

    C D

    【答案】D

    【分析】根据常见初等函数的求导公式及复合函数求导公式可得结果.

    【详解】对于A,故A不正确;

    对于B,故B不正确;

    对于C,故C不正确;

    对于D,故D正确,

    故选:D

    3.已知,则等于(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】直接根据条件概率公式计算即可.

    【详解】因为

    所以,即

    故选:B

    4.中国古代中的礼、乐、射、御、书、数合称六艺”.“,主要指德育;,主要指美育;,就是体育和劳动;,指各种历史文化知识;,指数学.某校国学社团开展六艺课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:两门课程相邻排课,则六艺课程讲座不同的排课顺序共有(    

    A240 B36 C120 D360

    【答案】A

    【分析】对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.

    【详解】两门课程相邻排课,则六艺课程讲座不同的排课顺序共有排法.

    故选:A

    5.随机变量的分布如下表,其中成等差数列,且

    1

    2

    3

        

    A B C D1

    【答案】C

    【分析】根据分布列的性质及条件列方程组求出,再求数学期望即可.

    【详解】由题意得,得,则

    故选:C

    6.若函数的图象在处的切线与直线垂直,则的值为(    

    A B2 C2 D1

    【答案】B

    【分析】由两线垂直可知处切线的斜率为5,利用导数的几何意义有,即可求的值.

    【详解】由题意知:直线的斜率为,则在处切线的斜率为5

    ,即

    ,解得

    故选:B

    7.函数的大致图象为(    

    A B

    C D

    【答案】B

    【分析】利用导数研究函数的单调性即可确定函数图象.

    【详解】因为,所以

    时,单调递减,

    时,令,得,令

    所以单调递减,在单调递增,当时,有最小值1

    只有选项B图象符合.

    故选:B

    8.已知定义在上的函数满足:,且,则的解集为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】,由得出单调递增,由得出,将转化为即可得出答案.

    【详解】

    因为

    所以

    所以单调递增,

    因为

    所以

    ,且

    所以,又单调递增,

    所以

    故选:A

     

    二、多选题

    9.关于的展开式,下列判断正确的是(    

    A.展开式共有6

    B.展开式的各二项式系数的和为32

    C.展开式的第4项的二项式系数为20

    D.展开式的各项系数的和为

    【答案】ABD

    【分析】二局二项式定理的性质逐项判断即可.

    【详解】对于A:展开式共有项,故A正确;

    对于B:展开式的各二项式系数的和为,故B正确;

    对于C:展开式第4项的二项式系数为,故C错误;

    对于D:令,得展开式的各项系数的和为,故D正确;

    故选:ABD

    10.距离高考不到1天时,国家教育部发布了《中国高考报告》,年的高考对各科都有重大的调整,为让高二的学生各科的调整有所了解,某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的位该学科的骨干教师进行中国高考报告的相应学科讲座,每天一科,连续.则下列结论正确的是(    

    A.从五位教师中选两位的不同选法共有

    B.数学不排在第一天的不同排法共有

    C.数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有

    D.物理要排在化学的前面(可以不相邻)的排法共有

    【答案】BC

    【分析】直接利用组合计数原理可判断A选项;先排数学,再排其他四门学科,结合分步乘法计数原理可判断B选项;先排数学、英语、语文三门学科,再排其他两门学科,结合结合分步乘法计数原理可判断C选项;利用倍缩法可判断D选项.

    【详解】对于A选项,从五位教师中选两位的不同选法共有种,A错;

    对于B选项,数学不排在第一天,则数学有种排法,其他门学科全排即可,

    所以,不同的排法种数为种,B对;

    对于C选项,数学、英语、语文排在都不相邻的三天,则这三门学科分别排在第一、三、五天,

    所以,不同的排法种数为种,C对;

    对于D选项,物理要排在化学的前面(可以不相邻)的排法种数为种,D.

    故选:BC.

    11.如图是的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的判断是(    

      

    A.当时,取得极小值

    B.当时,取得极大值

    C上是减函数

    D上是减函数,在上是增函数

    【答案】BD

    【分析】根据图象可得出在各个区间上的符号,从而得到单调区间,进而得到极值点.

    【详解】由图象知,

    时,恒成立,

    时,恒成立,

    上单调递增,在上单调递减,故C错误,D正确;

    所以当时,取得极大值,当时,取得极小值,

    A错误,B正确.

    故选:BD.

    12.已知函数有两个极值点,则(    

    Aa的取值范围为(-1 B

    C D

    【答案】BCD

    【分析】利用导数判断函数的单调性,根据零点的个数求出的取值范围,进而确定的取值范围,再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可.

    【详解】由题设,且定义域为,则

    ,则单调递增,不可能存在两个零点,即不可能存在两个极值点,A错误;

    ,即单调递增,当,即单调递减,即

    时,,所以至多有一个零点;

    时,,而,当趋向于0趋于负无穷大,当趋向于正无穷时趋于负无穷大,

    综上,内各有一个零点

    B:由趋向于0趋于负无穷大,所以,故

    ,所以单调递减,

    故当时,

    ,所以

    ,因此,故正确;

    C

    ,显然有,令,显然

    因此有:

    ,则

    时,单调递减,当时,单调递增,

    因为,所以

    ,即

    因为,所以单调递增,

    因为,所以

    ,所以

    因为,所以

    时,单调递减,因此有,即,正确;

    D:由,则,故,正确.

    故选:BCD

    【点睛】关键点睛:构造函数,利用导数研究单调性,根据单调性进行求解.

     

    三、填空题

    13.已知,则           .

    【答案】8

    【分析】根据期望的性质求解即可

    【详解】因为

    所以

    故答案为:8

    14.函数的单调增区间为            .

    【答案】

    【分析】利用导数求出函数的增区间作答.

    【详解】函数的定义域为

    ,由,即单调递增区间为.

    故答案为:.

    15.在三个地区爆发了甲流,这三个地区分别有3%4%5%的人患了甲流,假设这三个地区的人口比例为587,现从这三个地区中任意选取一个人,则这个人患甲流的概率为           .

    【答案】

    【分析】利用互斥事件和独立事件的概率公式结合题意直接求解即可

    【详解】由题意可知,现从这三个地区中任意选取一个人,则这个人患甲流的概率为

    故答案为:

    16.已知函数,若对任意都存在,使成立,则实数的取值范围是           .

    【答案】

    【分析】根据题意,问题转化为存在,使,判断出,从而分离出,构造函数并利用导数得到取值范围,得到关于的不等式,解得的范围.

    【详解】对任意都存在使成立,

    ,所以

    即存在,使

    此时,所以

    因此将问题转化为:存在,使成立,

    单调递增,

    所以

    由题意,所以

    所以实数的取值范围是.

    故答案为:.

     

    四、解答题

    17.(1)计算

    2)已知,求的值.

    【答案】1,(2

    【分析】1)利用排列数与组合数公式计算即可;

    2)利用赋值法求解.

    【详解】1

    2)令,得.

    18.已知函数,且.

    (1)的值;

    (2)求函数在区间上的最大值和最小值.

    【答案】(1)2

    (2)最大值为,最小值为0.

     

    【分析】1)求导,根据求出的值;

    2)求导,得到函数单调性,极值,求出端点值,比较后求出最值.

    【详解】1,解得.

    2

    时,,当时,

    上单调递增,在上单调递减,

    处取得极小值,在处取得极大值,

    在区间上的最大值为,最小值为0.

    19.某学校的高二年级有5名数学老师,其中男老师3人,女老师2.

    (1)如果任选3人参加校级技能大赛,所选3人中女老师人数为,求的分布列;

    (2)如果依次抽取2人参加市级技能大赛,求在第1次抽到男老师的条件下,第2次抽到也是男老师的概率.

    【答案】(1)见解析

    (2)

     

    【分析】1的所有可能取值为012,求出概率得到分布列.

    2)利用条件概率转化求解即可.

    【详解】1)由题可知的所有可能取值为012

    依题意得:

    的分布列为:

    0

    1

    2

    2)设第1次抽到男老师为事件,第2次抽到男老师为事件,则第1次和第2次都抽到男老师为事件

    根据分步计数原理

    所以

    202022年的重庆遇到近61年来的第二高温天气,为了在2023年的夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,拟对某幢建筑物的屋顶和外墙建造隔热层.已知由新材料制作的隔热层能使用20年,每厘米厚的隔热层建造成本为5万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:)满足关系:,设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

    (1)的表达式;

    (2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值.

    【答案】(1)

    (2)当隔热层修建5cm厚时,总费用最小,最小值为55万元

     

    【分析】1)根据题意可直接得到函数的解析式;

    2)由(1)可得解析式,求导可得,从而得到其极小值,即为最小值.

    【详解】1)每年能源消耗费用为,建造费用为

    2,令(舍).

    时,,当时,

    上单调递减,在上单调递增.

    时,取得极小值,也是最小值

    当隔热层修建5cm厚时,总费用最小,最小值为55万元.

    21.已知函数

    (1)时,求函数的极值;

    (2)讨论的单调性.

    【答案】(1)时,取得极大值3,当时,取得极小值

    (2)答案见解析

     

    【分析】1)求出,根据的正负即可求出函数的极值;

    2)求出,令,得出,分类讨论的取值范围即可.

    【详解】1)当时,

    ,得

    时,单调递增,

    时,单调递减,

    时,单调递增,

    所以当时,取得极大值

    时,取得极小值

    2

    ,则

    时,

    上单调递增,在上单调递减;

    时,

    上单调递增,在上单调递减;

    时,,则上单调递增;

    综上所述,

    时,上单调递增,在上单调递减;

    时,上单调递增,在上单调递减;

    时,上单调递增.

    22.已知函数.

    (1)上单调递减,求实数的取值范围;

    (2)时,存在两个极值点,证明:.

    【答案】(1)

    (2)证明见解析

     

    【分析】1)由题意可得上恒成立,转化为上恒成立,构造函数,利用导数可求出的取值范围,即可得出实数的取值范围;

    2)由(1)知:满足,不妨设,则,则,所以只需证成立,构造函数,利用导数证明出对任意的恒成立即可.

    【详解】1)解:因为,则

    因为函数上单调递减,则对任意的

    ,可得

    ,则

    时,,所以,单调递增,则

    即实数的取值范围是

    2)证明:由(1)知:满足,则

    不妨设,则

    则要证,即证

    即证,也即证成立.

    设函数,则

    所以,单调递减,又

    故当时,

    所以,,即.

    【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下:

    1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数

    2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;

    3)构造形似函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.

     

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