2022-2023学年山东省济南市莱芜第一中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年山东省济南市莱芜第一中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

【分析】观察函数在内的图象与轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.

【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，

在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.

故选：A.

2．设集合，且，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】C

【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为，所以，所以，

．因为，

所以.

故选:C

3．下列有关排列数､组合数的计算，正确的是（    ）

A． B．

C． D．是一个常数

【答案】D

【分析】根据排列组合计算公式即可求解．

【详解】对于A，∵，∴A不正确；

对于B，，故B不正确；

对于C，

，故C不正确；

对于D，n应满足解得.

所以，故D正确．

故选：D

4．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可．

【详解】解：由离散型随机变量的性质可得，

即，解得或，

时，不合题意，

．

故选：B．

5．为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）

A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种

【答案】A

【分析】分组分配问题需要考虑重复；依题意要先分类，因为8个人分成3组人数上有不同的分法，再分配.

【详解】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，

故不同的安排方法共有 种；

故选：A.

6．已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，再利用函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】构造函数，其中，则，

所以，函数为奇函数，

当时，，

所以，函数在上为增函数，故该函数在上也为增函数，

由题意可知，函数在上连续，故函数在上为增函数.

对于A选项，，即，则，A错；

对于B选项，，即，则，B对；

对于C选项，，即，则，C错；

对于D选项，，即，则，D错.

故选：B.

7．随机变量的分布列如下所示则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由分布列的性质可得的关系，再由期望公式求，由方差公式求，利用导数求的最大值.

【详解】由题可知，，，

所以，，

，

，

则，

令，

则，

则在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以的最大值为．

故选：D．

8．若对于任意的，都有，则的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】问题转化为，得到函数在定义域上单调递增，求出函数的导数，得到在上恒成立，求出的最大值即可．

【详解】解：，，

，

，

，

故函数在定义域上单调递增，

故在上恒成立，

故，解得：，

故的最大值是，

故选：．

二、多选题

9．某中学组织了足球射门比赛，规定每名同学有次射门机会，踢进一球得分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记为小明得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的公式逐一判断即可．

【详解】由题意得，，因此，所以选项A正确；

，所以选项B不正确；

由题意得，则，所以选项C正确；

，，因此选项D不正确．

故选：AC．

10．为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天.则下列结论正确的是（    ）

A．从六位专家中选两位的不同选法共有20种

B．“呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种

C．“护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种

D．“护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种

【答案】BC

【分析】由组合知识判断A；从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家，从而判断B；由捆绑法判断C；由插空法判断D.

【详解】对于A：从六位专家中选两位的不同选法共有种，故A错误；

对于B：从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家共有种，故B正确；

对于C：将“护理”，“感染类专家”视为一个元素，不同的排法共有种，故B正确；

对于D：先排疾控、药剂、呼吸，再用插空法排护理、感染、儿科类专家，共有种，故D错误；

故选：BC

11．已知，则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】变换得到，令，可得A正确，，B正确，令，计算C错误，两边同时求导，令，得到D正确，得到答案.

【详解】，

展开式的通项为，

对选项A：令，可得，正确；

对选项B：，所以，正确；

对选项C：令，可得，错误；

对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确．

故选：ABD

12．设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（    ）

A．的图象与轴相切

B．存在实数，使得的图象与轴相切

C．若，则方程有唯一实数解

D．若有两个零点，则的取值范围为

【答案】ACD

【分析】通过导数的几何意义分别判断函数，与x轴的相切情况；时，求得的单调区间及最值，判断方程是否有唯一实数解；对分类讨论，求得有两个零点时应满足的条件，从而判断选项正误.

【详解】，若的图象与轴相切，则，又，则切点坐标为，满足条件，故A正确；

，，

当时，易知恒成立，不存在为0的解，故不存在实数，使得的图象与轴相切，B错误；

由上所述，在上单减，上单增，则；

若，，，在上单增，上单减，，故方程有唯一实数解，故C正确；

，，

当时，恒成立，单增，不存在2个零点，故舍去；

当时，在上单增，在上单减，且时，，时，，故若有两个零点，则应使最大值，

即，

令，易知单调递减，且，

因此的解集为，D正确；

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：利用导数来研究函数的单调性，最值问题，把方程的根的问题，零点问题转化为图像交点问题，利用导数求得最值，从而得证.

三、填空题

13．同一种产品由甲､乙､丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95､0.90､0.80，甲､乙､丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率           .

【答案】0.86

【分析】由全概率公式计算所求概率.

【详解】由全概率公式，得所求概率.

故答案为：.

14．若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为        .

【答案】

【分析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.根据导数的几何意义即可求解．

【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小．

设切点为，

∴切线斜率为，

由题知，解得或(舍)．

∴，此时点到直线距离．

故答案为：．

15．若的展开式中的系数为9，则a的值为      ．

【答案】1

【分析】由题得，再借助二项式展开式的通项分两种情况讨论得解.

【详解】解：，且展开式的通项，

当时，，此时的系数为.

当时，，此时的系数为.

展开式中的系数为，．

故答案为：1

16．已知函数，关于的不等式有且只有四个整数解，则实数的取值范围是       ．

【答案】

【分析】求导，利用导数的符号变化研究其单调性、极值，对分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法，结合函数图象和不等式的整数解个数进行判定求解．

【详解】由，可得，

令，解得，令，解得，

的递增区间为，递减区间为，

故的最大值为 ，

当趋于时，趋于；

当趋于时，趋于，且，

故当时，，当时，，

函数的图象如图，

①当时，由不等式，得或，

当时，，有无数多个整数解；

当时，其解集为的子集，不含有整数解；

所以不合题意；

②当时，由不等式，当得，得，则解集为，整数解有无数多个，不合题意；

③当时，由不等式，得或，

当时，解集为，无整数解；

当时，因为不等式有且仅有四个整数解，

又，，，，

且，

又因为在上单调递增，在上单调递减，

所以四个整数解只能为、、、，

所以，即．

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的图象，分类讨论，利用函数图象进行求解是解题关键.

四、解答题

17．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．

(1)求甲射击次，至少有次未击中目标的概率．

(2)假设每人连续次击中目标，则终止其射击求乙恰好射击次后被终止射击的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式求得次都击中目标的概率，再利用对立事件的性质求解；

（2）根据相互独立事件的乘法公式计算即可

【详解】（1）解：甲射击次，至少有次未击中目标的概率为．

（2）乙恰好射击次后被终止射击的概率为．

18．已知函数.

(1)若函数在区间（其中）上存在极值，求实数a的取值范围；

(2)如果当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用导数研究函数的单调性可得在处取得极大值1，结合题意列出不等式组，解之即可；

(2)由分离参数法将原不等式变为()，利用二次求导研究函数的单调性求出即可.

【详解】（1）函数的定义域为，

则.令，

当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

故函数在处取得极大值，且极大值为.

∵函数在区间(其中)上存在极值，

∴，解得，即实数的取值范围为；

（2）当时，不等式，即.

令()，

∴.

令()，则，

∴在上单调递增，∴，

从而，故在上也是单调递增，

∴，∴.

19．已知二项式．

(1)求展开式中的有理项；

(2)求展开式中系数最大的项．

【答案】(1)，，，，，，，，.

(2)，

【分析】（1）写出二项展开式的通项，由的指数为有理数求得的值，即可得答案；

（2）直接由（1）中求得的项得结论．

【详解】（1）的展开式的通项为，，

展开式中的每一项都是有理项，分别为：

，，，，，，，，

.

（2）由（1）可知，展开式中系数最大的项为第三项与第四项，分别为，．

20．“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚物，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量，为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；

(2)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生(有放回试验)，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．

【答案】(1)分布列见解析，数学期望

(2)当时，取得最大值

【分析】（1）根据分层抽样原则可确定人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；

（2）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在内的概率，利用二项分布概率公式可表示出，由此可确定结果．

【详解】（1）由频率分布直方图得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，

人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；

则所有可能的取值为，，，，

，

，

的分布列为：

数学期望；

（2）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率，

则，

若最大，则最大，

当时，取得最大值．

21．已知函数．

(1)若函数在区间上不单调，求的取值范围；

(2)令，当时，求在区间上的最大值．

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）利用导函数讨论单调性，求的范围即可；

（2）利用导函数求解在上的单调性，按照的不同取值分类讨论，即可求得最大值.

【详解】（1）函数的定义域为

令，其对称轴为，

因为函数在区间上不单调，

所以即，

解得，所以的取值范围为．

（2），

函数的定义域为

①时，令得或，

令得，

所以函数在上单调递减，

所以

②时，由①知在上单调递增，在上单调递减，

所以

③时，，

所以在上单调递增，

所以

④时，令得或，

令得，

所以函数在上单调递增，

所以

综上：时，

时，

时，

22．已知函数.

(1)求证：；

(2)若函数仅有两个零点，求实数a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，在定义域内求最小值即可；

（2）首先转化为在上有两个零点，利用导数研究函数的单调性，再通过对参数的讨论，即可得解.

【详解】（1）证明：，显然在上单调递增，

又，，所以存在，使得，

即.

所以当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

因为，所以，

所以（当且仅当时等号成立），

又，所以，所以.

（2）由，

令，因为，所以有两个零点等价于有两个零点，

，

今，有.

①当时，，②当时，，令，，有，所以在上单调递增，所以，所以，

由①②知在上，所以在上单调递增，又，所以当时，，即；当时，，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

当，即时，在上恒成立，此时最多有一个零点，不合题意；

当，即时，，

当时，由（1）知，

所以，故在上仅有一个零点；

令，则，

所以在上单调递增，所以，

即当时，，，

当且时，

，

所以在上也仅有一个零点.

综上所述，当时，函数仅有两个零点，当时，函数最多有一个零点，所以实数的取值范围为.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和转化思想，计算量比较大，属于难题.

本题的关键点有：

（1）利用隐零点求函数的最值；

（2）利用放缩法求函数的范围.