2022-2023学年山东省德州市第一中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年山东省德州市第一中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．等差数列的公差为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用等差数列的定义直接求解.

【详解】因为等差数列的公差为，且，

所以.

故选：A

2．利用独立性检验来考察两个分类变量和是否有关系时，通过查列联表计算得4.964，那么认为与有关系，这个结论错误的可能性不超过（    ）

A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05

【答案】D

【分析】根据的观测值，与临界值表对照求解即可.

【详解】由，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为与有关系.

故选：D

3．设等比数列的前项和为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设等比数列的公比为，依题意可得，再根据等比数列前项和公式计算可得.

【详解】设等比数列的公比为，由得，解得，

所以．

故选：C．

4．是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，进而得到的可能图象.

【详解】由的图象可得，

当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增.

则仅有选项C符合以上要求.

故选：C

5．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ）

A．103 B．107 C．109 D．105

【答案】B

【分析】根据已知条件进行转化得到数列通项公式，由题意解出不等式即可判断项数.

【详解】由题意，被3除余2且被7除余2的数即为被21除余2的数，故，

则.

故选：B

6．近期记者调查了热播的电视剧《狂飙》，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在，，，，的爱看比例分别为，，，，，现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表，17代表，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（    ）

A．33 B．35 C．37 D．39

【答案】B

【分析】求出前四组数据的样本中心点的坐标，代入回归直线方程求出的值，再将代入回归直线方程可得出的值.

【详解】因为比例和线性回归方程均带有，故为了方便计算，以下数据省略，

前四组的平均数为，，

代入线性回归方程得，解得，

所以，线性回归方程为，

当时，，由此可推出的值为.

故选：B.

7．已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数求出函数的极小值点，可得出，再利用诱导公式可求得的值.

【详解】因为，则，

由，即，可得，

由，即，可得，

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，函数的极小值点为，

将函数所有极小值点从小到大排列成数列，

则，，易知数列为等差数列，

且数列的公差为，则，

因此，.

故选：D .

8．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造，利用导数可知函数在单调递减，又，，，根据单调性即可得到结果.

【详解】设，则，

令，则，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；

又，，，

所以，即.

故选：D.

二、多选题

9．数列为等比数列，下列命题正确的是（    ）

A．数列为等比数列 B．若，，则

C．若，则单调递增 D．若该数列前项和，则

【答案】ACD

【分析】根据等比数列的定义及性质可得A,B正误，利用的符号可得C的正误，根据等比数列和的特征可得D的正误.

【详解】设等比数列的公比为，

对于A，，所以数列为等比数列，A正确；

对于B，由，所以，因为等比数列中偶数项的符号一致，所以，B不正确；

对于C，因为，所以；当时，由可得，

此时；

当时，由可得，此时；

所以单调递增，C正确；

对于D，因为，所以，，，

因为为等比数列，所以，即，D正确.

故选：ACD.

10．下列说法中正确的有（    ）

A．

B．已知函数在上可导，且，则

C．一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度是4m/s

D．若，则

【答案】BC

【分析】常数的导数为0可判断A选项；由导函数定义可判断B选项；求导代入求出可判断C选项；利用求导公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，，故A错误；

对于B选项，由导函数定义可知，故B正确；

对于C选项，，故，故该质点在时的瞬时速度是，C正确；

对于D选项，若，则，D错误.

故选：BC.

11．1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记为该数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）

A． B．为偶数

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据递推关系计算出的值可判断选项A；根据数列中项的特点可判断选项B；由可得，再化简可判断选项C；由，化简整理可判断选项D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：由题意知：，，，，，，，，，，，

故选项A正确；

对于B：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而（组）（个），故为奇数，选项B错误；

对于C：由题意知：，所以

，故选项C正确；

对于D：，

故选项D正确，

故选：ACD.

12．已知函数，则以下结论正确的是（    ）

A．函数存在极大值和极小值

B．

C．函数只有1个零点

D．对于任意实数k，方程最多有4个实数解

【答案】BC

【分析】利用导数求出单调性可判断AC，根据单调性判断B，转化为，交点问题，数形结合判断D.

【详解】由得：，

由得：，由得：，

所以在单调递减，在单调递增，只有极小值，无极大值，

当恒有，当恒有，且，故A不正确，C正确：

B：在单调递增，又，故，故正确；

D：方程，即有一根为，

令．则，

令得：或，

令得：，

所以在和单调递增，在单调递减，

，

作出，的图形如图所示：

所以存在时有3个实数解，此时有4个实数解，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．已知数列{an}是首项为1，公比为q（q>0）的等比数列，并且2a1，，a2成等差数列．则公比q的值为        

【答案】2

【分析】由等差中项性质及等比数列通项公式可得，即可求公比.

【详解】由题设，则，即，

又，故.

故答案为：

四、解答题

14．已知函数，其中．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)递减区间为，递增区间为；

(2).

【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再借助导数求出单调区间作答.

（2）构造函数并求出导数，再按分段讨论函数单调性，由此求出取得最小值1作答.

【详解】（1）当时，，函数的定义域为，

求导得，

显然函数在上单调递增，且，

因此当时,单调递减，当时,单调递增，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2），令，求导得，

当时,，则在上单调递增，，满足题意，

当时，设，则，因此函数，即在上单调递增，

而，

(i)当时,在上单调递增，

于是，满足题意，

(ii)当，即时，对，则在上单调递减，

此时，不合题意，

（iii）当时，因为在上单调递增，

且，于是，使，且当时,单调递减，

此时，不合题意，

所以实数的取值范围为.

【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.

15．已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题意可得出，解方程求出，再由等差数列和等比数列的通项公式即可得出答案；

（2）先求出，再由裂项相消法和等比数列的前项和公式求解即可.

【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，

则，解得：，

所以数列的通项公式为；

数列的通项公式.

（2），

数列的前项和．

.

16．已知正项数列中，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据计算即可得解；

（2）利用错位相减法求解即可.

【详解】（1）当时，，

解得，

由当时，，

得当时，，

两式相减得，即，

又，所以，

又适合上式，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以；

（2），

则，

，

两式相减得

，

所以.

17．网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心APP”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据.

(1)根据以上数据，判断与哪一个适宜作为回归方程模型？根据判断结果，求出y关于x的回归方程；

(2)分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下.

参考数据（其中，，，，.

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

【答案】(1)

(2)两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下

【分析】（1）对于非线性回归方程先通过换元法将变化为线性回归方程，

再代入参考数据得到.

(2) 将代入回归方程得到，

故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下.

【详解】（1）由表中数据可得更适宜.

，

令，设y关于t的线性回归方程为，

则

则，

故y关于x的回归方程为

（2）由回归方程可知，随x的增大，y逐渐减少，

当时，，

故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下.

18．已知函数在处取得极值7.

(1)求的单调区间；

(2)求在上的最值.

【答案】(1)的单调增区间是，，单调减区间是；

(2)，.

【分析】（1）由极值和极值点可得解出系数可得函数解析式，利用导数求单调区间；

（2）利用函数单调性求区间上的最值.

【详解】（1），

因为函数在处取得极值7，所以

解得

所以，，

令，解得或，令，解得，

所以的单调增区间是，，单调减区间是；

（2）由（1）得，单调递增，，单调递减，，单调递增，

，，

，，

所以，.

19．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，即对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，其中男生80人，女生20人，调查得到如表所示的统计数据．

(1)若每日使用手机的时间小于36min表现为“正常”，大于等于36min表现为“手机成瘾”，请根据已知条件补全下列列联表．

(2)判断是否有99%把握认为“手机成瘾”与性别有关．

附：，．

【答案】(1)见解析

(2)所以有99%把握认为“手机成瘾”与性别有关；

【分析】（1）结合频数分布表和男生女生人数，补全二联表即可；

（2）利用公式计算出，从而得以判断.

【详解】（1）每日使用手机的时间小于36min共有人，女生有人，

则男生有人；

每日使用手机的时间大于36min共有人，女生有人，

则男生有人；

则列联表如下表：

（2）

所以有99%把握认为“手机成瘾”与性别有关；

五、填空题

20．已知数列满足，且前项和为，则       ．

【答案】

【分析】当为奇数时，采用累加法可求得；当为偶数时，；采用分组求和的方式，分别求解奇数项和偶数项的和，从而利用前项和为构造方程求得结果.

【详解】当为奇数时，；

，，…，，

各式相加得：，

当为偶数时，；

，解得：.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系式求解数列首项的问题，解题关键是能够分别在为奇数和为偶数两种情况下得到奇数项和偶数项满足的关系式，采用分组和并项求和的方式可构造方程.

21．已知是曲线的一条切线，则         .

【答案】

【分析】设切点，导数几何意义有，结合切点在直线和曲线上，求切点坐标，即求参数.

【详解】设切点坐标为，而，则，

又，，解得，，

所以.

故答案为：

22．若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【分析】利用导数研究单调性，根据函数有极值求出实数a的取值范围.

【详解】函数定义域为R，.

令，则.

当时，有，，即恒成立，所以在R上单增，无极值；

当时，有，有两个根（不妨设），令解得：；令解得：，所以在上单增，在上单减，所以在处取得极大值，在处取得极小值.

故实数a的取值范围是.

故答案为：