2022-2023学年云南省昆明市嵩明县高二下学期期中检测数学试题含答案

2022-2023学年云南省昆明市嵩明县高二下学期期中检测数学试题

一、单选题

1．设全集或，则＝（    ）

A．或 B．或

C． D．{0，1，2，3，4，5，6}

【答案】D

【分析】根据集合的并运算即可求解.

【详解】由于或，所以，

故选：D

2．若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ）

A．1 B．2 C．1或2 D．－1

【答案】B

【分析】根据纯虚数的定义，列出满足的条件即可求解.

【详解】是 纯虚数，所以解得，

故选：B

3．新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（    ）

A．14种 B．15种 C．16种 D．17种

【答案】C

【分析】分两种情况即物理或历史中选一门和物理和历史都选两种情况分类求解即可.

【详解】解：由题意得：

物理或历史中选一门：种选法；

物理和历史都选：种选法；

物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有种选法；

故选：C

4．设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线//平面，则实数z的值为（    ）

A．-5 B．5 C．-1 D．1

【答案】B

【解析】根据线面平行的向量关系，可得，根据，可得结果.

【详解】由直线//平面,知向量与垂直，

则有，

解得.

故选：B

【点睛】本题主要考查线面平行的向量表示，属基础题.

5．已知且，则的最小值为（    ）

A．3+ B．4 C．2 D．6

【答案】A

【分析】由题意等式两边同除，将等式转化为，利用展开结合基本不等式可求出最小值.

【详解】解：因为，且，所以，

则，当且仅当，时等号成立.

故选：A

6．已知函数，则函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性和特殊点的函数值确定正确选项.

【详解】，

的定义域为，，排除A选项.

，

所以为偶函数，图像关于轴对称，排除B选项.

，排除 C选项.

故选：D

7．圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由圆心在抛物线上，设圆心为，再根据圆与抛物线的准线及轴都相切，列出方程求出圆心坐标和半径，即可得出答案．

【详解】因为圆心在抛物线上，

所以设圆心为，

又因为圆与抛物线的准线及轴都相切，

所以，解得，

所以圆心为，半径为，

所以圆的标准方程为：，即，

故选：A．

8．已知函数，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可.

【详解】，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

，

因为，所以，故，

因为

所以，

即.

故选：B.

二、多选题

9．已知两条直线m，n，两个平面α，β．下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】CD

【分析】对于A、B：线面的位置关系直接判断；对于C：利用线面垂直的判定定理证明出；对于D：由面面平行的性质证明出.

【详解】对于A：若，则或.故A错误；

对于B：若，则或异面.故B错误；

对于C：因为，所以内任意直线.

在平面内取两条相交直线，则且.

因为，所以，.

又为平面内两条相交直线，所以.故C正确；

对于D：由选项C的证明可知：.

因为，所以.故D正确.

故选：CD

10．已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．S16为Sn的最小值

C． D．使得成立的n的最大值为33

【答案】AC

【分析】根据已知条件求得，结合等差数列前项和公式确定正确选项.

【详解】，

当时，，

当时，，也符合上式，所以，A正确.

由于开口向下，对称轴为，所以是的最大值，B错误.

由解得，

所以，C正确.

，所以使成立的的最大值为，D错误.

故选：AC

11．已知函数 ，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的值可能是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】BC

【分析】理解题意就是函数 的导函数存在两个不同的零点，讨论导函数的图像即可.

【详解】∵曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，

∴ 有两个不同的解，

即得 有两个不同的解，

即的图象与 的图象有两个不同的交点，

，

∴当时， ， 单调递减；

时， ， 单调递增，

∴时，y取得最小值 ，

又当时，，

函数图象如下：

∴当 时，的图象与 的图象有两个不同的交点，

结合选项可得实数a的值可能是 ， ；

故选：BC．

12．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（    ）

A．为定值

B．的周长的取值范围是

C．当时，为直角三角形

D．当时，的面积为

【答案】ACD

【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.

【详解】设椭圆的左焦点为，则

所以为定值，A正确；

的周长为，因为为定值6，

所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；

将与椭圆方程联立，可解得，

又因为，∴

所以为直角三角形，C正确；

将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．在二项式的展开式中，含的项的系数是        ．

【答案】10

【详解】分析：先根据二项展开式的通项公式求含的项的项数，再确定对应项系数.

详解： ，

所以令得 ，即含的项的系数是

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.

14．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中，其重心相对与水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系．该运动员在时的瞬时速度是        ．

【答案】

【分析】利用导数求得正确答案.

【详解】

故答案为：

15．半径为的球面上有四个点，且直线两两垂直，若，，的面积之和为72，则此球表面积的最小值为：   ．

【答案】

【分析】以为邻边构造一个长方体，则长方体的体对角线即为球的半径，根据基本不等式求出半径最小值即可．

【详解】由题可知，点在如图所示的长方体上，

设，则，

因为，，的面积之和为72，

所以，

因为，当且仅当时，等号成立，

所以，

所以球表面积的最小值为．

16．已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为      

【答案】9

【分析】求得双曲线的，，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接，交双曲线于，圆于，计算可得所求最小值．

【详解】解：由题意可得，即，

渐近线方程为，即有，

即，可得双曲线方程为，

焦点为，，，，，

由双曲线的定义可得，

由圆可得，半径，

，

连接，交双曲线于，圆于，

可得取得最小值，且为，

则则的最小值为．

故答案为：．

【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．

四、解答题

17．已知等差数列和等比数列都是递增数列，且．

(1)求，的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)，.

(2).

【分析】（1）设等差数列和等比数列的公差与公比分别为：，由已知条件组成方程组解出，写出等差数列和等比数列通项公式即可；

（2）由（1）写出的通项公式，利用错位相减法求数列前项和即可.

【详解】（1）设等差数列和等比数列的公差与公比分别为：，

因为，

所以，

将代入，得：

，

解得或或，

因为等差数列和等比数列都是递增数列，

所以，

所以，

，

所以等差数列的通项公式为：，

等比数列的通项公式为：.

（2）（2）由（1）得，

所以，①

，②

①②得：，

即，

所以.

18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，．

(1)求角B的大小．

(2)若△ABC为锐角三角形，．求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理求得正确答案.

（2）利用正弦定理转化，结合三角函数值域的求法求得正确答案.

【详解】（1）依题意，，

由正弦定理得，

所以为锐角，所以.

（2）由正弦定理得，

所以

，

由于三角形是锐角三角形，

所以，解得，

所以，所以，

所以，

即的取值范围是.

19．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：第一组第1组、第2组、第3组、第4组、第5组

(1)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；

(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第50百分位数（精确到0.1）

(3)若在抽出的第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取5名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这5名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.

【答案】(1)，人.

(2).

(3).

【分析】（1）由直方图频率和为1，列方程求，再根据直方图求500名志愿者中年龄在的人数；

（2）由第50百分位数分直方图两侧面积各为0.5，列方程求第50百分位数.

（3）由分层抽样的等比例性质求出5名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.

【详解】（1）由直方图知：，可得，

∴500名志愿者中年龄在的人数为人.

（2）由（1）易知：第50百分位数在区间内，若该数为，

∴，解得.

（3）由题设，易知：5名志愿者有2名来自，3名来自，

∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.

20．如图，在三棱柱中，为等边三角形，面积为．

(1)若三棱柱的体积为，求点C到平面的距离；

(2)若且面，求二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，结合棱锥的体积公式求解即可；

（2）根据勾股定理可证明，进而以为坐标原点，分别为轴建系，再求解平面的法向量，根据二面角的向量求法求解即可

【详解】（1）因为三棱柱的体积为，故.设C到平面的距离为，则，故

（2）因为，为等边三角形，所以．

由平面，平面平面，得．

在中，由勾股定理易知

又因为，，所以

以为坐标原点，分别为轴建系．

， ，

设平面的法向量，，

，

不妨设，则，，，．

平面的法向量取．

设二面角的平面角为

则

又因为二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为

21．已知椭圆，直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据直线被椭圆截得的线段长为可求得交点坐标后代入椭圆方程求得值，从而得到椭圆方程.

（2）设互相垂直的两条直线方程求出它们与椭圆交点的坐标，写出直线的方程得到直线恒过定点.

【详解】（1）根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限，

又长为，∴，∴

∴，故的标准方程为

（2）显然直线的斜率存在且不为0，

设，由得，

∴，同理可得

当时，，

所以直线的方程为

整理得，所以直线

当时，直线的方程为，直线也过点

所以直线过定点.

22．函数，．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若对于，总有，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）分类讨论，答案见解析；（Ⅱ）．

【分析】（Ⅰ）对函数进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可求解；

（Ⅱ）分离参数，转化为分式函数的最值问题即可求解；或令，将问题转化为求即可求解；或根据切线不等式，，将关于的分式不等式进行转化即可求解．

【详解】解：（Ⅰ）由题意得．

当时，，函数在上单调递增；

当时，由得，

当时，

当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）解法一：由，得

设，

则．

设，

则，

则在上单调递增．

又，所以当时，，即

当时，，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

故，

即实数的取值范围为．

解法二：由，得，

设，

则问题转化为．

，易知在上单调递增，则存在唯一的，使得，即，

则在上单调递减，在上单调递增，

则

设，

则

所以函数在上单调递减，且，

则，得，

易知函数为单调递增函数，

所以，

即实数的取值范围为．

解法三：由，得

考虑切线不等式与，

则，当且仅当时，等号成立．

又，当且仅当时，等号成立，

则，当且仅当时，等号成立，

即当时取最小值，为，

所以

即实数的取值范围为．

【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．