2022-2023学年广东省广州大学附中八年级（下）月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州大学附中八年级（下）月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  一个三角形的三边长分别是、、，则它的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列命题中错误的是(    )

A. 既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形
C. 有一组邻边相等的矩形是正方形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

5.  长方形的周长为，其中一边长为其中，面积为，则这样的长方形中与的关系可以写成(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在平行四边形中，，平分交边于点，且，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，和都是边长为的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在▱中，平分，交于点，平分交于点，，，则长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，正方形中，，交对角线于点，那么等于(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在▱中，，，点是上一个动点，以、为邻边作另一个▱，当点由点向点运动时，下列说法正确的选项是(    )
▱的面积先由小变大，再由大变小
▱的面积始终不变
线段最小值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11.  的算术平方根是______ ．

12.  原命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是______ ，逆命题是______ 命题填“真”、“假”

13.  的小数部分为，则______．

14.  如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，厘米，厘米，则边的长是______．

15.  在▱中，已知，平分交边于点，点将分为：两部分，则的长为______ ．

16.  如图，已知，是线段上的动点，分别以、为边在线段的同侧作等边和，连接，设的中点为，当点从点运动到点时，则点移动路径的长是          ．
 

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，在▱中，已知，，，求▱的面积．

19.  本小题分
如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知，，，，，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．

20.  本小题分
如图，在中，，是的一个外角．

实验与操作：
根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母保留作图痕迹，不写作法
作的平分线；
作线段的垂直平分线，与交于点，与边交于点，连接，．
猜想并证明：
判断四边形的形状并加以证明．

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

22.  本小题分
如图，点在线段上，，，点在线段上，且满足，连接并延长交于点．
求证：；
若已知，，，设，则的面积用代数式可表示为；你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．

 

23.  本小题分
如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点．
求证：．
连结，，猜想与之间的关系，并证明猜想．
当变为钝角时，如图，上述中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．

 

24.  本小题分
如图，点为正方形边上上一点，平分交于点，延长至点，使，连接．
猜想与的数量关系，并证明；
求证：；
若，，求的值．

25.  本小题分
如图，在平行四边形中，，，是的中点，点是线段上一动点可以运动到点和点，连接并延长交线段的延长线于点．

如图，
求证：；
若，，过点作交线段于点，请直接写出的形状，并求点到的距离；
改变平行四边形中的度数，当时可得到如图所示的矩形，请判断的形状，并说明理由；
在的条件下，取中点，连接，点随着点的运动而运动，当点在线段上运动的过程中，请直接写出的面积的范围．

答案和解析

1.【答案】 

解：由题意，
解得，
故选：．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

解：、，故选项错误；
B、不能合并，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误．
故选C．
A、利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可做出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式化为最简二次根式得到结果，即可做出判断．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

3.【答案】 

解：，
此三角形是直角三角形，
．
故选A．
由于，易证此三角形是直角三角形，从而易求此三角形的面积．
本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是先证明此三角形是直角三角形．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
正方形的判定方法：
有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形．
本题考查了正方形的判定方法：既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
要说明命题不是真命题，主要能举出一个反例即可．
【解答】
解：、根据正方形的判定，故正确；
B、根据正方形的判定，故正确；
C、根据正方形的判定，故正确；
D、可以是内角不是直角的菱形，故错误．
故选：．  

5.【答案】 

解：长方形的周长为，其中一边长为其中，
另一边长为：，
则．
故选：．
直接表示出长方形的另一边长，进而利用长方形面积求法得出答案．
此题主要考查了函数关系式，正确表示出长方形边长是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质及角平分线的定义求得是解题的关键．
由平行四边形的性质可得，且，结合角平分线的定义可求得，则可求得的长，可求得答案．
【解答】
解：四边形为平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
．  

7.【答案】 

解：和都是边长为的等边三角形，
，．
．
．
．
故选：．
根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现，再进一步根据勾股定理进行求解．
此题综合运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线平行线等腰三角形”转化线段．
根据平行四边形的性质可得，由角平分线可得，所以，所以，同理可得，则根据即可求解．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，．
．
平分，
．
．
．
同理可得．
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．首先证明≌，即可证明，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
，，，
≌，
，
又在中，，
，
．  

10.【答案】 

解：过点作于点，
则，
与的值始终不变化，
的面积始终不变化，
▱的面积的面积，
▱的面积始终不变
错误，正确；

连接，与交于点，
四边形是平行四边形，
，，
当时，的值最小，的值也最小，
此时，，
，，
，
，
，
，
线段最小值为．
正确，
故选：．
过点作于点，根据三角形的面积公式知的面积始终不变化，进而根据平行四边形与三角形的面积关系得出▱的面积始终不变，便可判断、的正误；连接，与交于点，由于始终经过的中点，当与垂直时，的值最小，求出此时的的值便可．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，平行线间的距离的性质，垂线段最短性质，关键是综合运用这些性质进行解答．
 

11.【答案】 

解：，，
的算术平方根是，
故答案为：．
根据，即可得到答案．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．
 

12.【答案】锐角三角形是等边三角形  假 

解：“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是“锐角三角形是等边三角形”，此逆命题为假命题．
故答案为锐角三角形是等边三角形，假．
把原命题的题设和结论部分交换即可得到逆命题，然后根据等边三角形的判定方法判断逆命题的真假．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
 

13.【答案】 

【解析】解；，
，




，
故答案为：．
先根据的范围求出的值，代入后进行计算即可．
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，平方差公式的应用，解此题的关键是求出的值．
 

14.【答案】厘米 

解：，，
，
同理可得：，
四边形为矩形，
，，
厘米．
故答案为：厘米．
利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形为矩形，那么由折叠可得的长即为边的长．
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形为矩形是解题关键．
 

15.【答案】或 

解：平分，
，

四边形是平行四边形，
，
，
，
．
点将分为：两部分，
或，
当时，；
当时，；
故答案为：或．
由角平分线的定义以及平行四边形的性质，求得，点将分为：两部分，可得或两种情况，分别讨论即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，以及等角对等边，分类讨论是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
分别延长、交于点，过作，分别交于，于，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹的中位线，运用中位线的性质求出的长度即可．
【解答】
解：如图，分别延长、交于点，过作，分别交于，于，
和是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
与互相平分．
为的中点，
正好为中点，
是等边三角形，
在的运动过程中，始终为的中点，所以的运行轨迹为的中位线．
，即的移动路径长为．
故答案为：．  

17.【答案】解：


． 

【解析】先计算二次根式的乘法，同时运算，零次幂与负整数指数幂，再合并即可得到答案．
本题考查的是二次根式的乘法运算，乘方的符号的确定，零次幂与负整数指数幂的运算，掌握以上运算是解题的关键．
 

18.【答案】解：过点作于点，
，，
，
▱的面积为： 

【解析】过点作于点，直接利用直角三角形中所对的边等于斜边的一半，可求的长，再利用平行四边形的面积求法得出即可．
此题主要考查了平行四边的性质以及直角三角形中所对的边性质，正确得出的长是解题关键．
 

19.【答案】解：连接，如图所示：
在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
，
铺满草坪的面积
答：这块空地铺满草坪的面积是． 

【解析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，求出区域的面积，即可求出答案．
本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理的逆定理等知识，解此题的关键是求出铺满草坪的面积．
 

20.【答案】解：如图所示，

四边形的形状为菱形．理由如下：
，
，
平分，
，
而，
，
垂直平分，
，，
在和中
，
≌，
，
即和互相垂直平分，
四边形的形状为菱形． 

【解析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直平分线的性质和菱形的判定方法．
先作角的平分线，再作线段的垂直平分线得到几何图形，由得，由平分得，则利用三角形外角性质可得，再根据线段垂直平分线的性质得，，于是可证明≌，所以，然后根据菱形的判定方法易得四边形的形状为菱形．
 

21.【答案】解：由题意得：，
，，
则


，
当，时，原式． 

【解析】先确定，，再利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的加减法，最后将，的值代入计算即可得．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
 

22.【答案】证明：在和中，

≌
全等三角形的对应角相等，
对顶角相等，直角三角形两锐角互余，
．
．
；

解：由题意知：
，
，
．
． 

【解析】首先证明≌，得出，进而求出，即可得出答案；
根据，得出即可．
此题主要考查了勾股定理的证明和全等三角形的判定与性质，根据图形面积得出是解题关键．
 

23.【答案】解：证明：如图，连接，，
、分别是、边上的高，是的中点，
，，
，
又为中点，
；
在中，，
，
，
，
，
，
；
结论成立，结论不成立，
理由如下：在中，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
连接，，根据直角三角形的性质得到，，得到，根据等腰三角形的性质证明；
根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；
仿照的计算过程解答．
 

24.【答案】猜想：．
证明：四边形是正方形，
，
，
平分，
，
，
，
；
证明：过点作于点，延长、交于点，延长交于点，如图，
则，
由知：，，
，
，
正方形中，，，
，，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
即，
，
在和中，
，
≌，
，
；
若，，
则，
设，则，
在中，，
，
解得：，，
，即，
，
，
即，，
，
，
≌，
，，，
设，
则，，
在中，，
，即，
解得：，
，，
． 

【解析】猜想：根据正方形性质可得，由平行线性质可得，再结合角平分线性质即可证得结论；
过点作于点，延长、交于点，延长交于点，可证得≌，得出：，，再证明≌，即可证得结论；
设，则，利用勾股定理可得：，，设，运用勾股定理建立方程求解可得，，，即可求得答案．
本题是四边形的综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形性质、角平分线性质、平行线性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
，
在和中，

≌，
．
由可得，
，

为等腰三角形．
如图，作交的延长线于点，

，，
，
．
是等腰直角三角形．
证明：如图，过点作于，

，
四边形是矩形．
．
，
．
．
，
．
，
在和中，

≌．
．
．
由得≌，
．
，
．
．
是等腰直角三角形．
如图，当点与点重合时，的面积最大

此时点与点重合，
，，
，，
，
为中点，
，
如图，当点与点重合时，的面积最小，

，，为的中点，
，
，
． 

【解析】利用≌即可得出结论．由中垂线可得出即是等腰三角形，作交的延长线于点，由等腰直角三角形求出点到的距离；
过点作于，由≌结合是的结论得出是等腰直角三角形．
当点与点重合时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最小，运用求出的面积，即可得出的面积的范围．
本题主要考查了四边形综合题．涉及全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定及矩形的性质，解题的关键是结合图形灵活运用判定及性质求解．