2023年内蒙古呼和浩特市赛罕区中考数学二模试卷

这是一份2023年内蒙古呼和浩特市赛罕区中考数学二模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年内蒙古呼和浩特市赛罕区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。再每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列实数中，是有理数的为（　　）
A． B． C． D．0
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（y+1）2＝y2+1 B．（﹣a2）3＝﹣a5
C．（﹣2m﹣2）3＝﹣6m﹣6 D．
3．（3分）已知一组数据1，3，0，x，2，2，3有唯一的众数3，则这组数据的平均数中位数分别是（　　）
A．2，3 B．3，2 C．2，2 D．3，3
4．（3分）桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）

A．∠3＝∠4 B．∠D+∠ACD＝180°
C．∠D＝∠DCE D．∠1＝∠2
6．（3分）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是（　　）
A．1 B．3 C．﹣1或2 D．1或2
7．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC（　　）
​

A．AB＝AE B．AB∥EC C．∠ABC＝∠DAE D．DE⊥AC
8．（3分）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同甲2＝0.35，S乙2＝0.15，S丙2＝0.25，S丁2＝0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（3分）如图，点在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y2＝（x＞0）的图象上．BC∥x轴交y轴于点C．当△ABC为等腰三角形且面积为6，则k的值为（　　）
​

A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．﹣1
10．（3分）对于二次函数y＝ax2+（﹣2a）x（a＜0），下列说法正确的个数是（　　）
①对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点（2，1）和（0，0）两点；
②若该函数图象的对称轴为直线x＝x0，则必有1＜x0＜2；
③当x≥0时，y随x的增大而增大；
④若P（4，y1），Q（4+m，y2）（m＞0）是函数图象上的两点，如果y1＞y2总成立，则a≤﹣．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）分解因式：3x﹣12x3＝　 　．
12．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜2，则a的取值范围是 　 　．
13．（3分）工人小王想制作一个圆锥模具，这个模型的侧面是一个半径为6cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作的，请你帮他计算一下这块铁皮的底面半径为 　 　，铁皮的面积是 　 　．
14．（3分）若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的一根，则m的值为 　 　，另外一根等于 　 　．
15．（3分）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为7：2，则这个多边形的边数为 　 　，内角和为 　 　度．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D是边BC的中点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，BF的长为 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：|﹣3|×16÷（﹣2）3+（2023﹣）0﹣60°+（﹣1）﹣1；
（2）先化简，再求值：÷（x﹣），其中，．
18．（8分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N
（1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

19．（8分）如图，双曲线y＝与直线y＝2x交于A、B两点
​（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式2x＞的解集；
（3）将直线y＝2x向下平移后，与y轴交于点C，与x轴交于点D

20．（8分）为了实现区域教育均衡发展，我区计划对A，B两类学校分批进行改进，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元，改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．
（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）我区计划今年对A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过380万元，地方财政投入的改造资金不少于70万元，请你通过计算求出有几种改造方案？哪种改造方案所需资金最少，最少资金为多少？
21．（9分）据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第二课于2022年3月23日15时40分在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富将相互配合进行授课，届时，航天员将在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验
某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制），信息如下：
（Ⅰ）成绩频数分布表：
成绩x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
频数
4
a
14
b
4
​
（Ⅱ）成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：
70 70 71 72 72 74 77 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　．在这次试中，成绩的中位数是 　 　分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 　 　．
（2）这次测试成绩的平均数是76.6分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
（3）在90≤x＜100之间的四名同学有两位男生和两位女生，学校打算选派一位男生和一位女生参加市里举办的“航空航天知识”，请求出选中一男一女的概率．
22．（7分）2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点
（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？
（参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）

23．（10分）如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E2＝AF•AC，cos∠ABD＝，AD＝12．
（1）求证：△ANM≌△ENM；
（2）求证：FB是⊙O的切线；
（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．

24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0）两点
​
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上不与点A，B，C重合的一个动点，过点M作MN⊥x轴，连接MC．
①如图1，若点M在第一象限，且∠CMN＝45°；
②直线MN交直线BC于点D，当点D关于直线MC的对称点D'落在y轴上时，求四边形MNCD′的周长．

2023年内蒙古呼和浩特市赛罕区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。再每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列实数中，是有理数的为（　　）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】根据有理数的意义，无理数的意义，可得答案．
【解答】解：，，是无理数，
8是有理数，
故选：D．
【点评】本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（y+1）2＝y2+1 B．（﹣a2）3＝﹣a5
C．（﹣2m﹣2）3＝﹣6m﹣6 D．
【答案】D
【分析】分别根据二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则对各选项进行分析即可．
【解答】解：A、（y+1）2＝y6+1+2y，原计算错误；
B、（﹣a3）3＝﹣a6，原计算错误，不符合题意；
C、（﹣4m﹣2）3＝﹣4m﹣6，原计算错误，不符合题意；
D、＝π﹣3，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
3．（3分）已知一组数据1，3，0，x，2，2，3有唯一的众数3，则这组数据的平均数中位数分别是（　　）
A．2，3 B．3，2 C．2，2 D．3，3
【答案】C
【分析】根据题意由有唯一的众数3，可知x＝3，然后根据平均数、中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵这组数据有唯一的众数3，
∴x＝3，
将数据从小到大排列为：6，1，2，2，3，3，3，
则平均数＝（0+1+4+2+3+4+3）÷7＝2，
中位数为：2．
故选：C．
【点评】本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．
4．（3分）桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看：
．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5．（3分）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）

A．∠3＝∠4 B．∠D+∠ACD＝180°
C．∠D＝∠DCE D．∠1＝∠2
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、∠3＝∠4可判断DB∥AC；
B、∠D+∠ACD＝180°可判断DB∥AC；
C、∠D＝∠DCE可判断DB∥AC；
D、∠3＝∠2可判断AB∥CD；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
6．（3分）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是（　　）
A．1 B．3 C．﹣1或2 D．1或2
【答案】D
【分析】先转化为整式方程，再由分式方程无解，进而可以求得a的值．
【解答】解：＝+1，
去分母得，ax＝2+x﹣4，
整理得，（a﹣1）x＝1，
当x＝4时，分式方程无解，
则a﹣1＝1，
解得，a＝7；
当整式方程无解时，a＝1，
故选：D．
【点评】本题主要考查分式方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
7．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC（　　）
​

A．AB＝AE B．AB∥EC C．∠ABC＝∠DAE D．DE⊥AC
【答案】D
【分析】利用转的性质证明△ABD≌△ACE，从而得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，所以∠CAD＝∠CAE，根据等腰三角形的性质即可得证．
【解答】解：∵AB＝AC，点D是BC的中点．
∴∠BAD＝∠CAD，
由旋转可得△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠CAD＝∠CAE，
∴AC⊥DE，
所以D对
故答案选：D．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形三线合一的性质，理解题意，灵活运用是关键．
8．（3分）在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同甲2＝0.35，S乙2＝0.15，S丙2＝0.25，S丁2＝0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断出这4人中成绩发挥最稳定的是哪个即可．
【解答】解：∵S甲2＝0.35，S乙6＝0.15，S丙2＝2.25，S丁2＝0.27，
∴S乙2＜S丙2＜S丁2＜S甲7，
∴这4人中成绩发挥最稳定的是乙．
故选：B．
【点评】此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练在我，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
9．（3分）如图，点在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y2＝（x＞0）的图象上．BC∥x轴交y轴于点C．当△ABC为等腰三角形且面积为6，则k的值为（　　）
​

A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．﹣1
【答案】A
【分析】依据题意，作AD⊥BC于D，交x轴于点E．连接OA、OD，易得S△AOE+S△DOE＝S△ACD＝3，根据反比例函数系数k的几何意义得到×4+|k|＝3，解方程可求k的值．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D．连接OA，

∵△ABC为等腰三角形且面积为6，
∴△ACD的面积为3．
∵AD∥y轴，
∴S△AOD＝S△ACD，即S△AOE+S△DOE＝S△ACD＝2，
∵点A在反比例函数y1＝（x＞5）的图象上2＝（x＞0）的图象上．
∴×4+．
∴|k|＝4．
∵由题意，k＜6，
∴k＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是根据三角形的面积找出关于k的一元一次方程．
10．（3分）对于二次函数y＝ax2+（﹣2a）x（a＜0），下列说法正确的个数是（　　）
①对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点（2，1）和（0，0）两点；
②若该函数图象的对称轴为直线x＝x0，则必有1＜x0＜2；
③当x≥0时，y随x的增大而增大；
④若P（4，y1），Q（4+m，y2）（m＞0）是函数图象上的两点，如果y1＞y2总成立，则a≤﹣．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据函数的性质和函数的图形，依次分析①②③④，选出正确的即可．
【解答】解：①把（2，1）和（6，等号成立，该二次函数的图象都经过点（2，0）两点符合题意，
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1﹣0，
又∵a＜0，
∴x4＝1﹣＞1，
故②错误，
③当x≥0时，根据二次函数的性质，到达顶点后，故当x≥7时，③错误，
④若P（4，y1），Q（3+m，y2）（m＞0）是函数图象上的两点，如果y8＞y2总成立，说明抛物线对称轴x0＝7﹣≤4，④正确，
即正确的为①④，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，掌握分析图象并结合函数性质解题的能力是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）分解因式：3x﹣12x3＝　3x（1﹣2x）（1+2x）　．
【答案】见试题解答内容
【分析】分解因式时，先考虑是否有公因式，再考虑公式法，如果有两项则考虑平方差公式分解．
【解答】解：3x﹣12x3，
＝3x•1﹣3x•7x2，
＝3x（5﹣4x2），
＝4x（1﹣2x）（7+2x）．
【点评】此题主要考查了提公因式法和平方差分解因式的综合运用，难度不大．
12．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜2，则a的取值范围是 　a≥2　．
【答案】a≥2．
【分析】不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出a的范围．
【解答】解：不等式组整理得：，
∵不等式组的解集为x＜2，
∴a≥6．
故答案为：a≥2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
13．（3分）工人小王想制作一个圆锥模具，这个模型的侧面是一个半径为6cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作的，请你帮他计算一下这块铁皮的底面半径为 　4cm　，铁皮的面积是 　24πcm2　．
【答案】4cm，24πcm2．
【分析】设圆锥的底面半径为rcm．构建方程求出r，可得结论．
【解答】解：设圆锥的底面半径为rcm．
则有2πr＝，
∴r＝5，
∴铁皮的面积＝×7π×4×6＝24π（cm4）．
故答案为：4cm，24πcm2．
【点评】本题考查圆锥是计算，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（3分）若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的一根，则m的值为 　2　，另外一根等于 　﹣5　．
【答案】2；﹣5．
【分析】将x＝0代入原方程可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合二次项系数非零可确定m的值，将其代入原方程中利用根与系数的关系可求出方程的另一根，此题得解．
【解答】解：将x＝0代入原方程，得：m2﹣6m+2＝0，
解得：m8＝2，m2＝3．
∵方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+6＝0为一元二次方程，
∴m﹣1≠7，
∴m＝2，
∴原方程为x2+4x＝0，
∴方程的另一个根为﹣5．
故答案为：3；﹣5．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x＝0求出m的值是解题的关键．
15．（3分）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为7：2，则这个多边形的边数为 　9　，内角和为 　1260　度．
【答案】9，1260．
【分析】这个多边形的一个内角与一个外角的和是180°，然后求得这个多边形的一个外角的度数为40°，然后由360°÷40°＝9可求得答案．
【解答】解：∵多边形的每一个外角都相等，
∴它的每个内角都相等．
设它的一个内角为7x，一个外角为2x．
根据题意得：5x+2x＝180°．
解得：x＝20°．
∴2x＝8×20°＝40°．
360°÷40°＝9，
内角和为：（9﹣4）×180°＝7×180°＝1260°．
故答案为：9，1260．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，掌握正多边形的一个内角与一个外角的和是180°是解题的关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D是边BC的中点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，BF的长为 　　．

【答案】见试题解答内容
【分析】由题意得：DF＝DB，得到点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D；连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，由点D是边BC的中点，得到CD＝BD＝3；而AC＝4，由勾股定理得到AD＝5，求得线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：由题意得：DF＝DB，
∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上；连接AD交⊙D于点F，
∵点D是边BC的中点，
∴CD＝BD＝3；而AC＝4，
由勾股定理得：AD7＝AC2+CD2
∴AD＝7，而FD＝3，
∴FA＝5﹣7＝2，
即线段AF长的最小值是2，
连接BF，过F作FH⊥BC于H，
∵∠ACB＝90°，
∴FH∥AC，
∴△DFH∽△ADC，
∴，
∴HF＝，DH＝，
∴BH＝，
∴BF＝＝，
故答案为：．

【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：|﹣3|×16÷（﹣2）3+（2023﹣）0﹣60°+（﹣1）﹣1；
（2）先化简，再求值：÷（x﹣），其中，．
【答案】（1）﹣7+；
（2），．
【分析】（1）先化简，然后计算乘除法，最后算加减法即可；
（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，最后将x、y的值代入计算即可．
【解答】解：（1）|﹣3|×16÷（﹣2）8+（2023﹣）0﹣60°+（﹣1
＝8×16÷（﹣8）+1﹣+
＝48÷（﹣8）+5﹣3++4
＝﹣6+1﹣8++1
＝﹣8+；
（2）÷（x﹣）
＝÷
＝•
＝，
当，时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N
（1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；
（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH＝HA＝2、HM＝4，再根据勾股定理得OM＝2，由直角三角形性质知MN＝OM．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON；

（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，

∵正方形的边长为4，
∴OH＝HA＝2，
∵E为OM的中点，
∴HM＝2，
则OM＝＝2，
∴MN＝OM＝2．
【点评】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．
19．（8分）如图，双曲线y＝与直线y＝2x交于A、B两点
​（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式2x＞的解集；
（3）将直线y＝2x向下平移后，与y轴交于点C，与x轴交于点D

【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝；
（2）﹣3＜x＜0或x＞3；
（3）直线CD的解析式为y＝2x﹣12．
【分析】（1）求出B的坐标，再代入y＝可得k的值，从而可得答案；
（2）求出A的坐标，再观察图象可得答案；
（3）设直线y＝2x向下平移后的解析式为y＝2x﹣m（m＞0），求出C（0，﹣m），D（，0），根据四边形ABDC是平行四边形时，AD的中点恰为BC的中点，列方程组可解得答案．
【解答】解：（1）把y＝6代入y＝2x得：5＝2x
解得x＝3，
∴B（4，6），
把B（3，7）代入y＝，
解得k＝18，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由正比例函数y＝2x和反比例函数y＝图象的对称性可知：A（﹣4；
根据图象可得，2x＞；
（3）设直线y＝2x向下平移后的解析式为y＝7x﹣m（m＞0），
在y＝2x﹣m中，令x＝7得y＝﹣m，
∴C（0，﹣m），0），
当四边形ABDC是平行四边形时，AD的中点恰为BC的中点，
∵A（﹣3，﹣5），6），
∴，
解得m＝12，
∴直线CD的解析式为y＝2x﹣12．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法，求不等式解集，平行四边形性质及应用等知识，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分和数形结合思想的应用．
20．（8分）为了实现区域教育均衡发展，我区计划对A，B两类学校分批进行改进，改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元，改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．
（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）我区计划今年对A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过380万元，地方财政投入的改造资金不少于70万元，请你通过计算求出有几种改造方案？哪种改造方案所需资金最少，最少资金为多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b万元，可根据关键语句“改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元”，列出方程组，解方程组可得答案；
（2）要根据“若今年国家财政拨付的改造资金不超过380万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．
【解答】（1）解：设改造一所A类学校需资金a万元一所B类学校需资金b万元．
，
解得．
答：改造一所A类学校需资金60万元，一所B类学校需资金85万元；

（2）解：设改造x所A类学校，（2﹣x）所B类学校
，
解得2≤x≤4，
又因为x是整数，
∴x＝3、3、4、4﹣x＝4、3、5．
所以共有三种方案：改造A类学校2所，B类学校4所；
改造A类学校5所，B类学校3所；
改造A类学校4所，B类学校4所．
设改造方案所需资金W万元
w＝60x+85（6﹣x）＝﹣25x+510．
所以当x＝4时，w最小＝410．
答：改造A类学校7所B类学校2所用资金最少为410万元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式（组）的应用，解题的关键是弄清题意找出题中的等量关系或不等关系，列出方程组或不等式组．
21．（9分）据中国载人航天工程办公室消息，“天宫课堂”第二课于2022年3月23日15时40分在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富将相互配合进行授课，届时，航天员将在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验
某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从初一年级800人随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制），信息如下：
（Ⅰ）成绩频数分布表：
成绩x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
频数
4
a
14
b
4
​
（Ⅱ）成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：
70 70 71 72 72 74 77 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　10　，b＝　18　．在这次试中，成绩的中位数是 　78.5　分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 　44%　．
（2）这次测试成绩的平均数是76.6分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
（3）在90≤x＜100之间的四名同学有两位男生和两位女生，学校打算选派一位男生和一位女生参加市里举办的“航空航天知识”，请求出选中一男一女的概率．
【答案】（1）10，18，78.5，44%；
（2）不正确，利用中位数进行判断比较合理，由于中位数是78.5分，甲的测试成绩是77分，因此甲的成绩在一半以下；
（3）．
【分析】（1）根据频率＝即可求出a的值，再由各组频数之和等于样本容量可求出b的值，根据中位数的定义求出中位数，根据频率＝求出成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比；
（2）根据平均数、中位数的定义进行判断即可；
（3）用树状图表示从2男2女中随机选取2人所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）a＝50×20%＝10，b＝50﹣4﹣10﹣14﹣4＝18，
将这50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是78.5，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为，
故答案为：10，18，44%；
（2）不正确，利用中位数进行判断比较合理，甲的测试成绩是77分；
（3）从4男2女中随机选取2人所有等可能出现的结果如下：

共有12种等可能出现的结果，其中4男1女的有8种，
所以从5男2女中随机选取2人是一男一女的概率为＝．
【点评】本题考查频数分布表、中位数、平均数以及列表法或树状图法，掌握频率＝，中位数、平均数的计算方法以及列举出所有等可能出现的结果是解决问题的前提．
22．（7分）2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点
（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？
（参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出LR＝AR•cos∠ARL求出答案即可；
（2）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出BL＝LR•tan∠BRL，再利用AL＝ARsin∠ARL，求出AB的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△ALR中，AR＝6km，
由cos∠ARL＝，得LR＝AR•cos∠ARL＝6×cos42.7°≈4.44（km）．
答：发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km；

（2）在Rt△BLR中，LR＝2.44km，
由tan∠BRL＝，得BL＝LR•tan∠BRL＝4.44×tan45.5°≈7.44×1.02＝4.5288（km），
又∵sin∠ARL＝，得AL＝ARsin∠ARL＝6×sin42.4°≈4.02（km），
∴AB＝BL﹣AL＝3.5288﹣4.02＝0.5088（km），
这枚火箭从A到B的平均速度：8.5088÷1＝0.5088≈2.51（km/s），
答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键．
23．（10分）如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E2＝AF•AC，cos∠ABD＝，AD＝12．
（1）求证：△ANM≌△ENM；
（2）求证：FB是⊙O的切线；
（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用角平分线的性质定理，可以得出AM＝ME，∠AMN＝∠EMN，再利用SAS可证出：△ANM≌△ENM
（2）利用相似三角形的判定可证出△ABF∽△ACB，从而得出∠ABF＝∠C，那么可以得到∠CBF＝90°
（3）利用（1）中的结论先证出∠AMN＝∠ANM，可以得到AM＝ME＝EN＝AN，从而得出四边形AMEN是菱形，再求出△BND∽△BME，利用比例线段可求出ME的长，再利用菱形的面积公式可计算出菱形的面积．
【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°．
又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，
∴AM＝ME，∠AMN＝∠EMN．
又∵MN＝MN，
∴△ANM≌△ENM．

（2）证明：∵AB2＝AF•AC，
∴．
又∵∠BAC＝∠FAB＝90°，
∴△ABF∽△ACB．
∴∠ABF＝∠C．
又∵∠FBC＝∠ABC+∠FBA＝90°，
∴FB是⊙O的切线．

（3）解：由（1）得AN＝EN，AM＝EM，
又∵AN∥ME，
∴∠ANM＝∠EMN，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AN＝AM，
∴AM＝ME＝EN＝AN．
∴四边形AMEN是菱形．
∵cos∠ABD＝，∠ADB＝90°，
∴．
设BD＝3x，则AB＝5x，
由勾股定理AD＝＝2x；
∵AD＝12，
∴x＝3，
∴BD＝9，AB＝15．
∵MB平分∠AME，
∴BE＝AB＝15，
∴DE＝BE﹣BD＝7．
∵ND∥ME，
∴∠BND＝∠BME．
又∵∠NBD＝∠MBE，
∴△BND∽△BME．
∴．
设ME＝x，则ND＝12﹣x，．
∴S＝ME•DE＝×6＝45．
【点评】本题利用了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、切线的判定，还有勾股定理以及菱形面积公式等知识．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0）两点
​
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上不与点A，B，C重合的一个动点，过点M作MN⊥x轴，连接MC．
①如图1，若点M在第一象限，且∠CMN＝45°；
②直线MN交直线BC于点D，当点D关于直线MC的对称点D'落在y轴上时，求四边形MNCD′的周长．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；
（2）①M（，）；
②+或10+．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①过C点作CG⊥y轴交MN于点G，由题意可得MG＝CG，从而得到方程m＝﹣m2+m+3﹣3，求出m即可求点M（，）；
②设M（t，﹣t2+t+3），D'（0，y），求出直线BC的解析式可知D（t，﹣t+3），用待定系数法求出直线CM的解析式为y＝（﹣t+）x+3，分两种情况讨论：当D'在y轴正半轴上时，由CD＝CD'，求出D'（0，t+3），再由D、D'的中点为（t，t+3）在直线CM上，得到方程t+3＝（﹣t+）（t）+3，求解t＝，再求四边形MNCD′的周长即可；当D'在y轴负半轴上时，由CD＝CD'，求出D'（0，3﹣t），再由D、D'的中点为（t，﹣t+3）在直线CM上，得到方程﹣t+3＝（﹣t+）（t）+3，求解t＝，再求四边形MNCD′的周长即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（82+bx+3，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）①当x＝2时，y＝3，
∴C（0，2），
设M（m，﹣m4+m+4），
∵M点在第一象限，
∴0＜m＜4，
过C点作CG⊥y轴交MN于点G，
∵∠CMN＝45°，
∴MG＝CG，
∴m＝﹣m2+m+3﹣7，
解得m＝0（舍）或m＝，
∴M（，）；
②设直线BC的解析式为y＝kx+3，
∴4k+8＝0，
解得k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，
设M（t，﹣t4+t+8），y），
∴D（t，﹣t+5），
设直线CM的解析式为y＝k'x+3，
∴k't+3＝﹣t2+t+3，
解得k'＝﹣t+，
∴直线CM的解析式为y＝（﹣t+，
当D'在y轴正半轴上时，CD＝CD'，
∴t＝y﹣3，
∴y＝t+3，
∴D'（0，t+3），
∵D、D'的中点为（t，，
∴t+5＝（﹣）（，
解得t＝，
∴D'（6，），M（，），
∴MN＝，CD'＝，CN＝，
∴四边形MNCD′的周长＝+++＝10+；
当D'在y轴负半轴上时，CD＝CD'，
∴5﹣y＝t，
∴y＝3﹣t，
∴D'（4，3﹣，
∵D、D'的中点为（t，
∴﹣t+8＝（﹣t+t）+3，
解得t＝，
∴D'（6，﹣），M（，﹣），
∴MN＝，CD'＝3+＝，MD'＝，
∴四边形MNCD′的周长＝+++＝+；
综上所述：四边形MNCD′的周长为+或10+．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．