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2022-2023学年河南省周口市郸城县九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2022-2023学年河南省周口市郸城县九年级（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省周口市郸城县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的
1．（3分）计算的结果为（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
2．（3分）一元二次方程x2+x＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判断是否有实数根
3．（3分）如图，AC与BD相交于点O，DC∥AB，若，则AC的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
4．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．2+ B．4＝4 C．＝15 D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边AC的中点，连接BD（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）一个不透明的口袋里装有大小、形状都相同的5块奶糖、3块酥心糖和2块水果糖，将这些糖搅拌均匀后，现从中任意取出1块糖（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若x＝﹣1是方程x2+2x﹣a＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
8．（3分）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜；②沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），那么凉亭AB的高为（ ）
A．6.3米 B．6.4米 C．6.5米 D．6.6米
9．（3分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的位置如图所示，其中点B的坐标为（1，1），同时扩大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1（即OB1＝2OB），第2次将菱形OA1B1C1绕着点O逆时针再旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA2B2C2（即OB2＝2OB1），第3次将菱形OA2B2C2绕着点O逆时针再旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA3B3C3（即OB3＝2OB2）…，依次类推，则点B2023的坐标为（ ）
A．（22023，﹣22023） B．（﹣22023，﹣22023）
C．（﹣22023，22023） D．（22023，22023）
10．（3分）某校安装红外线体温检测仪（如图①），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图②），已知最大探测角∠OBC＝60°，该设备的安装高度OC为2.5米，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个使二次根式有意义的整数x是 ．
12．（3分）三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣10x+24＝0的根，则该三角形的周长为 ．
13．（3分）如图所示的是一个能自由转动的正八边形转盘，这个转盘被两条直线分成形状相同、面积相等的四部分，且分别标有﹣4，0，2四个数字，指针的位置固定不动，当每次转盘停止后，记录指针指向的数字（当指针指向分割线时，重转） ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC沿着CB方向向右平移到达△DEF的位置，AB与DE交于点C，GE＝3，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）CD为△ABC的高，∠ACB＝90°，点E在边AB上，CD＝3，AB＝10．则BE的长为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：（x﹣1）2+x2﹣1＝0．
17．（9分）如图，小明收集了四张古代数学著作图片（大小、形状及背面完全相同）：“周髀算经”“几何原本”“海岛算经”“数学的发现”，放在桌子上搅匀．
（1）若小明随机抽取一张，则小明抽取的著作图片是“海岛算经”的概率是 ．
（2）小明和他的爸爸玩游戏：小明先随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到的两张著作图片中含有“数学的发现”，否则爸爸只能给小明购买其中一部数学著作，请用列表或画树状图的方法（四部数学著作依次记为A，B，C，D）．
18．（9分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4），C（2，2）
（1）△ABC的面积是 ．
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且位似比为2：1，此时点C1的坐标是 ．
19．（9分）动感单车是一种新型的运动器械，是经过科学地实验设计，它不仅不劳损腰部，图②是它的侧面示意图，△DEB为主车架，点A，B，E在一条直线上，AC∥PQ，点G在线段PQ上，GF∥AE．
（1）求证：△BED∽△FGH．
（2）已知BE的长为90cm，∠FGH＝70°，当AB的长度调节至30cm时（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
20．（9分）请阅读下列材料：
形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，ab＝n，即，那么便有（a＞b）．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，
由于4+3＝7，4×3＝12，即，
所以．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：＝ ．
（2）化简：（请写出计算过程）．
21．（9分）某网店直接从某产地购进了河南特产——新镇红枣和永城枣干，进价和销售价如下表：
新镇红枣
永城枣干
进价/（元/斤）
4
6
销售价/（元/斤）
8
10
（1）该网店第一次用620元直接购进这两种河南特产共130斤，问两种河南特产各购进多少斤？若全部售出，共获得多少利润？
（2）在国庆期间，网店计划把永城枣干调价销售，若按原价销售，经调查发现，每降价1元，为了给顾客优惠，将销售价定为每斤多少元时
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
23．（10分）综合与实践
在综合实践课上，老师让同学们“以等腰三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动．
阅读材料：如图1，若C是线段AB上一点，且，则C称为线段AB的黄金分制点，把称为黄金比．
问题解决：（1）证明背景材料中结论的正确性．（已知C是线段AB上一点，且，求证：．）
操作发现：（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC沿着DE，使点B，C都恰好与点A重合，然后展开铺平．小明发现，线段CD与线段BC满足关系式
深入探究：（3）在（2）中的条件下，已知在△ABC中，直接写出DF的长为 ．
2022-2023学年河南省周口市郸城县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的
1．（3分）计算的结果为（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
【答案】B
【分析】根据（）2＝a计算即可．
【解答】解：（﹣）2＝8，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，熟记（）2＝a（a≥0）是解题的关键．
2．（3分）一元二次方程x2+x＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判断是否有实数根
【答案】A
【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝12﹣2×1×0＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（3分）如图，AC与BD相交于点O，DC∥AB，若，则AC的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质可以得到＝，由此即可求解．
【解答】解：∵AC与BD相交于点O，DC∥AB，
∴＝，
∵，CO＝3，
∴＝，
∴AO＝6，
∴AC＝AO+OC＝6+2＝14．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，容易出错的是比例线段的对应关系．
4．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．2+ B．4＝4 C．＝15 D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
【解答】解：2与不能合并，不符合题意；
5﹣＝4，不符合题意；
×＝，故C错误；
÷＝，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边AC的中点，连接BD（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线段的中点定义可得DC＝1，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理求出DB的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵D是边AC的中点，AC＝2，
∴DC＝AC＝1，
∵∠C＝90°，BC＝2，
∴DB＝＝＝，
∴cos∠BDC＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（3分）一个不透明的口袋里装有大小、形状都相同的5块奶糖、3块酥心糖和2块水果糖，将这些糖搅拌均匀后，现从中任意取出1块糖（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵一个不透明的口袋里装有大小、形状都相同的5块奶糖，
∴将这些糖搅拌均匀后，现从中任意取出1块糖＝．
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）若x＝﹣1是方程x2+2x﹣a＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
【答案】D
【分析】把x＝﹣1代入方程得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：∵x＝﹣1是方程x6+2x﹣a＝0的一个根，
∴，
∴a＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．（3分）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜；②沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），那么凉亭AB的高为（ ）
A．6.3米 B．6.4米 C．6.5米 D．6.6米
【答案】B
【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【解答】解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，
则△ABE∽△CDE，
则＝，即＝，
解得：AB＝6.4．
故树高为6.4米．
故选：B．
【点评】此题考查的是相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似是解题关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的位置如图所示，其中点B的坐标为（1，1），同时扩大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1（即OB1＝2OB），第2次将菱形OA1B1C1绕着点O逆时针再旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA2B2C2（即OB2＝2OB1），第3次将菱形OA2B2C2绕着点O逆时针再旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA3B3C3（即OB3＝2OB2）…，依次类推，则点B2023的坐标为（ ）
A．（22023，﹣22023） B．（﹣22023，﹣22023）
C．（﹣22023，22023） D．（22023，22023）
【答案】A
【分析】由题意得B1的坐标为（﹣2，2），同理B2的坐标为（﹣4，﹣4），即（﹣22，﹣22），B3的坐标为（8，﹣8），即（23，﹣23），B4的坐标为（16，16），即（24，24），……，
再由2023÷4＝505……3，即可得出结论．
【解答】解：∵点B的坐标为（1，1），同时扩大为原来的2倍得到菱形OA1B1C4（即OB1＝2OB），
∴B7的坐标为（﹣2，2），
同理：B4的坐标为（﹣4，﹣4）4，﹣22），
B4的坐标为（8，﹣8）2，﹣23），
B8的坐标为（16，16）4，27），
……，
∵2023÷4＝505……3，
∴点B2023的坐标为（42023，﹣22023），
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质以及规律型等知识，找出点Bn的坐标规律是解题的关键．
10．（3分）某校安装红外线体温检测仪（如图①），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图②），已知最大探测角∠OBC＝60°，该设备的安装高度OC为2.5米，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得：∠OCA＝90°，然后在Rt△OCB中，利用锐角三角函数的定义求出OB的长，再利用三角形的外角性质证明OB＝AB，即可解答．
【解答】解：由题意得：∠OCA＝90°，
在Rt△OCB中，∠OBC＝60°，
∴OB＝＝＝（米），
∵∠OBC是△OBA的一个外角，
∴∠AOB＝∠OBC﹣∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝∠OAC＝30°，
∴OB＝AB＝米，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个使二次根式有意义的整数x是 7（答案不唯一） ．
【答案】7（答案不唯一）．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣5≥0，
解得x≥5，
故答案为：7（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
12．（3分）三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣10x+24＝0的根，则该三角形的周长为 9 ．
【答案】9．
【分析】首先从方程x2﹣10x+24＝0中，确定第三边的边长为4或6；其次考查2，3，4或2，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【解答】解：由方程x2﹣10x+24＝0，得：
解得x＝6或x＝6，
当第三边是6时，6+3＜6，应舍去；
当第三边是5时，三角形的周长为2+4+2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三边关系．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应舍去．
13．（3分）如图所示的是一个能自由转动的正八边形转盘，这个转盘被两条直线分成形状相同、面积相等的四部分，且分别标有﹣4，0，2四个数字，指针的位置固定不动，当每次转盘停止后，记录指针指向的数字（当指针指向分割线时，重转） ．
【答案】．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
0
﹣1
4
﹣4
0
（5，0）
（﹣1，2）
（2，0）
（﹣8，0）
﹣1
（2，﹣1）
（﹣1，﹣8）
（2，﹣1）
（﹣8，﹣1）
2
（7，2）
（﹣1，7）
（2，2）
（﹣7，2）
﹣4
（3，﹣4）
（﹣1，﹣2）
（2，﹣4）
（﹣6，﹣4）
由表知，共有16种等可能结果，
所以两次指针指向的数字都是负数的概率为＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果；列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC沿着CB方向向右平移到达△DEF的位置，AB与DE交于点C，GE＝3，则阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出CE的长，然后根据阴影部分是梯形和梯形的面积公式，即可计算出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，cosA＝，
∴∠A＝60°，∠ABC＝30°，
∵AC＝3，
∴BC＝＝4，
∵GE＝3，∠GEB＝90°，
∴BE＝＝＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝，
∴阴影部分的面积为：＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，求出CE的长．
15．（3分）CD为△ABC的高，∠ACB＝90°，点E在边AB上，CD＝3，AB＝10．则BE的长为 4或6 ．
【答案】4或6．
【分析】如图，设AD＝x，则DB＝10﹣x．利用相似三角形的性质求出x，分两种情形分别求解即可．
【解答】解：如图，设AD＝x．
∵CD⊥AB，
∵∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴CD2＝AD•DB，
∴32＝x（10﹣x），
解得，x＝1或9，
当x＝8时，AD＝1，
∵∠CED＝45°，
∴CD＝DE＝3，
∴EB＝DB﹣DE＝7﹣3＝6，
当x＝2时，AD＝9，此时点E在AD上．
综上所述，BE的值为4或2．
故答案为：4或6．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
三、解答题（本题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：（x﹣1）2+x2﹣1＝0．
【答案】（1）；
（2）x1＝0，x2＝1．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，然后再合并同类二次根式便可；
（2）根据解一元二次方程的一般步骤进行解答便可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）（x﹣1）2+（x﹣1）（x+1）＝4，
（x﹣1）（x﹣1+x+2）＝0，
2x＝5或x﹣1＝0，
∴x8＝0，x2＝7．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，熟记混合运算的顺序与运算法则，解一元二次方程的一般步骤是解题的关键所在．
17．（9分）如图，小明收集了四张古代数学著作图片（大小、形状及背面完全相同）：“周髀算经”“几何原本”“海岛算经”“数学的发现”，放在桌子上搅匀．
（1）若小明随机抽取一张，则小明抽取的著作图片是“海岛算经”的概率是 ．
（2）小明和他的爸爸玩游戏：小明先随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到的两张著作图片中含有“数学的发现”，否则爸爸只能给小明购买其中一部数学著作，请用列表或画树状图的方法（四部数学著作依次记为A，B，C，D）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的情况，其中爸爸能给小明购买其中两部数学著作有6种情况，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若小明随机抽取一张，则小明抽取的著作图片是“海岛算经”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中爸爸能给小明购买其中两部数学著作有6种情况，
∴爸爸能给小明购买其中两部数学著作的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（9分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4），C（2，2）
（1）△ABC的面积是 ．
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且位似比为2：1，此时点C1的坐标是 （1，0） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A，C的对应点A1，C1即可．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝2×3﹣×1×8﹣×1×3＝．
故答案为：．
（2）如图，出△A1BC2即为所求，C1（1，3）．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，三角形的面积，解题的关键是掌握位似变换的性质，学会用割补法求三角形面积．
19．（9分）动感单车是一种新型的运动器械，是经过科学地实验设计，它不仅不劳损腰部，图②是它的侧面示意图，△DEB为主车架，点A，B，E在一条直线上，AC∥PQ，点G在线段PQ上，GF∥AE．
（1）求证：△BED∽△FGH．
（2）已知BE的长为90cm，∠FGH＝70°，当AB的长度调节至30cm时（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
【答案】（1）详见解答；
（2）112.8cm．
【分析】（1）根据平行线的性质，得出同位角、内错角相等，再根据三角形相似的判定方法进行判断即可；
（2）通过作垂线，构造直角三角形，根据直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵AC∥DE，AC∥PQ，
∴PQ∥DE，
∴∠GHF＝∠EDB，
又∵GF∥AE，
∴∠GFH＝∠DBE，
∴△BED∽△FGH；
（2）解：如图，过点A作AM⊥DE于点M．
∵△GFH∽△EBD，
∴∠E＝∠FGH＝70°．
在Rt△EAM中，sinE＝，
即sin70°＝，
∴AM≈120×0.94
＝112.8cm，
答：点A到DE的距离约为112.2cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
20．（9分）请阅读下列材料：
形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，ab＝n，即，那么便有（a＞b）．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，
由于4+3＝7，4×3＝12，即，
所以．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：＝ ﹣ ．
（2）化简：（请写出计算过程）．
【答案】（1）﹣；
（2）2﹣3．
【分析】（1）利用完全平方公式化简得出答案；
（2）利用完全平方公式以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：（1）＝＝；
故答案为：﹣；
（2）首先把化为，n＝108，
∵9+12＝21，9×12＝108，即，
∴．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
21．（9分）某网店直接从某产地购进了河南特产——新镇红枣和永城枣干，进价和销售价如下表：
新镇红枣
永城枣干
进价/（元/斤）
4
6
销售价/（元/斤）
8
10
（1）该网店第一次用620元直接购进这两种河南特产共130斤，问两种河南特产各购进多少斤？若全部售出，共获得多少利润？
（2）在国庆期间，网店计划把永城枣干调价销售，若按原价销售，经调查发现，每降价1元，为了给顾客优惠，将销售价定为每斤多少元时
【答案】（1）购进新镇红枣80斤，永城枣干50斤，共获得利润520元；
（2）将销售价定为每斤9元时，能使永城枣干平均每天的销售利润为330元．
【分析】（1）设购进新镇红枣x斤，购进永城枣干y斤．由题意：该网店第一次用620元直接购进这两种河南特产共130斤，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题；
（2）设永城枣干的售价定为a元，则每斤的销售利润为（a﹣6）元，由题意：使永城枣干平均每天的销售利润为330元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设购进新镇红枣x斤，购进永城枣干y斤．
根据题意得：，
解得：，
共获得利润＝（8﹣4）×80+（10﹣6）×50＝320+200＝520（元），
答：购进新镇红枣80斤，永城枣干50斤；
（2）设永城枣干的售价定为a元，则每斤的销售利润为（a﹣4）元，
平均每天可售出100+10×（10﹣a）＝（200﹣10a）（斤），
根据题意得：（a﹣6）（200﹣10a）＝330，
整理得：a2﹣26a+153＝3，
解得：a1＝9，a8＝17．
∵要给顾客优惠，
∴a＝17不符合题意舍去，
∴a＝9．
答：将销售价定为每斤9元时，能使永城枣干平均每天的销售利润为330元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
【答案】（1）13；
（2）证明见解析．
【分析】（1）取BD的中点P，连接EP、FP，由三角形中位线定理得PE∥AB，且PE＝5，PF∥CD，且PF＝12，再证∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得PE∥AB，且，PF∥CD，且，再证∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）解：如图，取BD的中点P、FP，
∵E，F分别是AD，AB＝10，
∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，且，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在Rt△EPF中，由勾股定理得：，
即EF的长为13；
（2）证明：由（1）可知，PE是△ABD的中位线，
∴PE∥AB，且，PF∥CD，且，
∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴，
∴AB4+CD2＝4EF2．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理以及平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解题的关键．
23．（10分）综合与实践
在综合实践课上，老师让同学们“以等腰三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动．
阅读材料：如图1，若C是线段AB上一点，且，则C称为线段AB的黄金分制点，把称为黄金比．
问题解决：（1）证明背景材料中结论的正确性．（已知C是线段AB上一点，且，求证：．）
操作发现：（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC沿着DE，使点B，C都恰好与点A重合，然后展开铺平．小明发现，线段CD与线段BC满足关系式
深入探究：（3）在（2）中的条件下，已知在△ABC中，直接写出DF的长为 ．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）．
【分析】（1）设AB＝a，AC＝x，则BC＝a﹣x，由，得AC2＝AB•BC，所以x2＝a（a﹣x），则符合题意的x值为a，即可求得＝；
（2）由折叠得∠DAB＝∠B＝36°，∠FAC＝∠C＝36°，则∠DAB＝∠C，即可证明△DBA∽△ABC，得＝，再证明AB＝AC＝CD，则＝，于是得到＝；
（3）由＝，BC＝，求得BF＝CD＝BC＝1，则DF＝BF+CD﹣BC＝，于是得到问题的答案．
【解答】（1）证明：如图1，设AB＝a，则BC＝a﹣x，
∵，
∴AC2＝AB•BC，
∴x7＝a（a﹣x），
整理得x2+ax﹣a2＝5，
解关于x的方程得x1＝a，x2＝a（不符合题意，
∴AC＝a，
∴＝＝．
（2）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝＝36°，
由折叠得∠DAB＝∠B＝36°，∠FAC＝∠C＝36°，
∴∠DAB＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△DBA∽△ABC，
∴＝，
∵∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝108°﹣36°＝72°，∠CDA＝∠DAB+∠B＝36°+36°＝72°，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴CD＝AC，
∴AB＝CD，
∴＝，
由（1）得＝．
（3）解：∵∠BAF＝∠BAC﹣∠FAC＝108°﹣36°＝72°，∠BFA＝∠FAC+∠C＝36°+36°＝72°，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BF＝AB＝CD，
∵＝，BC＝，
∴BF＝CD＝BC＝×，
∴DF＝BF+CD﹣BC＝1+1﹣＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查一元二次方程的解法、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、二次根据式的化简等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
2022-2023学年河南省周口市郸城县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的
1．（3分）计算的结果为（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
2．（3分）一元二次方程x2+x＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判断是否有实数根
3．（3分）如图，AC与BD相交于点O，DC∥AB，若，则AC的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
4．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．2+ B．4＝4 C．＝15 D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边AC的中点，连接BD（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）一个不透明的口袋里装有大小、形状都相同的5块奶糖、3块酥心糖和2块水果糖，将这些糖搅拌均匀后，现从中任意取出1块糖（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若x＝﹣1是方程x2+2x﹣a＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
8．（3分）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜；②沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），那么凉亭AB的高为（ ）
A．6.3米 B．6.4米 C．6.5米 D．6.6米
9．（3分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的位置如图所示，其中点B的坐标为（1，1），同时扩大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1（即OB1＝2OB），第2次将菱形OA1B1C1绕着点O逆时针再旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA2B2C2（即OB2＝2OB1），第3次将菱形OA2B2C2绕着点O逆时针再旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA3B3C3（即OB3＝2OB2）…，依次类推，则点B2023的坐标为（ ）
A．（22023，﹣22023） B．（﹣22023，﹣22023）
C．（﹣22023，22023） D．（22023，22023）
10．（3分）某校安装红外线体温检测仪（如图①），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图②），已知最大探测角∠OBC＝60°，该设备的安装高度OC为2.5米，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个使二次根式有意义的整数x是 ．
12．（3分）三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣10x+24＝0的根，则该三角形的周长为 ．
13．（3分）如图所示的是一个能自由转动的正八边形转盘，这个转盘被两条直线分成形状相同、面积相等的四部分，且分别标有﹣4，0，2四个数字，指针的位置固定不动，当每次转盘停止后，记录指针指向的数字（当指针指向分割线时，重转） ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC沿着CB方向向右平移到达△DEF的位置，AB与DE交于点C，GE＝3，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）CD为△ABC的高，∠ACB＝90°，点E在边AB上，CD＝3，AB＝10．则BE的长为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：（x﹣1）2+x2﹣1＝0．
17．（9分）如图，小明收集了四张古代数学著作图片（大小、形状及背面完全相同）：“周髀算经”“几何原本”“海岛算经”“数学的发现”，放在桌子上搅匀．
（1）若小明随机抽取一张，则小明抽取的著作图片是“海岛算经”的概率是 ．
（2）小明和他的爸爸玩游戏：小明先随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到的两张著作图片中含有“数学的发现”，否则爸爸只能给小明购买其中一部数学著作，请用列表或画树状图的方法（四部数学著作依次记为A，B，C，D）．
18．（9分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4），C（2，2）
（1）△ABC的面积是 ．
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且位似比为2：1，此时点C1的坐标是 ．
19．（9分）动感单车是一种新型的运动器械，是经过科学地实验设计，它不仅不劳损腰部，图②是它的侧面示意图，△DEB为主车架，点A，B，E在一条直线上，AC∥PQ，点G在线段PQ上，GF∥AE．
（1）求证：△BED∽△FGH．
（2）已知BE的长为90cm，∠FGH＝70°，当AB的长度调节至30cm时（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
20．（9分）请阅读下列材料：
形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，ab＝n，即，那么便有（a＞b）．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，
由于4+3＝7，4×3＝12，即，
所以．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：＝ ．
（2）化简：（请写出计算过程）．
21．（9分）某网店直接从某产地购进了河南特产——新镇红枣和永城枣干，进价和销售价如下表：
新镇红枣
永城枣干
进价/（元/斤）
4
6
销售价/（元/斤）
8
10
（1）该网店第一次用620元直接购进这两种河南特产共130斤，问两种河南特产各购进多少斤？若全部售出，共获得多少利润？
（2）在国庆期间，网店计划把永城枣干调价销售，若按原价销售，经调查发现，每降价1元，为了给顾客优惠，将销售价定为每斤多少元时
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
23．（10分）综合与实践
在综合实践课上，老师让同学们“以等腰三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动．
阅读材料：如图1，若C是线段AB上一点，且，则C称为线段AB的黄金分制点，把称为黄金比．
问题解决：（1）证明背景材料中结论的正确性．（已知C是线段AB上一点，且，求证：．）
操作发现：（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC沿着DE，使点B，C都恰好与点A重合，然后展开铺平．小明发现，线段CD与线段BC满足关系式
深入探究：（3）在（2）中的条件下，已知在△ABC中，直接写出DF的长为 ．
2022-2023学年河南省周口市郸城县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的
1．（3分）计算的结果为（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
【答案】B
【分析】根据（）2＝a计算即可．
【解答】解：（﹣）2＝8，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，熟记（）2＝a（a≥0）是解题的关键．
2．（3分）一元二次方程x2+x＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判断是否有实数根
【答案】A
【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝12﹣2×1×0＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（3分）如图，AC与BD相交于点O，DC∥AB，若，则AC的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质可以得到＝，由此即可求解．
【解答】解：∵AC与BD相交于点O，DC∥AB，
∴＝，
∵，CO＝3，
∴＝，
∴AO＝6，
∴AC＝AO+OC＝6+2＝14．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，容易出错的是比例线段的对应关系．
4．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．2+ B．4＝4 C．＝15 D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
【解答】解：2与不能合并，不符合题意；
5﹣＝4，不符合题意；
×＝，故C错误；
÷＝，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边AC的中点，连接BD（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线段的中点定义可得DC＝1，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理求出DB的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵D是边AC的中点，AC＝2，
∴DC＝AC＝1，
∵∠C＝90°，BC＝2，
∴DB＝＝＝，
∴cos∠BDC＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（3分）一个不透明的口袋里装有大小、形状都相同的5块奶糖、3块酥心糖和2块水果糖，将这些糖搅拌均匀后，现从中任意取出1块糖（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵一个不透明的口袋里装有大小、形状都相同的5块奶糖，
∴将这些糖搅拌均匀后，现从中任意取出1块糖＝．
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）若x＝﹣1是方程x2+2x﹣a＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
【答案】D
【分析】把x＝﹣1代入方程得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：∵x＝﹣1是方程x6+2x﹣a＝0的一个根，
∴，
∴a＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．（3分）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜；②沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），那么凉亭AB的高为（ ）
A．6.3米 B．6.4米 C．6.5米 D．6.6米
【答案】B
【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【解答】解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，
则△ABE∽△CDE，
则＝，即＝，
解得：AB＝6.4．
故树高为6.4米．
故选：B．
【点评】此题考查的是相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似是解题关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的位置如图所示，其中点B的坐标为（1，1），同时扩大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1（即OB1＝2OB），第2次将菱形OA1B1C1绕着点O逆时针再旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA2B2C2（即OB2＝2OB1），第3次将菱形OA2B2C2绕着点O逆时针再旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA3B3C3（即OB3＝2OB2）…，依次类推，则点B2023的坐标为（ ）
A．（22023，﹣22023） B．（﹣22023，﹣22023）
C．（﹣22023，22023） D．（22023，22023）
【答案】A
【分析】由题意得B1的坐标为（﹣2，2），同理B2的坐标为（﹣4，﹣4），即（﹣22，﹣22），B3的坐标为（8，﹣8），即（23，﹣23），B4的坐标为（16，16），即（24，24），……，
再由2023÷4＝505……3，即可得出结论．
【解答】解：∵点B的坐标为（1，1），同时扩大为原来的2倍得到菱形OA1B1C4（即OB1＝2OB），
∴B7的坐标为（﹣2，2），
同理：B4的坐标为（﹣4，﹣4）4，﹣22），
B4的坐标为（8，﹣8）2，﹣23），
B8的坐标为（16，16）4，27），
……，
∵2023÷4＝505……3，
∴点B2023的坐标为（42023，﹣22023），
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质以及规律型等知识，找出点Bn的坐标规律是解题的关键．
10．（3分）某校安装红外线体温检测仪（如图①），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图②），已知最大探测角∠OBC＝60°，该设备的安装高度OC为2.5米，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得：∠OCA＝90°，然后在Rt△OCB中，利用锐角三角函数的定义求出OB的长，再利用三角形的外角性质证明OB＝AB，即可解答．
【解答】解：由题意得：∠OCA＝90°，
在Rt△OCB中，∠OBC＝60°，
∴OB＝＝＝（米），
∵∠OBC是△OBA的一个外角，
∴∠AOB＝∠OBC﹣∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝∠OAC＝30°，
∴OB＝AB＝米，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个使二次根式有意义的整数x是 7（答案不唯一） ．
【答案】7（答案不唯一）．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣5≥0，
解得x≥5，
故答案为：7（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
12．（3分）三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣10x+24＝0的根，则该三角形的周长为 9 ．
【答案】9．
【分析】首先从方程x2﹣10x+24＝0中，确定第三边的边长为4或6；其次考查2，3，4或2，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【解答】解：由方程x2﹣10x+24＝0，得：
解得x＝6或x＝6，
当第三边是6时，6+3＜6，应舍去；
当第三边是5时，三角形的周长为2+4+2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三边关系．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应舍去．
13．（3分）如图所示的是一个能自由转动的正八边形转盘，这个转盘被两条直线分成形状相同、面积相等的四部分，且分别标有﹣4，0，2四个数字，指针的位置固定不动，当每次转盘停止后，记录指针指向的数字（当指针指向分割线时，重转） ．
【答案】．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
0
﹣1
4
﹣4
0
（5，0）
（﹣1，2）
（2，0）
（﹣8，0）
﹣1
（2，﹣1）
（﹣1，﹣8）
（2，﹣1）
（﹣8，﹣1）
2
（7，2）
（﹣1，7）
（2，2）
（﹣7，2）
﹣4
（3，﹣4）
（﹣1，﹣2）
（2，﹣4）
（﹣6，﹣4）
由表知，共有16种等可能结果，
所以两次指针指向的数字都是负数的概率为＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果；列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC沿着CB方向向右平移到达△DEF的位置，AB与DE交于点C，GE＝3，则阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出CE的长，然后根据阴影部分是梯形和梯形的面积公式，即可计算出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，cosA＝，
∴∠A＝60°，∠ABC＝30°，
∵AC＝3，
∴BC＝＝4，
∵GE＝3，∠GEB＝90°，
∴BE＝＝＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝，
∴阴影部分的面积为：＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，求出CE的长．
15．（3分）CD为△ABC的高，∠ACB＝90°，点E在边AB上，CD＝3，AB＝10．则BE的长为 4或6 ．
【答案】4或6．
【分析】如图，设AD＝x，则DB＝10﹣x．利用相似三角形的性质求出x，分两种情形分别求解即可．
【解答】解：如图，设AD＝x．
∵CD⊥AB，
∵∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴CD2＝AD•DB，
∴32＝x（10﹣x），
解得，x＝1或9，
当x＝8时，AD＝1，
∵∠CED＝45°，
∴CD＝DE＝3，
∴EB＝DB﹣DE＝7﹣3＝6，
当x＝2时，AD＝9，此时点E在AD上．
综上所述，BE的值为4或2．
故答案为：4或6．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
三、解答题（本题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）解方程：（x﹣1）2+x2﹣1＝0．
【答案】（1）；
（2）x1＝0，x2＝1．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，然后再合并同类二次根式便可；
（2）根据解一元二次方程的一般步骤进行解答便可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）（x﹣1）2+（x﹣1）（x+1）＝4，
（x﹣1）（x﹣1+x+2）＝0，
2x＝5或x﹣1＝0，
∴x8＝0，x2＝7．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，熟记混合运算的顺序与运算法则，解一元二次方程的一般步骤是解题的关键所在．
17．（9分）如图，小明收集了四张古代数学著作图片（大小、形状及背面完全相同）：“周髀算经”“几何原本”“海岛算经”“数学的发现”，放在桌子上搅匀．
（1）若小明随机抽取一张，则小明抽取的著作图片是“海岛算经”的概率是 ．
（2）小明和他的爸爸玩游戏：小明先随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到的两张著作图片中含有“数学的发现”，否则爸爸只能给小明购买其中一部数学著作，请用列表或画树状图的方法（四部数学著作依次记为A，B，C，D）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的情况，其中爸爸能给小明购买其中两部数学著作有6种情况，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若小明随机抽取一张，则小明抽取的著作图片是“海岛算经”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中爸爸能给小明购买其中两部数学著作有6种情况，
∴爸爸能给小明购买其中两部数学著作的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（9分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4），C（2，2）
（1）△ABC的面积是 ．
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且位似比为2：1，此时点C1的坐标是 （1，0） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A，C的对应点A1，C1即可．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝2×3﹣×1×8﹣×1×3＝．
故答案为：．
（2）如图，出△A1BC2即为所求，C1（1，3）．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，三角形的面积，解题的关键是掌握位似变换的性质，学会用割补法求三角形面积．
19．（9分）动感单车是一种新型的运动器械，是经过科学地实验设计，它不仅不劳损腰部，图②是它的侧面示意图，△DEB为主车架，点A，B，E在一条直线上，AC∥PQ，点G在线段PQ上，GF∥AE．
（1）求证：△BED∽△FGH．
（2）已知BE的长为90cm，∠FGH＝70°，当AB的长度调节至30cm时（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
【答案】（1）详见解答；
（2）112.8cm．
【分析】（1）根据平行线的性质，得出同位角、内错角相等，再根据三角形相似的判定方法进行判断即可；
（2）通过作垂线，构造直角三角形，根据直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵AC∥DE，AC∥PQ，
∴PQ∥DE，
∴∠GHF＝∠EDB，
又∵GF∥AE，
∴∠GFH＝∠DBE，
∴△BED∽△FGH；
（2）解：如图，过点A作AM⊥DE于点M．
∵△GFH∽△EBD，
∴∠E＝∠FGH＝70°．
在Rt△EAM中，sinE＝，
即sin70°＝，
∴AM≈120×0.94
＝112.8cm，
答：点A到DE的距离约为112.2cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
20．（9分）请阅读下列材料：
形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，ab＝n，即，那么便有（a＞b）．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，
由于4+3＝7，4×3＝12，即，
所以．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：＝ ﹣ ．
（2）化简：（请写出计算过程）．
【答案】（1）﹣；
（2）2﹣3．
【分析】（1）利用完全平方公式化简得出答案；
（2）利用完全平方公式以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：（1）＝＝；
故答案为：﹣；
（2）首先把化为，n＝108，
∵9+12＝21，9×12＝108，即，
∴．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
21．（9分）某网店直接从某产地购进了河南特产——新镇红枣和永城枣干，进价和销售价如下表：
新镇红枣
永城枣干
进价/（元/斤）
4
6
销售价/（元/斤）
8
10
（1）该网店第一次用620元直接购进这两种河南特产共130斤，问两种河南特产各购进多少斤？若全部售出，共获得多少利润？
（2）在国庆期间，网店计划把永城枣干调价销售，若按原价销售，经调查发现，每降价1元，为了给顾客优惠，将销售价定为每斤多少元时
【答案】（1）购进新镇红枣80斤，永城枣干50斤，共获得利润520元；
（2）将销售价定为每斤9元时，能使永城枣干平均每天的销售利润为330元．
【分析】（1）设购进新镇红枣x斤，购进永城枣干y斤．由题意：该网店第一次用620元直接购进这两种河南特产共130斤，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题；
（2）设永城枣干的售价定为a元，则每斤的销售利润为（a﹣6）元，由题意：使永城枣干平均每天的销售利润为330元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设购进新镇红枣x斤，购进永城枣干y斤．
根据题意得：，
解得：，
共获得利润＝（8﹣4）×80+（10﹣6）×50＝320+200＝520（元），
答：购进新镇红枣80斤，永城枣干50斤；
（2）设永城枣干的售价定为a元，则每斤的销售利润为（a﹣4）元，
平均每天可售出100+10×（10﹣a）＝（200﹣10a）（斤），
根据题意得：（a﹣6）（200﹣10a）＝330，
整理得：a2﹣26a+153＝3，
解得：a1＝9，a8＝17．
∵要给顾客优惠，
∴a＝17不符合题意舍去，
∴a＝9．
答：将销售价定为每斤9元时，能使永城枣干平均每天的销售利润为330元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
【答案】（1）13；
（2）证明见解析．
【分析】（1）取BD的中点P，连接EP、FP，由三角形中位线定理得PE∥AB，且PE＝5，PF∥CD，且PF＝12，再证∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得PE∥AB，且，PF∥CD，且，再证∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）解：如图，取BD的中点P、FP，
∵E，F分别是AD，AB＝10，
∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，且，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在Rt△EPF中，由勾股定理得：，
即EF的长为13；
（2）证明：由（1）可知，PE是△ABD的中位线，
∴PE∥AB，且，PF∥CD，且，
∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴，
∴AB4+CD2＝4EF2．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理以及平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解题的关键．
23．（10分）综合与实践
在综合实践课上，老师让同学们“以等腰三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动．
阅读材料：如图1，若C是线段AB上一点，且，则C称为线段AB的黄金分制点，把称为黄金比．
问题解决：（1）证明背景材料中结论的正确性．（已知C是线段AB上一点，且，求证：．）
操作发现：（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC沿着DE，使点B，C都恰好与点A重合，然后展开铺平．小明发现，线段CD与线段BC满足关系式
深入探究：（3）在（2）中的条件下，已知在△ABC中，直接写出DF的长为 ．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）．
【分析】（1）设AB＝a，AC＝x，则BC＝a﹣x，由，得AC2＝AB•BC，所以x2＝a（a﹣x），则符合题意的x值为a，即可求得＝；
（2）由折叠得∠DAB＝∠B＝36°，∠FAC＝∠C＝36°，则∠DAB＝∠C，即可证明△DBA∽△ABC，得＝，再证明AB＝AC＝CD，则＝，于是得到＝；
（3）由＝，BC＝，求得BF＝CD＝BC＝1，则DF＝BF+CD﹣BC＝，于是得到问题的答案．
【解答】（1）证明：如图1，设AB＝a，则BC＝a﹣x，
∵，
∴AC2＝AB•BC，
∴x7＝a（a﹣x），
整理得x2+ax﹣a2＝5，
解关于x的方程得x1＝a，x2＝a（不符合题意，
∴AC＝a，
∴＝＝．
（2）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝＝36°，
由折叠得∠DAB＝∠B＝36°，∠FAC＝∠C＝36°，
∴∠DAB＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△DBA∽△ABC，
∴＝，
∵∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝108°﹣36°＝72°，∠CDA＝∠DAB+∠B＝36°+36°＝72°，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴CD＝AC，
∴AB＝CD，
∴＝，
由（1）得＝．
（3）解：∵∠BAF＝∠BAC﹣∠FAC＝108°﹣36°＝72°，∠BFA＝∠FAC+∠C＝36°+36°＝72°，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BF＝AB＝CD，
∵＝，BC＝，
∴BF＝CD＝BC＝×，
∴DF＝BF+CD﹣BC＝1+1﹣＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查一元二次方程的解法、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、二次根据式的化简等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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