2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二下学期5月月考数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二下学期5月月考数学（理）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二下学期5月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程组即可求解.【详解】联立，可得，故.故选:D.2．记为等差数列的前n项和，若，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列求和公式结合等差数列的性质可求得结果.【详解】由题意可得.故选：C.3．已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】由点，，可得，又由，可得，根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，且，可得，则，所以点的轨迹方程为.故选：C.4．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ）A．“”是方程“表示椭圆的充要条件”，B．已知表示直线，，表示两个不同的平面，若，，则，C．命题“，使得”的否定是：“，均有” ，D．函数的图像必过．【答案】D【分析】根据椭圆的定义可判断A,根据空间中两平面的关系可判断B,由特称命题的否定为全称命题可判断C，由对数型函数的定点问题可判断D.【详解】若表示椭圆，则需要满足，解得且，故“”不是方程“表示椭圆的充要条件”，故A错误，对于B,若，，则，可能相交也可能平行，故B错误，对于C,命题“，使得”的否定是：“，均有” ，故C错误，对于D,函数的图像必过,故D正确，故选：D5．设，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】令求出，再令求出，即可得解.【详解】因为，令，可得，令，可得，所以.故选：A6．函数的图像是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】根据题意，令，可以排除AD，然后求导得，即可排除C.【详解】因为，令，则，即，解得，或，解得，所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，所以排除AD；当时，，则，当时，，所以当时，，函数单调递增，所以B正确；故选：B.7．某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有（　　）种  A．36 B．48 C．54 D．72【答案】D【分析】由分步计数原理结合分类讨论即可.【详解】  如图所示，依顺序，A区域可种4种颜色，B区域可种3种颜色，C区域可种2种颜色，①D区域若与B区域同色，则E有两种颜色可选；②D区域若不与B区域同色，则只有1种颜色可选，E也只有1种颜色可选，故有种方案.故选：D8．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（    ）A．－1 B．－2 C．1 D．2【答案】B【分析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】根据常用函数的导数可知：，，则两函数在点和处的切线分别为：，化简得由题意可得：，化简得.故选：B9．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意，可得外接圆的半径及面积，即可得，代入体积公式，结合题意，可求得R值，代入球的表面积公式，即可得答案.【详解】设球O的半径为R，的外心为，由题意得外接圆半径为，面积为，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面积为.故选:A.    10．设函数的导函数为，对任意都有成立，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意构造辅助函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案．【详解】由，则，设  ，则在上单调递减.则，即 ，即.故选：A.11．若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】可设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，设，，利用椭圆和双曲线的定义可得，，再利用垂直关系可得，联立即可得解.【详解】设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，设，，所以，，平方和相加可得， 由则，所以，所以，即，，即.故选：C12．函数，．若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得，构造得到，令，结合，分和，利用导数求得单调区间和最小值，即可求解.【详解】根据题意，可得，则，由，可得，即，令（其中且）且，①当时，可得，所以，不满足题意，舍去；②当时，，且，令，解得或（舍去），当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，也为最小值，所以，即，所以的最小值为.故选：C. 二、填空题13．若复数（i为虚数单位），z的共轭复数记为，则______．【答案】【分析】根据共轭复数定义可得，再由复数的乘法运算可得.【详解】由共轭复数的概念可知，复数的共轭复数；所以.故答案为：14．已知，求的常数项系数为______．【答案】【分析】利用微积分基本定理求出，再利用二项式展开式的通项计算可得.【详解】因为，所以，展开式的通项为，令，解得，所以，故展开式的常数项为.故答案为：15．设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______．【答案】10【分析】根据直线过定点可得的坐标，进而利用两直线垂直可得勾股定理，结合不等式即可求解最值.【详解】由得，故,由得,由于直线与直线互相垂直，所以,故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10故答案为：1016．在如图棱长为的正方体中，点、在棱、上，且，在棱上，为过、、三点的平面，则下列说法正确的是__________．①存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；②当时，面与正方体的截面面积为；③只有一个点，使面与正方体的截面为四边形；④当面交棱于点，则、、三条直线交于一点．【答案】①②④【解析】让从开始逐渐向运动变化，观察所得的截面，从而可得正确的选项．【详解】由题设可得为所在棱的中点.当时，如图（1），直线 分别交与，连接并延长于，连接交于，则与正方体的截面为五边形，故①正确.当，如图（2），此时与正方体的截面为正六边形，其边长为，其面积为，故B正确.当重合或重合时，如图（3），与正方体的截面均为四边形，故③错误.如图（4），在平面内，设，则，而平面，故平面，同理平面，故平面平面即、、三条直线交于一点.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：平面的性质有3个公理及其推理，注意各个公理的作用，其中公理2可用来证明三点共线或三线共点，公理3及其推理可用来证明点共面或线共面，作截面图时用利用公理2来处理. 三、解答题17．2022年1月初，某市爆发了一种新型呼吸道传染疾病，该疾病具有较强的传染性，为了尽快控制住该传染病引起的疫情，该市疫情监控机构统计了1月12日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表：1月x日12131415新增病例y人26292831(1)疫情监控机构对题中的统计数据作线性回归分析，可以根据表格中的数据建立y关于x的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；(2)预测到哪一天新增病例人数将超过36人⋅附：对于一组组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．参考数据：．【答案】(1)y＝1.4x＋9.6；(2)1月19日新增病例人数将超过36人． 【分析】（1）由所给数据，利用最小二乘法结论求即可；（2）根据回归方程预测即可.【详解】（1），，，∴，，∴回归直线方程为y＝1.4x＋9.6.（2）由1.4x＋9.6＞36，，解得,所以1月19日新增病例人数将超过36人．18．在中，内角所对的边长分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，再由余弦定理求得，即可求解；（2）由，得到，且，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得,又由余弦定理得，因为，所以.（2）解：由，可得，所以，且，则，因为，所以，结合正弦函数图象，可得，，所以的取值范围为．19．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点.(1)若平面，证明：是的中点.(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【分析】（1）利用线面平行的性质定理得到，且O为的中点，则E是的中点；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，列出与相关的方程，解出即可.【详解】（1）证明：如图，连接交于点O，连接，因为是正方形，所以O是的中点，又平面，平面，平面平面，所以，因为O为的中点，所以E是的中点.（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.设（），设，，,，则，则，，，由且，可知是平面的一个法向量.设为平面的法向量，则，即，取，，，则，，解得，即.20．在同一平面直角坐标系中，曲线按照伸缩变换后得到曲线方程(1)求曲线的方程；(2)若过点的直线与椭圆交于相异的两点，且，求实数的取值范围【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据伸缩变换的规律可知将代入曲线中，即可得曲线的方程；（2）设出两点坐标为，，再利用即可得出，将代入椭圆方程联立可解得，再由椭圆性质即可求得实数的取值范围为.【详解】（1）由伸缩变换可知；将代入得，即曲线的方程为．（2）如下图所示：  设，，由得，从而，，即，因为点A在椭圆上，故，即，又在椭圆上，即，解得，由椭圆定义知，故，解得，又由题设知，故，所以实数的取值范围是．21．已知函数．（1）若在上，最小值为0，求；（2）若在上有两个零点，证明：．【答案】（1）   （2）证明见解析【分析】（1）函数变形为，则最小值为0，求导数，由求得极小值点，从而也是最小值点，然后可得．（2）先对的零点进行处理，则由，得，取对数得，同理，消去参数，得，不等式就变为，即，设，不妨设，则，这样问题转化为证明则，令，利用导数求得函数的单调性后可证结论成立．【详解】（1）的最小值为0，即最小值为0，，时，，递减，时，，递增，∴仅当时，取最小值，即；（2），故可知：，两边取对数得，同理，，两式相减并整理得：，欲证，只须证：，不妨设，原式化为：，令，则，令，，故为增函数，，故原式得证．【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，用导数证明不等式．解题关键是问题的转化．第一小题中直接对求导，求最小值不方便，但变形为的最小值为0，即最小值为0，对求最小值就比较简单．第二题证明不等式，可能没法下手．因此对进行深入的认识，利用零点变形得，，消去参数得，从而题设不等式变为，这类不等式可通过设可转化为研究函数的单调性和最值．22．已知直线的参数方程为(为参数)，圆的极坐标方程为．(1)求圆的直角坐标方程；(2)设圆与直线交于点，若点的坐标为，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）两边同时乘以，根据互化公式可得结果；（2）将直线的参数方程化为标准形式，代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求出结果.【详解】（1）由，得，将，代入，得圆C的直角坐标方程为.（2）把参数方程化为标准形式：，代入得，设，是上述方程的两根，则有,,因此由t的几何意义可知．23．已知函数.(1)求的最小值；(2)若为正实数，且，证明不等式.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）将函数写成分段函数，结合函数图象求解即可；（2）解法一：根据基本不等式“1”的用法分析证明；解法二：利用柯西不等式直接证明即可.【详解】（1）由题知，其函数图象如图所示，所以，.（2）由（1）可知，则，解法一：利用基本不等式：，当且仅当时取等号.所以，.解法二：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号.所以，.