2022-2023学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高二下学期第二次月考数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高二下学期第二次月考数学（理）试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知点的极坐标为，则点的直角坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由,将点的极坐标代入求解即可.
【详解】由,代入可得，
即点的直角坐标为,
故选：A.
2．已知离散型随机变量X的分布列如下：
则其数学期望等于（ ）
A．1.5B．0.6C．D．2.4
【答案】D
【分析】利用离散型随机变量的性质及期望公式即可求解.
【详解】依题意知，，解得.
所以.
故选：D.
3．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有2次通过的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用n次独立重复试验，恰有k次发生的概率公式计算作答.
【详解】依题意，连续测试3次，其中恰有2次通过的概率为.
故选：B
4．已知离散型随机变量的分布列如下表：
若离散型随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解.
【详解】由分布列的性质可知： 解得 ，
由 ， 等价于 ，由表可知 ；
故选：C.
5．某人用字母v，r，y各1个和2个字母e拼写英语单词“every”，那么他写错这个英语单词的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用排列组合与古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】对e，v，e，r，y5个字母排列也就是将e，v，e，r，y放入5个确定的位置，
先从5个位置中选出2个位置放2个e，有种方法，再将剩下3个字母全排放入其他两个位置，有种方法，
因此共有种方法，而写对的可能只有1种，
所以他写错这个英语单词的情况有种，
所以他写错这个英语单词的概率为.
故选：D.
6．Pissn分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Pissn分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Pissn分布的均值．当二项分布的n很大而p很小时，Pissn分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合题意，，此时Pissn分布满足二项分布的近似条件，再计算二项分布的均值为Pissn分布的均值，再代入公式先求不致死的概率，再用对立事件的概率和为1计算即可
【详解】由题， ，，此时Pissn分布满足二项分布的近似的条件，此时，故不致死的概率为，故致死的概率为
故选：A
7．以下四个命题，其中正确的个数有（ ）
①线性回归方程必过；
②在线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，变量平均增加0.2个单位；
③由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀；
④在一个列联表中，由计算得，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系（其中）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据独立性检验即可判断CD，根据线性回归直线方程的含义即可判断AB.
【详解】对于①,线性回归方程必过样本中心，所以①正确，
对于②，线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，变量平均减少0.2个单位，故②错误，
对于③，由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指不出错的概率为，并不是某人数学成绩优秀，他有99%的可能物理优秀；故③错误，
对于④，由知，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系，故④正确，
故选：B
8．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．240B．360C．420D．960
【答案】C
【解析】可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.
【详解】由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法.
设5种颜色为1，2，3，4，5，当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，
若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；
若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.
可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有（种）.
故选：C
【点睛】本题考查分类加法原理、分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类讨论的思想、逻辑推理能力，是一道中档题.
9．从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】标有，，，的张卡片中，标奇数的有张，标偶数的有张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ,选C.
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
10．展开式中的系数为（ ）
A．10B．24C．32D．56
【答案】D
【解析】先将式子化成，再分别求两项各自的的系数，再相加，即可得答案.
【详解】∵，
∴展开式中含的项为，
展开式中含的项，
故的系数为.
故选：D.
【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
11．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
（附：，则，，）
A．2718B．3413C．4773D．4987
【答案】D
【分析】结合原则以及正态分布的对称性求得正确答案.
【详解】依题意，，所以，，，
由于，
所以落入阴影部分的点的个数的估计值为：
.
故选：D
12．将正偶数排成如图所示的数阵，若第行第列位置上的数记为，则该表中的应记为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】归纳数表的规律得到前行有个数，进而得到是第行的第个数求解.
【详解】解：根据题意，由数表可得：前行有个数，前行有个数，前行有个数，前行有个数，
则前行有个数，前行有个数，
而该表中的是第个偶数，则该表中的是第行的第个数，即应记为．
故选：．
二、填空题
13．已知随机变量，若，则 ．
【答案】
【分析】由正态分布的性质求解即可．
【详解】随机变量，
则，
故答案为：
14．已知圆的极坐标方程为，则该圆的圆心到直线 的距离是 ．
【答案】
【详解】试题分析：将极坐标方程化为普通方程即，，所以圆心到直线的距离为
【解析】1.极坐标；2.点到直线的距离.
15．盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取两次，每次抽1个，已知第一次抽出的是合格品，则第二次抽出的也是合格品的概率是 ．
【答案】
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解．
【详解】设“第一次抽出的是合格品”为事件A，“第二次抽出的是合格品”为事件B，
则，，
所以，
故答案为：．
16．某学校新分配五名教师，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中老师C不分配到乙班的分配方案种数是 .
【答案】
【分析】利用先分组再分配及计数原理即可求解.
【详解】依题意知，分2步完成，第1步，将5名教师分为3组分2类，第1类，若分为的三组，有种分组方法，第2类，若分为的三组，有种分组方法，则共有种分组方法，第2步，将老师C所在的组安排在甲或丙班，剩下2组任意安排，有种安排方法，所以有种分配方案.
故答案为:.
三、解答题
17．甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响.
（Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.
【答案】（I）见解析；（II）.
【解析】（I）确定所有可能的取值，由二项分布概率公式可得每个取值对应的概率，由此得到分布列和数学期望；
（II）将事件分成“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况，结合（I）中所求概率，根据独立事件概率公式计算可得结果.
【详解】（I）所有可能的取值为
；；
；.
的分布列为
数学期望.
（II）由题意得：事件“甲比乙答对题目数恰好多”发生
即：“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求解、独立事件概率问题的求解；关键是能够明确随机变量服从于二项分布，进而利用二项分布概率公式求得每个取值所对应的概率，属于常考题型.
18．袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球．
（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出2个红球1个黑球的概率；
（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分的分布列和数学期望．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）实验为独立重复试验，可用独立重复试验的概率公式求解；
（2）由题中的无放回，先分析出的可能取值3、4、5、6，求分别对应的概率，写出分布列，再求期望.
【详解】（1）依题意得，看作3次独立重复试验，每次实验取出红球的概率为 ，取出黑球的概率为 ，设事件A=“取出2个红球1个黑球”，则
（2）的取值有4个：3、4、5、6，分布列为：


从而得分的数学期望为 .
【点睛】注意区分两问分别独立重复试验服从二项分布，以及超几何分布，并会求出概率和数学期望.
19．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图.

(1)从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?
(2)从（1）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)在区间与各抽取人，人.
(2)X的分布列见解析；.
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为和频数，样本容量，频率的关系，结合分层抽样的定义即可求解；
（2）利用（1）的结论及已知条件，求出随机变量的取值，利用古典概型的计算公式求出随机变量对应取值概率，进而得出X的分布列，再利用离散型随机变量的期望公式即可求解.
【详解】（1）由题意知之间的频率为.
在区间的人数为人，
在区间的人数为人，
在区间的人数为人，
根据分层抽样的方法知，在区间抽取的人数为人，
在区间抽取的人数为人.
（2）由（1）知，在区间与各抽取人，人，
X的可能取值为则
，
，
故X的分布列为：
.
20．某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：
(1)能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？
(2)以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为，求的分布列和期望．
附：，其中．
【答案】(1)没有
(2)分布列见解析，
【详解】解：（1）因为，
所以没有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关．
（2）由统计表得，女生参加环境保护的频率为，
故从女生中随机抽取1人，此人参加环境保护的概率为，
由题意知，，
则，．
的分布列为
故
21．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求；
(2)求事件“且乙获胜”的概率
【答案】(1)0.5
(2)0.15
【分析】（1）设双方平后的第个球甲获胜为事件，2，3，，根据互斥事件、独立事件、对立事件的概率公式能求出结果．
（2）根据互斥事件、独立事件、对立事件的概率公式能求出事件“且乙获胜”的概率．
【详解】（1）设双方平后的第个球甲获胜为事件，2，3，，
则
．
（2）设双方平后的第个球乙获胜为事件，2，3，，
且乙获胜）
．
22．某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：/袋），下面是近六个月每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表：
并计算得，，.
(1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入；
(2)求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到）；
(3)若样本相关系数，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性.你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性.
附：样本相关系数，.
【答案】(1)平均每袋出厂价格为（元），平均月销售量为（万袋），平均月销售收入为（万元）
(2)
(3)该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性
【分析】（1）由表格中数据和参考数据进行计算即可；
（2）将样本相关系数公式转化为，利用表中数据和参考数据进行计算即可；
（3）将（2）中样本相关系数的绝对值与进行比较即可.
【详解】（1）该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格为：
（元），
平均月销售量为（万袋），
平均月销售收入为（万元）.
（2）由已知，每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数为：
.
（3）由于每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数，所以该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性.
1
3
5
0.5
0.2
0
1
2
3
3
4
5
6
P
女生
男生
合计
环境保护
80
40
120
社会援助
40
40
80
合计
120
80
200
0.025
0.010
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
4
月份序号
每袋出厂价格
月销售量