2022-2023学年河南省商丘市第一高级中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河南省商丘市第一高级中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合、满足，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由条件求出集合、，然后即可得到答案.

【详解】因为，，

所以，，∴．

故选：D

【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.

2．命题：的否定是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定的改法即可得出结果.

【详解】由题意知，

命题：,

它的否定为：.

故选：A

3．已知是定义域为R的奇函数，时，，则（    ）

A．0 B．  C．  D．2

【答案】C

【分析】根据奇函数的性质即可求解.

【详解】 ，由于是定义域为R的奇函数，所以，

故选：C

4．下列函数中，值域是的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的值域以及复合函数值域的求法确定选项中函数的值域，从而得出结论.

【详解】选项A中，函数的值域为，故函数的值域为；

选项B中，函数的值域为，故函数的值域为；

选项C中，函数的值域为，故函数的值域为；

选项D中，函数的值域为，故函数的值域为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查利用基本初等函数的值域求复合函数的值域，难度不大.

5．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，

则有函数在区间上单调递减，因此，解得，

所以的取值范围是.

故选：D

6．已知为奇函数，则（    ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据奇函数的定义运算求解.

【详解】因为为奇函数，则，

又因为不恒为0，可得，即，

则，即，解得.

故选：D.

7．若则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用导数判断其单调性即可.

【详解】设,

则,所以在上单调递减.

因为,所以,即,

所以.

故选:A.

8．已知函数，则函数的零点的个数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数；

【详解】令．

①当时，，则函数在上单调递增，

由于，由零点存在定理可知，存在，使得；

②当时，，由，解得，．

作出函数，直线，，的图象如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有三个交点；

直线与函数的图象有两个交点；

直线与函数的图象有且只有一个交点．

综上所述，函数的零点个数为．

故选：D．

二、多选题

9．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】利用不等式的性质判断ABC，利用作差法判断D.

【详解】对于A：当时，，A成立；

对于B：当时，，B不成立；

对于C：当时，，即，C成立；

对于D：，，，

，即，D不成立.

故选：AC.

10．设，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若且，，则

【答案】ACD

【分析】利用不等式的基本性质、基本不等式、函数的单调性即可判断出结论．

【详解】解：若，则，所以，故A正确；

若，则，则，故B不正确；

若，则，故C正确；

设函数，则在上单调递增，若,则，且，，则，故D正确.

故选：ACD.

11．某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：℃），环境温度为（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系为，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（    ）（参考数据：）

A．函数关系也可作为这壶外水的冷却模型

B．当时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟

C．若，则

D．这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短

【答案】BCD

【分析】对A，利用指对互化即可判断A；对B，将数据代入公式即得到；对C，根据，解出值，再代入数据即可判断；对D，分别代入公式计算冷却时间，作差比价大小即可.

【详解】对A，由，得，

所以，整理得．A项错误；

对B，由题意可知． ，B项正确；

对C，由，得，即，则．C项正确；

对D，设这壶水从100℃冷却到70℃所需时间为分钟，则，

设这壶水从70℃冷却到40℃所需时间为分钟，

则，

因为，所以，D项正确．

故选：BCD．

12．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性．

【详解】对于，对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数；

对于，对于定义域内的任意，，当时，恒有，在定义域内是减函数；

对于A：，，，故不是奇函数，所以不是“理想函数”；

对于B：是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；

对于C：是奇函数，并且在上是增函数，所以不是“理想函数”；

对于D：

所以是奇函数；

根据二次函数的单调性，在，都是减函数，

且在处连续，所以在上是减函数，所以是“理想函数”．

故选：BD

三、填空题

13．已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是       ．

【答案】

【分析】依题意可得推得出，推不出，即可求出参数的取值范围；

【详解】解：因为是的充分不必要条件，所以推得出，推不出，

又或，，

所以，即；

故答案为：

14．若函数同时具有下列性质：①；②当时，.请写出的一个解析式           .

【答案】（答案不唯一）

【分析】由已知确定函数可为指数函数、增函数，随机写出一个即可.

【详解】因为，故指数函数满足运算，又当时，，故指数函数底数应大于1，函数可为：.

故答案为：

15．若，则实数的取值范围是        ．

【答案】

【分析】由幂函数的定义域与单调性即可解出不等式．

【详解】解：由幂函数的定义域为，

且满足，

∴函数为偶函数，

又由幂函数的性质，可得函数在单调递增，在单调递减，

又由，则满足 ，解得或且，

∴实数的取值范围，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和性质，考查根据函数的单调性解不等式，考查计算能力，属于基础题．

16．定义在R上的函数满足，，当时，，则函数有          个零点．

【答案】7

【分析】由题意可得的周期为4，画出的图象，由，得，所以将问题转化为的图象与交点的个数，由图象可得答案.

【详解】因为定义在R上的函数满足，

所以是以4为周期的周期函数，

因为当时，，

所以的图象如图所示，

由，得，

所以将问题转化为的图象与交点的个数，

因为，，

，，

所以的图象与的图象共有7个交点，

所以有7个零点，

故答案为：7

四、解答题

17．若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．

(1)求的解析式；

(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件列方程组来求得，也即求得.

（2）由分离常数，进而求得的取值范围.

【详解】（1）由为二次函数，可设

∵图象的对称轴为，最小值为-1，且，

∴，∴，

∴．

（2）∵，即在上恒成立，

又∵当时，有最小值0，

∴，

∴实数m的取值范围为．

18．设，.若，求a的取值范围.

【答案】，或

【解析】求解集合B，因为，得，讨论集合A的各种情况，代入即可求出的范围.

【详解】由，得.

由，得.于是，A有四种可能，

即，，，.

以下对A分类讨论：

（1）若，则，解得；

（2）若，则，解得.

此时可化为，

所以，这与是矛盾的；

（3）若，则由（2）可知，；

（4）若，则，解得.

综上可知，a的取值范围，或.

19．（1）求不等式的解集；

（2）求关于的不等式的解集，其中.

【答案】（1）或；（2）见解析

【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式，解不等式即可；

（2）分类讨论的范围解不等式即可.

【详解】（1）可化为，即，解得或，所以不等式的解集为或.

（2）当时，不等式的解集为，

当时，不等式可化为，不等式的解集为，

当时，不等式可化为，

当即时，不等式的解集为，

当即时，不等式的解集为或，

当即时，不等式的解集为或.

20．设为实数，已知，

（1）若函数，求的值；

（2）当时，求证：函数在上是单调递增函数；

（3）若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3）.

【分析】（1）直接把代入函数解析式，得到方程，求出的值；

（2）求出函数的解析式，用函数单调性的定义进行证明即可；

（3）分类讨论，把函数的解析式，转化为二次函数解析式、分式类型函数解析式形式，利用它们的单调性求出的取值范围.

【详解】（1）；

（2），当时，解析式可化简为：

，设是上任意两个不相等的实数，则有，

，

因为，，所以，因此有

，所以函数是上的递增函数；

（3）当时，而，所以，因为，所以有

在恒成立，设，对称轴为：，故在上是增函数，要想（*）恒成立，只需

该不等式恒成立，故；

当时，， 此时函数是单调递增函数，要想在上恒成立，只需这与矛盾，故不成立；

当时，，

当时，函数是单调递增函数，当时，由（2）可知函数是单调递增函数，所以函数在时，最小值为

要想在上恒成立，只需，而，所以，综上所述：的取值范围为：.

【点睛】本题考查了函数单调性的证明，考查了不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.

21．已知函数是偶函数.

(1)求的值；

(2)若函数的图象与的图象有且只有一个公共点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用函数为偶函数的性质，得，即这是恒等式，可得；（2）函数图象的交点转化为方程的解，题意说明方程只有一解，即有且只有一个实根，换元后得方程有且只有一个正实根，分类讨论一元二次方程根的情况可得的范围．

【小题1】由，，

，

∴；

【小题2】由题方程只有一解，

即有且只有一个实根，

令，则，

从而方程有且只有一个正实根，

当时，（舍去），

当时，若，则或，

但时，根，舍去.时，根为，符合题意．

若，则，解得，

从而所求的范围是.

22．已知函数和.

(1)若存在零点，求实数的取值范围；

(2)当函数和有相同的最小值时，求．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）讨论，利用导数与函数的单调性的关系判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定函数的零点情况，由此确定的取值范围；

（2）由（1）可得且，利用导数求函数的最小值，由条件可得，利用导数求方程的解即可.

【详解】（1）因为，所以，

①当时，，此时在单调递增，

所以在存在唯一零点，

所以在存在唯一零点；

②当时，，所以在无零点；

③当时，，，

此时在单调递减，单调递增，

所以 ，且 ，

若存在零点，则只需要即可，

所以，

由①②③可得，实数的取值范围；

（2）由（1）知，且.

函数的定义域为，导函数，

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故.

因为和有相同的最小值，

故，整理得到，其中，

设，则，

故为上的减函数，而，

故的唯一解为，故的解为.

综上，.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．