2022-2023学年广西南宁市第二中学高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年广西南宁市第二中学高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．设，已知集合，且，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题设可得，根据已知集合的并集结果即可求的取值范围.

【详解】由题设，，又，，

∴.

故选：D

2．复数＝

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：，故答案为A.

【解析】复数的四则运算.

3．若向量，的夹角为，且，，则为（    ）

A． B． C．12 D．4

【答案】B

【分析】由模长公式可得，代入已知数据计算可得.

【详解】因为向量与的夹角为，，，

所以.

故选：B

4．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，可知底面圆的半径，再求的底面圆的面积和圆锥的侧面积，即可求得该圆锥的表面积.

【详解】由于圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，

则圆锥底面圆的半径为，底面圆的面积为，

圆锥的表面积为.

故选：C.

5．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.

【详解】如图，从5个点中任取3个有

共种不同取法，

3点共线只有与共2种情况，

由古典概型的概率计算公式知，

取到3点共线的概率为.

故选：A

【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

6．已知函数的部分图象如图所示，且经过点，则（    ）

A．关于点对称

B．关于直线对称

C．为奇函数

D．为偶函数

【答案】D

【分析】根据图象求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，可得，

根据图形走势，可得，解得，

令，可得，所以，

由，所以A不正确；

由，可得不是函数的对称轴，所以B不正确；

由，此时函数为非奇非偶函数，所以C不正确；

由为偶函数，所以D正确.

故选：D .

7．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，求导得其单调性，即可得到，通过化简，可得，即可判断大小．

【详解】由，得.

令，则，

所以当时单调递增；

当时单调递减.

又，

又因为，所以

又，

所以

故选：C．

【点睛】本题关键之处在于如何通过化简找到相似结构，从而构造函数，求导即可．

8．为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据四个小球和容器的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到容器的半径.

【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示:

正视图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有，

俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到球心的距离与正视图中的相等， 设半球半径为R，已知小球半径r=1，∴ ，，，.

半球面形状的容器的容积是.

故选：B

二、多选题

9．若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的可能取值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】ACD

【分析】根据、图象分析最小时P的位置，利用导数几何意义求上斜率为1的切线，应用平行线距离公式求的最小值，逐项判断即可.

【详解】由题意，要使的最小，为平行于的直线与的切点，

令，可得，故切点为，

以为切点平行于的切线为，此时有，

则的可能取值为，1，.

故选：ACD

10．如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，点P为线段上的动点，则（    ）

A．两条异面直线和所成的角为

B．存在点P，使得平面

C．对任意点P，平面平面

D．点到直线的距离为4

【答案】BCD

【分析】根据异面直线所成角的概念结合正方体的性质可判断A，根据线面平行的判定定理可判断B，根据线面垂直的判定定理可得平面，然后根据线线垂直的判定定理可判断C，利用余弦定理结合条件可判断D.

【详解】对于A，由正方体的性质可知，两条异面直线和所成的角即为，所以A错误；

对于B，当点P与点重合时，由题可知，

所以，四边形为平行四边形，故，

又平面，平面，则平面，所以B正确；

对于C，连结，由于平面，平面，故，

又，故，故，即，故，

又相交，平面，故平面，又平面，故对任意点，平面平面，所以C正确；

对于D，由正方体的性质可得，，

所以，

所以，所以点到直线的距离，所以D正确．

故选：BCD．

11．已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ）

A．抛物线C的准线方程为

B．直线与C相切

C．若，则的最小值为4

D．若，则的周长的最小值为11

【答案】ABD

【分析】确定，，设，计算A正确，联立方程得到B正确，，C错误，过点作垂直于准线于，计算得到D正确，得到答案.

【详解】抛物线C：，即，，，设，

对选项A：抛物线C的准线方程为，正确；

对选项B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确；

对选项C：，时取等号，错误；

对选项D：过点作垂直于准线于， ，当共线时等号成立，正确.

故选：ABD

12．已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，恒成立，则（    ）

A．在上单调递增

B．的图象与x轴有2个交点

C．

D．不等式的解集为

【答案】BC

【分析】变换得到，函数单调递减，A错误，计算，B正确，根据结合奇偶性得到C正确，解不等式得到D错误，得到答案.

【详解】，两边同时除以得，

即，，则在上单调递减，A错误；

因为是定义域为的奇函数，且，所以在上单调递减，且，B正确.

由得，即，

即，C正确.

不等式的解集为，D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．在二项式的展开式中，的系数为          ．

【答案】.

【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.

【详解】结合二项式定理的通项公式有：，

令可得：，则的系数为：.

【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

14．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区的时间为       小时．

【答案】1

【分析】设地东北方向上存在点到的距离为30千米，，结合余弦定理得到，进而结合韦达定理即可求出，从而求出结果.

【详解】设地东北方向上存在点到的距离为30千米，，

在中，，

故，

化简得，设方程的两根为，则，，

所以，即图中千米，所以B城市处于危险区的时间为小时，

故答案为：1.

15．若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是      .

【答案】

【解析】求函数导数，研究其最大值取到的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值点的横坐标在区间内，由此可以得到关于参数a的不等式，解之求得实数a的取值范围.

【详解】由题意得：，

令解得；令解得或，

所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

故函数在处取到极大值2，

所以极大值必是区间上的最大值，

∴，

解得.检验满足题意

故答案为：.

16．如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左，右焦点，、分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一交点为，若，则直线的斜率为      .

【答案】

【分析】由求出，设，可得，从而，进而由，可求出.

【详解】由椭圆的对称性及得，

因为，所以，

设，则，即，

则，

因为，所以，所以，所以，

故.

故答案为：

四、解答题

17．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；

（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.

【详解】（1）由正弦定理可得：，

，

，.

（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式

由余弦定理得：，

即.

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为.

[方法二]：正弦化角（通性通法）

设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．

[方法三]：余弦与三角换元结合

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，

所以周长的最大值为．

【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；

方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.

方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.

18．已知数列的首项，且满足.

(1)求证：是等比数列；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明；

（2）先根据等比数列的通项公式可得，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解.

【详解】（1）因为，即，

则，

又因为，可得，

所以数列表示首项为，公比为的等比数列.

（2）由（1）知，所以.

所以

，

当为偶数时，可得；

当为奇数时，可得；

综上所述：.

19．如图，三棱柱中，侧面为矩形，且，为的中点，．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接与交于点，连接，则可得∥，再利用线面平行的判定定理可证得结论；

（2）由已知条件可证得两两垂直，所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后求出平面与平面的法向量，利用空间向量求解即可.

【详解】（1）证明：连接与交于点，连接，

因为四边形为平行四边形，所以点为的中点，

因为为的中点，所以∥，

因为平面，平面，所以平面；

（2）解：因为四边形为矩形，所以，

因为，，平面，

所以平面，

因为平面，所以，

所以，

因为，，，所以，

所以，所以两两垂直，

所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

因为，，，平面，

所以平面，所以为平面的一个法向量，

设为平面的法向量，

因为，

所以，令，则，

设平面与平面的夹角为（），则

，

即平面与平面的夹角的余弦值为.

20．甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．

(1)甲在每次挑战中，成功的概率都为．设为甲在3次挑战中成功的次数，求的分布列和数学期望；

(2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1；求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)0.4．

【分析】(1)由已知得，然后列出相应分布列即可.

(2)根据条件概率的计算公式，列出相应的计算公式，直接计算求解即可.

【详解】（1）由题意得，，则，其中，

则X的分布列为：

则.

（2）设事件为“乙在第i次挑战中成功”，其中．

设事件B为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则，

则

．

即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4．

21．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)过点且斜率不为0的直线与交于两点（与点不重合），直线分别与直线交于点，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题得，进而即得；

（2）设直线的方程为，联立双曲线方程，根据直线，的方程表示出结合韦达定理即得.

【详解】（1）由题意可知，

解得，

所以双曲线的方程为.

（2）设直线的方程为，代入中，

可得，设，

则.

直线的方程为，

令，得点的纵坐标为，

直线的方程为，

令，得点的纵坐标为，

因为，

所以，即.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．已知函数，.

(1)当时，若，证明：；

(2)当时，，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）首先不等式变形后，构造函数，利用导数证明，即可证明；

（2）首先构造函数，分，和三种情况讨论函数的单调性，讨论不等式，并得到的取值范围.

【详解】（1）当时，需证，只需证，

设，则，

当时，，所以在上单调递增，

所以，所以；

（2）因为，所以，

设，可得，

又，则，

若，，由（1）知，当时，；

当时，，

所以恒成立，符合题意；

若，，

当时，，不合题意；

若，令，

则，因为，所以，

所以在上单调递增，因为，又，

所以存在，，

当时，，在上单调递减，，不合题意；

综上，，即的取值范围是.

【点睛】方法点睛：证明不等式的题目常常通过等价变形转化为证明在定义域（或给定区间）上恒成立，通过构造函数，求不等式号左边的最值，进而得结果.