2022-2023学年广东省茂名市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年广东省茂名市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求得结合，结合阴影部分表示的集合为，即可求解.

【详解】由集合，

又由阴影部分表示的集合为.

故选：C.

2．已知复数，则（    ）

A． B．2 C． D．5

【答案】A

【分析】利用复数的除法法则和复数的减法法则，结合复数的模公式即可求解.

【详解】由题意知，，

所以，

所以.

故选：A.

3．已知是的中线，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用向量的线性运算求解.

【详解】.

故选：D.

4．现有上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为的圆台，则其体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由求得圆台的高，再根据圆台体积公式即可求解.

【详解】由，则圆台的高，

根据圆台体积公式得.

故选：B.

5．甲､乙､丙､丁4名志愿者参加创文巩卫志愿者活动，现有三个社区可供选择，每名志愿者只能选择其中一个社区，每个社区至少一名志愿者，则甲不在社区的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分配分组问题，结合排列组合以及分步分类即可求解个数.

【详解】4名志愿者分配到3个社区的方法共有种，

其中甲在社区的方法有两种情况，

若A社区分配2名志愿者，则从乙丙丁三人中选择1人连同甲一起去A社区，则有种情况，

若A社区只有甲这1名志愿者，则从乙丙丁中选择2人去BC两个社区其中之一，则共有种情况，

故甲不在社区一共有种，

故甲不在社区的概率为.

故选：C.

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用两角差的正弦公式及诱导公式求出，再由诱导公式及二倍角公式公式计算可得.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以.

故选：D.

7．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将分别变形为以3为底的对数及以4为底的对数，利用对数函数的单调性求解.

【详解】，

.

故选：A.

8．已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为，

设，则，可得，

又由点，

可得，

因为，所以，所以.

故选：A.

二、多选题

9．某地区国庆七天每天的最高气温分别是（单位），则（    ）

A．该组数据的极差为4 B．该组数据的众数为20

C．该组数据的中位数为20 D．该组数据的第80百分位数为23

【答案】AD

【分析】利用极差、众数、中位数和第百分位数的定义即可求解.

【详解】该组数据的极差为：，故A正确；

将该组数据从小到大的排列为：

所以该组数据的众数为20，22，故B 错误；

该组数据的中位数为22，故C错误；

由

所以该组数据的第80百分位数为从小到大的排列的第6个数据为23，故D正确.

故选：AD.

10．已知是定义在上的偶函数，且，当时，+1，则下列各选项正确的是（    ）

A．当时，

B．的周期为4

C．

D．的图象关于对称

【答案】AB

【分析】利用是定义在上的偶函数可判断A；利用得的周期可判断BC；利用特殊值可判断D.

【详解】是定义在上的偶函数，设，则，

，故A正确；

由得，的周期为4，故B正确；

，故C错误；

，故D错误.

故选：AB.

11．已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上任意一点，点为在上的射影，线段交轴于点为线段的中点，则（    ）

A．

B．直线与抛物线相切

C．点的轨迹方程为

D．可以是直角

【答案】ABC

【分析】分别应用抛物线定义，直线与抛物线位置关系的判定，求轨迹方程的方法，向量法判断垂直进行求解.

【详解】对于选项，设准线与轴交于点，由抛物线知原点为的中点，轴，

所以为线段的中点，由抛物线的定义知，所以，故正确；

对于B选项，由题意知，为线段的中点，从而设，则，

直线的方程：，

与抛物线方程联立可得：，

由代入左式整理得：，所以，

所以直线与抛物线相切，故B正确；

对于C选项，设点，则点，

而是抛物线上任意一点，于是得，即，

所以点的轨迹方程为，故C正确；

对于D选项，因点的轨迹方程为，则设，

令，有，

，

于是得为锐角，故错误.

故选：ABC.

12．已知，则（    ）

A．的极小值为

B．存在实数，使有4个不相等的实根

C．若在上恰有2个整数解，则

D．当时，函数的最小值为1

【答案】ACD

【分析】根据题意，利用导数研究函数的性质，即可画出其函数图像，即可判断A，换元令，由二次函数根的分布列出不等式，即可判断B，列出不等式求解，即可判断C，求导得到函数的极值，即可判断D.

【详解】

当时，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，的极小值为；

同理可得，当时，在上单调递增；在上单调递减，的极大值为的图像大致如图所示，由图可知正确；

令，则有两个实根，且，则令，

，所以无解，故B错误；

由，得，故C正确；

，则，由，知，

设，则在上单调递增，又，，

所以存在，使得，即，

所以当时，单调递减；当时，单调递增，

所以，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知数列的前项和为，且，则          .

【答案】

【分析】根据的关系即可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项即可求解.

【详解】因为，所以当时，，两式相减得，整理得，

即时，，又当时，，解得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.

故答案为:.

14．圆心在直线上，且过点的圆的标准方程为          .

【答案】

【分析】通过求圆心和半径来求得圆的标准方程.

【详解】直线的斜率为，线段的中点为，

线段的垂直平分线的方程为：，即，

联立，解得，即圆心坐标为，

半径，

所以所求圆的标准方程为：.

故答案为：.

15．的展开式中含的项的系数为150，则          .

【答案】

【分析】求出的展开式通项，然后利用含项的系数为150列方程求解.

【详解】展开式的通项为：展开式中的系数为.

故答案为：.

16．如图，在三棱锥中，和都是边长为2的正三角形，二面角为，当时，三棱锥的外接球表面积的范围为          .

【答案】

【分析】如图，取的中点，连接，则为二面角的平面角，设的外心分别为，在平面内过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，则为外接球的球心，从而表示出外接球半径，进而可求出球的表面积的范围.

【详解】如图，取的中点，连接，

因为和都是边长为2的正三角形，

所以，

所以为二面角的平面角，所以，

设的外心分别为，

在平面内过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，

则为外接球的球心，

因为是边长为2的正三角形，为的外心，

所以，，

，

表面积.

故答案为：.

四、解答题

17．在中，角所对的边分别为，其面积为为边上的中线.

(1)证明：；

(2)当时，求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】（1）方法一：对两边平方，再由余弦定理可得答案；方法二： 在和中，由余弦定理可得答案；

（2）在中，由余弦定理得，结合（1）再利用基本不等式可得答案.

【详解】（1）方法一：为边上中线，，

，

在中，由余弦定理得：，

，

，

.

方法二：为边上中线，

在中，，

在和中，由余弦定理得：

，

即，

，

即；

（2），

，

在中，由余弦定理得：

，

由（1）知：，

，

当且仅当时，取得最小值为2.

18．已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)设，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）设数列的公差为，且，然后由题意列方程组，求出，从而可求出通项公式；

（2）由（1）得，然后利用裂项相消法可求出，则，所以，从而可求出的取值范围.

【详解】（1）设数列的公差为，且，依题意得：

，

，

解得，

.

（2），

，

，

或.

19．2023年6月6日是第28个全国“爱眼日”，某市为了了解该市高二同学们的视力情况，对该高二学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了200名学生的体检表，得到如表所示的统计数据.

(1)估计全市高二学生视力的平均数和中位数（每组数据以区间的中点值为代表，结果精确到0.1；

(2)视频率为概率，从全市视力不低于4.8的学生中随机抽取3名学生，设这3名学生的视力不低于5.0的人数为，求的分布列和数学期望.

【答案】(1)平均数为4.6，中位数为4.5

(2)分布列见解析，1

【分析】（1）根据平均数和中位数的公式即可求出结果；

（2）根据题意可以判断，进而利用二项分布即可求出结果.

【详解】（1）设平均数为，则

，

设中位数为，则，

，

，

估计全市高二学生视力的平均数为4.6，中位数为4.5

（2）在视力不低于4.8的学生中，视力不低于5.0的

学生所占的比例为，

，

，

，

，

，

则的分布列如图所示

.

20．如图，在平面四边形中，为边长为2的正三角形，，点为的中点，沿将折起得到四棱锥，且.

(1)证明：；

(2)点为线段上的动点（不含端点），当平面与平面的夹角为时，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据三角形的边角关系可得线线垂直，进而根据线线垂直即可得线面垂直，即可求证，

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.

【详解】（1）为边长为2的正三角形，点为

中点，连接交于点，

  ，

，

，

又平面，

平面，

平面，

在底面中，，

所以,进而，

平面，

平面，

平面，

（2）由（1）可知，两两垂直，所以以为原点，分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

，

易得为平面的一个法向量，

设，

，

设平面的一个法向量为，则

，

取，则，

平面与平面的夹角为

，

，解得，

当平面与平面的夹角为时，.

21．已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为1.

(1)求该双曲线的方程；

(2)过点的动直线（存在斜率）与双曲线的右支交于两点，轴上是否存在一个异于点的定点，使得成立．若存在，请写出点的坐标，若不存在请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在定点

【分析】（1）根据条件列出关于的方程组求解即可；

（2）假设存在定点满足已知条件，故设，结合正弦定理得，则，当直线的斜率为0时，显然不符合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与双曲线联立，由直线与双曲线的右支交于两点，求得范围，然后结合韦达定理及求解即可.

【详解】（1）双曲线的渐近线为，点到渐近线的距离为1，

，解得，

双曲线的方程为.

（2）假设存在定点满足已知条件，故设，

，，

在和中，由正弦定理得

，及，

，及，

，

又，

，

直线与直线的倾斜角互补，，

当直线的斜率为0时，显然不符合题意；

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，

联立，得，

所以，

又因为直线与双曲线的右支交于两点，

，即，，

则，解得，

，

又，

，即，

，

即，解得，

存在定点，使得成立.

22．已知函数.

(1)当时，求在点处的切线方程；

(2)若有两个零点，求实数的取值范围，并证明：.

【答案】(1)

(2)，证明见解析

【分析】(1)先求出，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而可得切线方程；

(2)有两个零点，转化为即有两个实根，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值，进而得到的取值范围；先得到，妨设，令，则，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，进而可得结果．

【详解】（1）当时，，

，

，又，

在点处的切线方程为：.

（2）①，

令，则在上单调递增，

由，得，

有两个实根，

，

令，

，

当时，时，，

在上单调递增，在上单调递减，

，

在上的范围是，

在上的范围是，

，

，

由①可知，

，

，

不妨设，令，则，

，

，

令，

，

在单调递增，，

，

.

【点睛】方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：

（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；

（2）由点斜式求得切线方程.