2022-2023学年广东省梅州市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年广东省梅州市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求集合M，由题意可得图中阴影部分所表示的集合是，进而运算求解即可.

【详解】因为，

由题意可得图中阴影部分所表示的集合是，

可得，所以.

故选：B.

2．命题“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是（    ）

A．存在一个四边形，它的两条对角线不互相垂直

B．任意一个四边形，它的两条对角线互相垂直

C．任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直

D．有些四边形，它们的两条对角线不互相垂直

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定分析判断.

【详解】由题意可知：“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是“任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直”.

故选：C.

3．读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M.2 PCle4.0 NVMe协议的固态硬盘平均读取速度可达以上．某企业生产的该种固态硬盘读取速度（）服从正态分布．若，则可估计该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数为（    ）

A．100 B．200 C．300 D．400

【答案】B

【分析】利用正态分布的对称性进行求解，得到，从而求出生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数.

【详解】由正态分布的对称性可知：，

所以，

所以该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数为.

故选：B

4．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是.然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.

若在一次测量中，，横档的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意推得垂直平分，可得，于是解直角三角形可得的值，由二倍角正弦公式即可求得答案.

【详解】由题意知垂直平分，故，

在中，，则,

则，

而，故，

即太阳高度角的正弦值为，

故选：B

5．设是的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．有两个极值点 B．

C．为的极小值 D．有一个极大值

【答案】D

【分析】根据给定的图象，求出和的解集，再逐项判断作答.

【详解】令的图象与x轴最右边交点横坐标为，

观察图象知，由，得或，由，得或，

函数有3个极值点，A错误；

函数在上单调递增，，B错误；

显然2不是函数的极值点，则不为的极小值，C错误；

显然1是函数的极大值点，则有一个极大值，D正确.

故选：D

6．用0到6这7个数字，可以组成没有重复数字的且被5整除的四位数的个数为（    ）

A．200 B．210 C．220 D．240

【答案】C

【分析】特殊讨论能被5整除末位为0或5，且0不能在首位.

【详解】被5整除则末位为0或5，若末位为0，则，

若末位为5，则，故共有220个，

故选:C.

7．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则c的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据锐角可确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，结合正弦函数性质即可求得答案.

【详解】在锐角中， ，,

故，则，则

由正弦定理可得，

故选：C

【点睛】关键点睛：本题难度并不大，解答的关键是根据三角形为锐角三角形要确定角B的范围，结合正弦定理表示出c，即可求得答案.

8．已知是定义在R上的偶函数，当时，有恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导数的和运算法则，构造新函数，研究其单调性、奇偶性得到值的大小.

【详解】设，则，

因为当时，有恒成立，所以时，，

所以在单调递减；

又是定义在R上的偶函数，则，

故为偶函数，

则，A选项错误；

，B选项错误；

，C选项错误；

，D选项正确；

故选：D.

二、多选题

9．某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：

已知变量y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．所得回归直线方程的决定系数，说明拟合效果非常好

C．最小二乘法得出的回归直线保证了残差和最小

D．预测该人工智能公司第6年的利润约为9.44亿元

【答案】BD

【分析】利用回归直线经过样本中心点，回归直线方程，及决定系数的含义可得答案.

【详解】对于A，，；

因为回归直线方程为，所以，解得；A不正确.

对于B，因为决定系数，接近于1，所以拟合效果非常好，B正确.

对于C，最小二乘法得出的回归直线保证了残差的平方和最小，C不正确.

对于D，把代入方程可得，D正确.

故选：BD.

10．下列命题是真命题的是（    ）

A．“且”是“”的充分不必要条件

B．“”是“”的必要而不充分条件

C．“”是“”的充分不必要条件

D．在中，“”是“”成立的充要条件

【答案】AD

【分析】由不等式的性质及充要条件可判定A、C选项；根据平行向量的概念及充要条件可判定B选项；根据解三角形的知识及充要条件可判定D选项

【详解】对于A选项，由不等式的性质，且则，充分性成立；

当时，，但，必要性不成立，故A选项正确；

对于B选项，，则一定同向，可得出，充分性成立；

当时，或，故必要性不成立，故B选项错误；

对于C选项，则，故即不充分也不必要，C选项错误；

对于D选项，在中， ，则，

在单调递减，故，充分性成立；

若，在中，，在单调递减，

则，故，必要性成立，故D选项正确.

故选：AD.

11．已知函数的图象在内恰有2个零点，则（    ）

A．

B．直线是图象的一条对称轴

C．函数在区间为上单调递增

D．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图象

【答案】ACD

【分析】对于A：根据题意结合正弦函数图象分析运算即可；对于B：根据对称轴与最值的关系分析判断；对于C：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对于D：根据图象变换的性质运算求解即可.

【详解】因为，则，

若函数的图象在内恰有2个零点，则，

解得，且，所以，故A正确；

因为，且不是最值，

所以直线不是图象的对称轴，故B错误；

因为，则，

且在内单调递增，

所以函数在区间为上单调递增，故C正确；

将函数的图像向左平移个单位，

得到，

故D正确；

故选：ACD.

12．已知随机变量的取值为不大于n的正整数值，它的分布列为：

其中满足：，且.定义由生成的函数.现有一个装有分别标记着1，2，3的三个质地均匀和大小相同小球的箱子，若随机从箱子中摸出一个球，记其标号为，由生成的函数为，；若连续两次有放回的随机从箱子中摸出一个球，记两次标号之和为，此时由生成的函数为，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】根据题意分别求的分布列和期望，以及，进而逐项分析判断.

【详解】由题意可知：的可能取值为，且，

所以的分布列为

可得，，，

所以，，即，

可得，，故A、C正确；

由题意可知：的可能取值为，可得：

则，

所以的分布列为

可得，

，（认为此时），

则，

所以，即，故D错误；

又因为，故B正确；

故选：ABC.

【点睛】关键点睛：对于新定义题型，要明确新定义的条件、原理以及结论，把问题转化为已经学过的知识进行运算求解.

三、填空题

13．的展开式中的系数为          （用数字作答）.

【答案】672

【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式即可求解作答.

【详解】二项式的展开式通项公式为，

由，得，则，

所以所求的系数为672.

故答案为：672

14．，恒成立，则实数a的取值范围是        .

【答案】

【分析】分和两种情况，结合二次不等式的恒成立问题运算求解.

【详解】因为，整理得，

当时，则不恒成立，不合题意；

当时，则，解得；

综上所述：实数a的取值范围是.

故答案为：.

15．已知事件A，B，，，，则       .

【答案】

【分析】根据给定条件，利用全概率及条件概率公式，结合对立事件的概率求解作答.

【详解】依题意，，由全概率公式得，

即，解得，所以.

故答案为：

四、双空题

16．A是正整数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集.当时，则集合A的生成集       ；若A是由5个正整数构成的集合，则其生成集B中元素个数的最小值为       .

【答案】          4

【分析】空1：根据题意直接运算即可；空2：根据不等式分析可得B中元素至少有4个元素，且可以找到只有4个元素的集合.

【详解】空1：若，则，

所以；

空2：若A是由5个正整数构成的集合，不妨设，

可得，即B中元素至少有4个元素，

例如，则，

，

此时有4个元素，

所以生成集B中元素个数的最小值为4.

故答案为：；4.

【点睛】关键点睛：对于新定义的题型，要充分理解题意，严格执行定义的要求，这是处理此类问题的关键.

五、解答题

17．已知函数，且.

(1)求实数a的值；

(2)若，求函数的值域.

【答案】(1)3

(2).

【分析】（1）代值计算即可求出值.

（2）求出在区间上的值域，再利用二次函数求解作答.

【详解】（1）因为函数，，

于是，即，解得，

所以实数a的值为3.

（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，，当时，，于是，

由（1）知，

，

因此当时，，当时，，

所以函数的值域是.

18．二十大报告将“人与自然和谐共生的现代化”上升到“中国式现代化”的内涵之一，再次明确了新时代中国生态文明建设的战略任务，总基调是推动绿色发展，促进人与自然和谐共生.某环境保护机构为了调查研究人们“保护环境意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：

(1)根据统计数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护环境意识的强弱与性别有关？并说明原因；

(2)用分层抽样的方法在“保护环境意识强”的受采访人员中选取8人参加一次公益活动，需要在这8个人中随机选取两人作为这次活动的联络员，求两名联络员恰为一男一女的概率.

附：

参考公式：，其中.

【答案】(1)答案见解析；

(2)

【分析】（1）利用表格，根据公式计算，与临界值进行比较，可得结论；

（2）求出8个人中随机选取两人的选法和两名联络员恰为一男一女的选法，即可求出概率.

【详解】（1）列联表表格如下：

零假设为：人们保护环境意识的强弱与性别无关，

由题意得，，

依据小概率值的独立性检验，没有证据认为不成立，

即人们保护环境意识的强弱与性别无关;

（2）根据条件，样本中女性保护环境意识强的女性有100人，保护环境意识强的男性有60人，

因为，

所以采用比例分层抽样的方法抽取8人，则女性抽取5人，男性抽取3人，

所以两名联络员恰为一男一女的概率.

19．已知函数.

(1)求的单调区间：

(2)求证：在区间上有且仅有一个零点.

【答案】(1)递增区间是，递减区间是；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间作答.

（2）利用（1）的结论，借助零点存在性定理推理作答.

【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，

由，得或，由，得，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的递增区间是，递减区间是.

（2）因为，则由（1）知，函数在上单调递增，

而，因此存在唯一实数，使得，

所以函数在区间上有且仅有一个零点.

20．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．

(1)求；

(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；

（2）由面积公式求出，由正弦定理得到，不妨设，，得到.延长至点, 使得, 连接，构造相似三角形，在中，由余弦定理得到，由基本不等式求出，得到角平分线长的最大值.

【详解】（1）由正弦定理，得，即，

故，

因为，所以，

所以；

（2）由（1）知，

因为的面积为，所以，解得，

在中，由正弦定理，得，

在中，由正弦定理，得，

因为AD为角A的角平分线，所以，

又，所以，所以，

不妨设，，则，故，

延长至点E，使得，连接，

则，又，

所以，故，，

则，，

则，，

在中，由余弦定理，得，

即，

因为，所以，

其中，当且仅当，即时，等号成立，

故，故.

所以长的最大值为.

【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

21．一袋中有3个白球和4个黑球.从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为.

(1)求的数学期望；

(2)设，，求（用和k表示）.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意分析可知的可能取值为，结合独立事件概率乘法公式求分布列，进而可求期望；

（2）分和两种情况，根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解.

【详解】（1）当时，取出的是白球的概率为，取出的是黑球的概率为，

由题意可知：的可能取值为，则有：

，

所以的分布列为

的数学期望.

（2）①当时，即第n次操作后袋中有3个白球，黑球4个，

所以；

当时，第次操作后袋中有个白球的可能性有两种：

第n次操作后袋中有个白球，黑球个，

第次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为；

②第n次操作后袋中有个白球，黑球个，

第次取出来的是黑球，这种情况发生的概率为；

故；

综上所述：.

22．已知函数在点处的切线方程为：.

(1)求实数a，b的值；

(2)证明：；

(3)若方程有两个实数根,且，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）由函数在点处的切线方程求解；

（2）观察，构造出在点处的切线为，令，只需证明；

（3）方程的根不太好确定，由（2）可构造出，找出的根为，利用单调性确定；再构造一个函数在点处的切线方程，同理可得，，找出的根，利用单调性判定出，从而得证.

【详解】（1）由题，，

,

因为所以，则.

（2）由（1）知，，，

设在点处的切线为，斜率，则，

令，则，

当时，，在单调递减；

当时，令，则恒成立，

所以在上单调递增，

又，所以当时，，在单调递减，

当时，，在单调递增，

故，所以,.

（3）由（2）知，，

设的根为，则，

又函数单调递减，故，故，

记，，，

当时，，在单调递减；

当时，令恒成立，

所以在上单调递增，

又，所以当时，，在单调递减，

当时，，在单调递增，

故，所以，则，

设的根为，则，

又函数单调递增，故，故，

又，所以.

【点睛】关键点睛：构造函数是关键，此题关键的几步都是构造函数，首先，找到在点处的切线为，其次是找到函数在点处的切线方程，对的根进行转换，非常灵活，属于难题.