2022-2023学年广东省揭阳市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年广东省揭阳市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．且

C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.

【详解】解不等式，即，得或，即或，而，

所以.

故选：C

2．已知空间向量，，若，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】利用空间向量平行的坐标表示即可得解.

【详解】因为，，，

所以，解得，

所以.

故选：A.

3．的展开式中的系数为（    ）

A．200 B．210 C．220 D．240

【答案】B

【分析】变形给定式子，再利用二项式定理求解作答.

【详解】依题意，，而展开式中的系数为，

所以的展开式中的系数为210.

故选：B

4．已知椭圆：，若矩形的四个顶点都在上，则称为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形的外接椭圆的短轴长为，则的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用待定系数法即可得解.

【详解】因为椭圆的短轴长为，则，即，

所以椭圆方程为，

又正方形的边长为4，

由椭圆与正方形的对称性可知，正方形的其中一个顶点坐标为，

所以，解得，

所以椭圆的方程为.

故选：B.

5．已知变量x，y的一组相关数据如下表：

若x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则实数（    ）

A．4.9 B．5 C．5.1 D．5.2

【答案】D

【分析】根据给定的数表，求出样本的中心点，再代入经验回归方程求解作答.

【详解】依题意，，，

显然满足经验回归方程，即，所以.

故选：D

6．已知数列的各项均为正数，，数列为等差数列，其前n项和为，，，则（    ）

A．6 B．7 C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项公式即可作答.

【详解】在等差数列中，，，解得，

因此数列的公差，，

显然，而数列的各项均为正数，所以.

故选：A

7．已知圆锥SA的轴截面是边长为的等边三角形，顶点S和底面圆周上的所有点都在球O的球面上，则球O的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定信息，可得圆锥轴截面等边三角形的外接圆是球面的截面大圆，求出球半径再计算体积作答.

【详解】依题意，圆锥SA的轴截面等边三角形的外接圆是球O的截面大圆，

而等边三角形的边长为，则该等边三角形外接圆半径，即球O的半径为2，

所以球O的体积为.

故选：B

8．公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则（    ）

A． B． C．4 D．8

【答案】C

【分析】根据给定的定义，利用锐角三角函数的定义转化为角的正余弦，再利用二倍角公式、辅助角公式求解作答.

【详解】依题意，角可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义及已知得，

所以.

故选：C

二、多选题

9．已知直线l：，圆C：，则下列说法错误的是（    ）

A．若或，则直线l与圆C相切

B．若，则圆C关于直线l对称

C．若圆E：与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则

D．若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则

【答案】AC

【分析】根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可判断A，根据直线经过圆心即可判断B，根据两圆公共弦所在直线方程的求法即可判断C，根据圆心到直线l的距离，即可得到不等式组，解出即可，即可判断D.

【详解】即，圆心，

对A，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，则，

解得或，故A错误；

若圆C关于直线l对称，则直线通过圆心，则有，解得，故B正确；

对C，圆C与圆E的方程作差得，即，

则，解得，经检验此时圆，

满足，则，故C错误；

对D，若圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则圆心到直线l的距离，即，即，且，

解得，故D正确；

故选：AC.

10．在中，内角所对的边分别为，，，，则（    ）

A．

B．

C．

D．的面积为或

【答案】AD

【分析】对于A，利用正弦定理即可得解；对于B，利用小边对小角判断得的范围，再利用三角函数的平方关系即可得解；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，利用三角形面积公式即可得解.

【详解】对于A，因为，，，

所以由，得，解得，故A正确；

对于B，因为，所以，故，

因为，所以，故B错误；

对于C， 由，得，解得或，

经检验，与都满足要求，故C错误；

对于D，当时，；

当时，；

所以的面积为或，故D正确.

故选：AD.

11．某商场同时销售编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯，一年中销售这三家公司该产品的数量之比为．为更好地做好今后的销售工作，该商场对这一年中购买紫外线消毒灯的顾客进行了电话调查，统计得到购买编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯的顾客满意度分别为93%，90%，90%．现从这些顾客中随机抽取一名顾客进行详细回访，记“顾客购买编号为i的公司生产的紫外线消毒灯”， “顾客对紫外线消毒灯满意”，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】对于AD，由题意得到相应概率判断即可；对于B，利用全概率公式求解即可；对于C，利用贝叶斯公式求解即可.

【详解】依题意，知，

，

对于A，因为，故A正确；

对于B，

，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：ABD.

12．已知定义在上的函数的导函数为，，，且为奇函数，为偶函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用函数的奇偶性，对称性，周期性，导数几何意义，即可逐个选项判断.

【详解】因为为奇函数，为偶函数，

所以，，

所以关于对称，关于对称，

关于对称，

又，则关于对称，

所以是以为周期的函数，

令，则，得，A正确；

令，则，B错误；

因为，

所以，C正确；

因为，

所以，D错误.

故选：AC

三、填空题

13．已知命题p：对，，若p为真命题，则实数a的最小值是      ．

【答案】

【分析】利用一元二次不等式恒成立，求出a的范围作答.

【详解】因为，，于是，解得，

所以实数a的最小值是.

故答案为：

14．曲线在点处的切线方程为      ．

【答案】

【分析】根据导数的几何意义可求出结果.

【详解】，

 ，，

所以所求切线方程为，即.

故答案为：

15．为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有      种．（用数字作答）

【答案】

【分析】利用间接法，结合平均分组法即可得解.

【详解】将这6名选手平均分为三组，有种分组方案，

其中来自A学校的3名选手都不在同一组，有种分组方案，

所以恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有种.

故答案为：.

16．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，则的离心率为      ．

【答案】

【分析】利用向量的中点性质与双曲线的定义求得，，再利用余弦定理得到关于的齐次方程，解之即可.

【详解】依题意，设双曲线的半焦距为，则，，

因为是的中点，所以，

故由得，

因为，，所以，

在中，，

在中，，

所以，则，即双曲线的离心率为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的运算法则与双曲线的定义，从而得到所需线段的长度，再构造关于的齐次方程即可得解.

四、解答题

17．飞盘起源于上世纪50年代，是一项融合了足球、篮球、美式橄榄球等多个项目的运动．某大学生俱乐部为了了解该市大学生对飞盘运动的喜爱程度，在该市所有高等院校中进行问卷调查，并从中随机抽取了200份，整理得到如下列联表：

(1)分别求出该市男、女大学生中喜欢飞盘运动的概率；

(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢飞盘运动与性别有关联？

附：．

【答案】(1)，

(2)有关联

【分析】（1）利用频率估算概率即可得解；

（2）利用计算卡方进行独立性检验，即可得解.

【详解】（1）由样本知男大学生中喜欢飞盘运动的频率为，

女大学生中喜欢飞盘运动的频率为，

由样本频率估计总体概率得男大学生中喜欢飞盘运动的概率为，女大学生中喜欢飞盘运动的概率为，

所以估计该市男、女大学生中喜欢飞盘运动的概率分别为.

（2）零假设为：喜欢飞盘运动与性别无关联，

完善列联表如下：

根据列联表中的数据，经计算得到

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为喜欢飞盘运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.

18．已知数列的各项均为正数，，给出以下三个条件：

①；②为等比数列；③．

(1)从这三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立；

(2)求数列的前n项和．

注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）将①②作为条件，③作为结论，与将②③作为条件，①作为结论，利用等比数列通项公式求得基本量即可得解；将将①③作为条件，②作为结论，联立方程求得，从而利用等比数列的定义判断即可；

（2）利用错位相减法即可得解.

【详解】（1）若将①②作为条件，③作为结论：

设数列的公比为，由，得，

因为数列的各项均为正数，所以，解得，

又，所以，

所以.

若将①③作为条件，②作为结论：

联立，解得，所以，

又数列的各项均为正数，所以，

所以当时，，所以为等比数列.

若将②③作为条件，①作为结论：

设数列的公比为，因为，所以，

则，

又数列的各项均为正数，所以，所以，

所以，即.

（2）由（1）得，所以，

所以，

，

两式相减得

，

所以.

19．为积极发展生态低碳农业，某农业大学实验基地进行绿色农业种植实验，已知该基地引进了营养价值较高的A品种黄豆，统计了近几年的产量及市场售价情况（市场售价与产量相互独立），得到了如图①②所示的频率分布直方图（每组数据用该组区间的中点值为代表）：

(1)若不考虑其他因素，设A品种黄豆明年的收入为元，求的分布列；；

(2)已知A品种黄豆人工种植及管理费用和其他黄豆相当，不考虑其他因素，若明年A品种黄豆的收入不低于520元，则后年可大面积推广种植A品种黄豆．请根据统计学知识预测后年能否大面积推广种植A品种黄豆，并说明理由．

【答案】(1)分布列见解析

(2)能，理由见解析

【分析】（1）结合频率分布直方图求得产量与市场售价对应的概率，再由题意得到的可能取值，进而求得对应的值的概率，从而得解；

（2）利用数学期望公式预测明年A品种黄豆收入的均值，从而得解.

【详解】（1）依题意可知产量为190千克的概率为，产量为210千克的概率为，

市场售价是2.5元/千克的概率为，售价是2.7元/千克的概率为，

所以的所有可能取值为475，513，525，567，

所以，

，

则的分布列为：

（2）由（1）可得预计明年A品种黄豆收入的均值为

因为，

所以预测后年能大面积推广种植A品种黄豆.

20．如图，在四棱锥中，，，，，，．

(1)证明：平面平面PBD；

(2)求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．

【答案】(1)详见解析；

(2).

【分析】（1）利用勾股定理，证明，从而建系，利用空间向量证明，然后结合线面垂直和面面垂直的判定定理即可；

（2）求出两个面的法向量，然后利用面面角的向量公式求解即可.

【详解】（1），，

,,

,即：.

且，平面,

平面，即两两垂直.

以为原点，建立如图所示直角坐标系，

易得：,

所以,

所以，

所以，平面，平面，

，且平面，

所以平面PAC，且平面PBD，

所以平面平面PBD；

（2）因为，

设平面PBC的法向量为，

则,令，则；

又，

设平面PCD的法向量为

则，令，则；

所以，

所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为.

21．已知函数，其中．

(1)求的单调区间；

(2)若，函数，证明：的极小值恒大于．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）求导得，分和讨论即可；

（2）求导得，令，利用导数和隐零点法得，而分析得，再根据，则可证明的极小值恒大于.

【详解】（1），

当时，在上单调递增；

当时，令，解得；令，解得.

综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为,

（2）当时，,

所以.令，则,

所以在上单调递增，

又，

由函数零点存在定理可知存在唯一实数,使得，

即，即.

当时，，即，则单调递减；

当时，，即，则单调递增，

所以.

因为，所以,

所以的极小值恒大于.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是令，从而利用隐零点法得到，再分析代换得，最后根据即可证明原结论.

22．已知抛物线的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点．

(1)求的方程；

(2)试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)直线恒过定点，定点坐标为，

【分析】（1）利用抛物线焦点坐标求得，从而得解；

（2）联立直线与抛物线方程得到，再由，与抛物线相切求得，化简即可得到，从而得解.

【详解】（1）由题意得，解得，

所以抛物线的方程为.

（2）直线恒过定点，定点坐标为，

由题意可知直线斜率不为0，设直线，

联立，得，

则，

由题意可知直线的斜率均存在，且不为0，，

设直线，与联立得，

则，又，则，解得，

所以直线，即，

同理直线，

又点在上，所以，

消去得，即，

所以，

又，所以，所以，解得，

所以直线，故直线恒过定点.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解，