2022-2023学年广东省广州市执信中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年广东省广州市执信中学高二下学期期末数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求集合M的补集，再取与集合N的交集即可.
【详解】由，可得
则
故选：D
2．复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算，再根据共轭复数的概念即可求解.
【详解】根据复数除法的运算法则可得 ，所以可得其共轭复数.
故选：D.
3．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.
【详解】由，
得，
所以为偶函数，故排除BD.
当时，，排除A.
故选：C.
4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】设圆台的母线长为，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.
【详解】设圆台的母线长为，因为该圆台侧面积为，
则由圆台侧面积公式可得，所以，
设截去的圆锥的母线长为，由三角形相似可得，
则，解得，
所以原圆锥的母线长，
故选：.
5．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变小B．决定系数变小
C．残差平方和变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
【答案】D
【分析】从图中分析得到去掉后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可．
【详解】从图中可以看出较其他点，偏离直线远，故去掉后，回归效果更好，
对于A，相关系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，相关系数r变大，故A错误；
对于B，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，决定系数变大，故B错误；
对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉后，残差平方和变小，故C错误；
对于D，若去掉后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确．
故选：D．
6．已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，然后再比较的大小，再根据函数的单调性可得结果
【详解】的定义域为，
因为，
所以为偶函数，
所以，，
当时，，
因为，所以，
所以，，
所以，
所以在上单调递增，
因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上为增函数，且，
所以，即，
所以，
所以，
即，
故选：A
7．已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与及抛物线的所有公共点从左到右分别为点，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】设直线的方程为，代入，化简后由求出的值，从而可得直线方程，再代入化简，结合弦长公式可得答案.
【详解】由题意可得，设直线的方程为，
由题意可得直线与抛物线必有2个交点，
与抛物线相切，联立方程组，可得，
所以，解得，故直线的方程为，
与抛物线方程联立，得，
设，则，所以.
故选：C.
8．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距分别作为点的坐标和坐标，记.若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，求出直角坐标，即可得解.
【详解】以O为坐标原点,原x轴正方向为x轴，垂直于x轴的方向为y轴建立平面直角坐标系，
则在直角坐标系下，，,
则
.
故选：A.
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量的方差，则
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从正态分布，，则
【答案】ACD
【分析】根据二点分布的期望公式，可判定A正确；根据方差的性质，可判定B错误；根据二项分布的概率计算公式，可判定C正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定D正确.
【详解】对于A中，由随机变量服从两点分布且，则，故A正确；
对于B中，由随机变量的方差，可得，故B错误；
对于C中，由变量服从二项分布，则，所以C正确；
对于D中，由随机变量服从正态分布，，
根据正态分布曲线的对称性，可得，所以D正确.
故选：ACD.
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】AB
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.
【详解】
，故A正确；
函数的最小正周期为，故B正确；
由，得，故C错误；
由的图象向左平移个单位长度，
得
，故D错误.
故选：AB
11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A．事件，为互斥事件B．事件B，C为独立事件
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得判断C，根据条件概率的定义求得判断D．
【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；
由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；
，C正确；
事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．
故选：ACD．
12．已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数n，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．为递减数列D．
【答案】AC
【分析】的极值点为的变号零点，即为函数与函数图像在交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.
A选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；
BC选项，由图像可判断选项；
D选项，注意到，由图像可得单调性，后可判断选项.
【详解】的极值点为在上的变号零点.
即为函数与函数图像在交点的横坐标.
又注意到时，，时，，
，时，.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.
A选项，注意到时，，，.
结合图像可知当，.
当，.故A正确；
B选项，由图像可知，则，故B错误；
C选项，表示两点与间距离，由图像可知，
随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列.故C正确；
D选项，由A选项分析可知，，
又结合图像可知，当时，，即此时，
得在上单调递增，
则，故D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.
三、填空题
13．函数在处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.
【详解】因为，则，
又，则，
所以函数在处的切线方程为，
即.
故答案为：
14．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 .
【答案】
【分析】先根据二项式系数之和求出，然楼根据展开式的通式，令的次数为零即可得常数项.
【详解】由展开式的二项式系数之和为64得，解得，
即，其展开式的通式为
令得，
故答案为：.
15．某高中学校在新学期增设了“传统文化”､“数学文化”､“综合实践”､“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有 种.（用数字作答）
【答案】36
【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果.
【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时：
相同的课程为“数学文化”时，有种，
相同的课程不是“数学文化”时，有种，
所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有种，
当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有,
所以，两位同学不同的选课方案有，
故答案为：36
16．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则 ．
【答案】2
【分析】延长交延长线于点，结合题意得点为的中点，，从而得到，再结合双曲线的定义即可求解．
【详解】如图，延长交延长线于点，
因为点是的角平分线上的一点，且，
所以点为的中点，所以，
又点为的中点，且，
所以．
故答案为：2．
四、解答题
17．已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，满足是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，利用，求出值即可得到的通项公式；再由题意得，结合可求出值，进一步可得的通项公式；
（2）由，利用等比数列求和公式，结合分组求和即可求出．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
因为，所以，解得，所以，
由题意知：，因为，所以，
解得，所以；
（2）由（1）得，
.
18．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄､褐两种颜色的蜂蜡罐，对两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：
(1)依据小概率值的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？
(2)假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与事件有关的事件，利用公式：求解，现从装有只品种蜜蜂和只品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到品种蜜蜂为事件，第二次抽到品种蜜蜂为事件，求（用表示）
附：，其中.
临界值表：
【答案】(1)蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联；
(2)
【分析】（1）由已知数据结合公式求，比较其与临界值的大小，由此确定蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，进一步求频率判断；
（2）由古典概型概率公式和条件概率公式求，再代入所给公式求解.
【详解】（1）根据列表得，
所以依据的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，
品种进入黄色蜂蜡罐的频率为，品种进入褐色蜂蜡罐的频率为，
品种进入黄色蜂蜡罐的频率为，品种进入褐色蜂蜡罐的频率为，
依据频率分析，品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是品种的蜜蜂的两倍，
所以品种的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异；
（2）由已知上式知，
则，
所以，
所以，
所以.
19．如图，在平面四边形ABCD中，，．
(1)若，，，求△ACD的面积；
(2)若，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先用余弦定理求出 ，再利用面积公式求解；
（2）设，运用正弦定理分别表示出 ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.
【详解】（1）在中，，
因为，所以，
所以的面积；
（2）设， ，则，．
在中，，则，
在 中，，则，
所以，
当时，取得最大值；
综上，的面积为 ，的最大值.
20．如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点.

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标法求出点坐标，然后求解即可.
【详解】（1）证明：如图：

连接，在正方形中，
又平面，故.
而，是平面上的两条相交直线，
所以平面.
在中，为中位线，故.
所以平面.
又平面，
所以平面平面.
（2）如图：

以，，所在直线为，，轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，
设，
则.
则，
整理得，解得或（舍去），
故，故到平面的距离，
故.
因为，所以，
又，所以，
又，所以平面，
故到平面的距离为.
三棱锥体积为.
21．已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，判断函数零点的个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)一个零点，理由见解析
【分析】（1）求出，分、、讨论可得答案；
（2）由（1）当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为可得函数的极大值，再利用导数证明可得答案.
【详解】（1），
令得，
当时，，则函数在上单调递增，
当时， 或时，，
时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
当时， 或时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为在，，单调递减区间为.
（2）当时，函数仅有一个零点的个数，理由如下，
由（1）得当时，函数在，单调递增，在单调递减； 则函数的极大值为，
且极小值为，令，，
则，，
所以在上单调递增，
所以，
所以当时，，
，
因为，所以，，可得，
如下图，作出函数的大致图象，
由图象可得当时，函数仅有一个零点的个数.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力.
22．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点，且它的离心率
（I）求椭圆的标准方程；
（II）与圆相切的直线交椭圆于、两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意先设出椭圆的标准方程，然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数，进而可得所求的方程；（2）由直线和圆相切可得(t≠0)，然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于x的一元二次方程，根据根据系数的关系可得点C的坐标，代入椭圆方程后整理得到，根据的范围可得，进而得到所求范围．
【详解】（1）设椭圆的标准方程为，
由已知得解得
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为直线：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切，
所以＝1，
整理得(t≠0)．
由消去y整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，
因为直线与椭圆交于M，N两点，
所以，
将代入上式可得恒成立．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则有x1＋x2＝－，
所以y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，
因为)，
所以可得C，
又因为点C在椭圆上，
所以＋＝1,
所以，
因为t2＞0，所以＋＋1＞1，
所以，
所以的取值范围为.
【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
黄色蜂蜡罐
褐色蜂蜡罐
品种蜜蜂
40
20
品种蜜蜂
50
10
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828