2022-2023学年辽宁省沈阳市新民市高级中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省沈阳市新民市高级中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．记全集，集合，集合，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解作答.

【详解】依题意，或，因，

所以.

故选：C

2．已知命题：，，则是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.

【详解】由题意得：，.

故选：D.

3．若函数是奇函数，则（    ）

A．4 B．3 C． D．

【答案】C

【分析】利用是奇函数求得的解析式，进而求得的值

【详解】设，则，则，

又是奇函数，则有，即

则，则

故选：C

4．设为正项递增等比数列的前项和，且，则的值为（    ）

A．64 B．63 C．127 D．128

【答案】B

【分析】设正项递增等比数列的公比为，根据题意求得，，利用等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】设正项递增等比数列的公比为，

因为，所以，

又因为，可得，解得或（舍去），

又由，解得，所以.

故选：B.

5．函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据解析式判断定义域，由奇偶性定义判断对称性，再结合的符号，即可确定图象.

【详解】由，

所以的定义域是，

又，

所以是奇函数，图象关于原点对称，且.

故选：C

6．已知函数的一个极值点为1，若，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．

【答案】B

【分析】由题意可得，则，所以，化简后利用基本不等式可求得结果

【详解】对求导得，

因为函数的一个极值点为1，

所以，

所以，

因为，

所以，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为9.

故选：B.

7．已知奇函数在上是增函数，．若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断出函数单调性，再比较这3个数的大小，然后利用单调即可.

【详解】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，

从而是上的偶函数，且在上是增函数，

，

，又，则，所以即，

， 所以.

故选：C．

8．已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将问题化为有且只有两个整数解，利用导数研究的性质，并画出与的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围.

【详解】由题设，定义域为，则可得，

令，则，

所以时，即递增，值域为；

时，即递减，值域为；

而恒过，函数图象如下：

要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，

若交点的横坐标为，则，

所以，即.

故选：C

【点睛】关键点点睛：首先转化为有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断、交点横坐标范围，即可求参数范围.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．函数的定义域为

B．和g（x）=x表示同一个函数

C．函数的图像关于坐标原点对称

D．函数f（x）满足，则

【答案】AC

【分析】根据函数的相关定义和运算规则逐项分析.

【详解】对于A：由解得或x<－2，

所以函数的定义域为 ，故A正确；

对于B：的定义域为 ，的定义为，定义域不相同，

所以和不是同一个函数，故B错误；

对于C： 由，所以为奇函数，

所以函数的图像关于坐标原点对称，故C正确；

对于D：因为函数f（x）满足，所以，

由解得，故D错误；

故选：AC.

10．已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是(    )

A．f(x)的最大值为3 B．f(0)＝2

C．若f(x)＝－1，则x＝2 D．f(x)在定义域上是减函数

【答案】AB

【分析】根据分段函数的表达式分别进行判断即可．

A：分别求x≤1和x＞1时f(x)的范围即可；

B：代入f(x)＝x＋2计算即可；

C：分类讨论f(x)＝－1时x取值即可；

D：分别判断x≤1和x＞1时单调性即可.

【详解】当时，是增函数，则此时(1)，

当，为减函数，则此时，综上的最大值为3，故A正确；

，故B正确；

当时，由时，得，此时≤1，成立，故C错误；

当时，是增函数，故D错误，

故选：AB．

11．已知数列{}满足，，则下列结论正确的是（    ）

A．为等比数列 B．{}的通项公式为

C．{}为递增数列 D．的前n项和

【答案】AB

【分析】根据递推关系可得，进而可判断A，由是等比数列即可求解的通项，进而可判断单调性，根据分组求和即可判断D.

【详解】因为，所以，又，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，即，所以{}为递减数列，的前n项和．

故选:AB．

12．已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，若当时，，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】确定函数的周期性，然后由周期性、奇偶性求值．

【详解】是偶函数，即图象关于轴对称，所以的图象关于直线对称，

又是奇函数，

所以，

所以，所以是周期为8的周期函数，

，所以，，A错；

，B正确；

，而，所以，C错；

，D正确．

故选：BD．

三、填空题

13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为          ．

【答案】

【分析】直接解不等式可得.

【详解】由解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

14．函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则      .

【答案】64

【分析】首先根据对数函数的性质得到，从而得到，再计算即可.

【详解】对于函数，令，求得，，

可得它的的图象恒过定点

点A在幂函数 的图象上，，，，

则

故答案为：

15．已知定义在R上的偶函数在上单调递增，实数a满足，则实数a的取值范围是           .

【答案】

【解析】利用函数为偶函数和单调递增可将不等式化为，进而得到，即可得到答案；

【详解】因为定义在R上的偶函数在区间单调递增，

所以在单调递减；

又，

于是由，

得，

从而有，

则得，即，且，

解得：.

故a的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查函数的基本性质与求值，考查运算求解能力及函数与方程思想，求解时注意把自变量化到同一单调区间.

16．已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为           .

【答案】

【分析】构造函数，通过题干条件得到为奇函数，且在R上单调递增，从而根据单调性解不等式，求出解集.

【详解】因为定义在上的函数满足，

所以设，

则，

所以为奇函数，

因为，都有，

当时，

则有，即，

所以，

所以在上单调递增，

当时，

则有，

所以，

所以在上单调递增，

综上：在上单调递增，

因为为奇函数，

则在R上单调递增，

变形为：，

即，

所以，解得：.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，．

(1)求；

(2)集合，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）单调性解指数不等式求集合A，应用集合的交运算求；

（2）由充分不必要关系有，列不等式组求参数a的范围.

【详解】（1）由题设，可得，而，

所以.

（2）由“”是“”的充分不必要条件，

所以，

则，可得.

18．已知不等式的解集为．

(1)求实数a，b的值；

(2)解不等式．

【答案】(1);

(2)答案见解析

【分析】（1）据题意可知，和是的两个根，利用韦达定理可求出的值；

（2）将（1）解出的代入不等式，再分类讨论解不等式

【详解】（1）的解集为，和是的两个根，

根据根与系数的关系可知：，；

（2）由（1）可知，即,,

①当即时，，此时解集为且；

②当即时，此时解集为或；

③当即时，此时解集为或；

综上：当时，解集为且；

当时，解集为或；

当时，解集为或

19．为数列的前项和，已知，.

(1)求证：数列为等差数列；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用，作差得到是首项为，公差的等差数列，从而求出其通项公式；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.

【详解】（1）由，可知

两式相减得，

即，

∵，∴，

∵当时，，∴（舍）或，

则是首项为，公差的等差数列，

∴的通项公式；

（2）∵，

∴，

∴数列的前项和

.

20．已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设.

（1）求a，b的值；

（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）确定的对称轴，由二次函数性质得，由此求得；

（2）求出，已知条件转化为在上有解

令，转化为求得在

【详解】（1）函数，

∵，∴为开口向上的抛物线，且对称轴为，

∴在区间上是增函数，∴，解得，.

（2）由（1）可得，则.

∴在上有解等价于在上有解.即在上有解

令，∵，∴，∴在上有解，

记∴，则在为减函数，，∴∴k的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：本题二次函数的性质，考查不等式恒成立问题，解题关键是问题的转化，首先由，，把分式不等式转化为整式不等式，其次用分离参数法转化炎求与指数函数有关的函数的最值，最后应用换元法转化为求二次函数的最值．经过多次转化后，问题得到了解决．

21．已知定义在上的函数是奇函数.

（1）求，的值；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）由题意可得，求得，再由（1），求得，检验可得所求值；

（2）运用参数分离和换元法、结合指数函数的单调性，以及反比例函数、一次函数的单调性，求得函数的值域，结合恒成立思想，可得所求范围．

【详解】（1）由题意可得，解得，

再由（1），

得，解得，

当，时，的定义域为，

由，可得为奇函数，

所以，；

（2）由，得，

因为，所以，

所以．

令，则，此时不等式可化为，

记，因为当时，和均为减函数，

所以为减函数，故，

因为恒成立，所以．

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.

22．已知函数.

(1)若，求m的取值范围；

(2)若方程有两个不相等的实数根，并设这两个不相等的实数根为a、b，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)参变分离，构造新函数，求导得单调性，求出最小值，写出范围.

(2)将 a，b代入并整理消去m得到a，b的关系式，构造新函数，求导证明即可.

【详解】（1）因为，所以，即.

所以.

令，所以

令，解得：.

当时，；当时，.

所以在（0，1）上单调递减；在上单调递增

所以，故.

（2）方法一：因为a，b是的两个不相等的实数根，不妨设；

所以①，②

由①②可得：③，④

由（1）知当时恒成立，方程不可能有两个不相等的实数根.

所以.由③④可得：

即⑤

要证，即证，⑥

由⑤⑥知，即证：，又，

所以即证：，

令，则，

令，，

所以在上单调递增，

，所以，从而得证.

方法二：因为a，b是的两个不相等的实数根，不妨设；

所以①，②

由①②可得：③，④

由③④可得：

即：

令，则，

所以，

解得：；

所以

要证：，只需证：

令，，

所以在上单调递增

，所以，从而得证.

方法三：

因为a，b是的两个不相等的实数根

所以①，②

由①②可得：③，④

由③④可得：

即：

所以、是方程的两个不同实数根.

令，则.

，

令，解得：

当时，；当时，.

所以在（0，1）上单调递减；在上单调递增

不妨设

要证：，即证：

只需证：，即证：，即证：

令，.

则

所以在（0，1）单调递减

所以，所以，

即，从而得证.