2022-2023学年福建省厦门市思明区厦门第二中学高二下学期5月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年福建省厦门市思明区厦门第二中学高二下学期5月月考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省厦门市思明区厦门第二中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题
1．直线的倾斜角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，及可求解．
【详解】由，得，故斜率为，因，所以倾斜角．
故选：D．
2．下列导数运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则逐项计算即可判断.
【详解】；；；.
故选：D.
3．过点作圆的切线，直线与切线平行，则切线与直线间的距离为（    ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】判断在圆上，求出直线的斜率，确定出切线的斜率，求出的方程，得出，根据直线与直线平行，利用平行线的距离公式求出与的距离即可.
【详解】将代入圆方程左边得，
左边=右边，即在圆上，
直线的斜率为，
切线的斜率为，即直线的方程为，
整理得，
直线与直线平行，，即，
直线方程为，即，
直线与的距离为，
故选：C
4．使得的展开式中含有常数项的最小的n为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B
【考点定位】本题考查二项式定理的应用．
5．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（    ）
A．12 B． C．24 D．
【答案】C
【分析】对求导得，根据已知有即可求，进而求.
【详解】由，得，
∵当时，，解得，
∴，
∴当时，.
故选：C.
6．如图，已知的面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第2022个三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由于题设所得的三角形均为相似三角形，且前后两个三角形面积的比例为，即所有三角形面积构成一个等比数列，写出数列通项，进而求第2022个三角形的面积.
【详解】由三角形相似知：后一个三角形的面积是前一个的，
设第n个三角形的面积为，则数列是首项，公比的等比数列，
∴，
∴第2022个三角形的面积为．
故选：B．
7．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)＝(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，表示第12次为红球，则前11次中有9次为红球，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率，计算可得答案．
【详解】根据题意，表示第12次为红球，则前11次中有9次为红球，
从而，
故选B．
【点睛】本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，属基础题．
8．已知函数，若，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.
【详解】由题意可作出函数的图像，和函数的图像.

由图像可知：函数的图像是过原点的直线，
当直线介于与轴之间符合题意，
直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得，因为，故，
故直线的斜率为，
故只需直线的斜率.
故选：D
【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.

二、多选题
9．下列四个命题中为真命题的是（    ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．已知服从正态分布，且，则
C．二项式的展开式中的常数项是45
D．已知，且，则
【答案】BCD
【分析】根据正态分布性质判断A,B选项，根据二项式展开式判断C选项，应用二项分布性质判断D选项.

【详解】 已知随机变量服从正态分布，若，
可得曲线的对称轴为，则，A不正确；
若服从正态分布，且，则，B正确；
二项式的展开式的通项公式为，由，
解得，可得常数项是，C正确；
因为，所以，即，D正确.
故选：BCD.

10．已知A，B两点的坐标分别是，直线AP，BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（    ）
A．当时，点P的轨迹为圆（除去与x轴的交点）
B．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）
C．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）
D．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线（除去与x轴的交点）
【答案】ABC
【分析】设，由题可得点P的轨迹方程为，则可根据的范围依次判断.
【详解】设，则直线的斜率为，直线的斜率为，
由已知可得，
化简可得点P的轨迹方程为，
则当时，点P的轨迹为圆（除去与x轴的交点），故A正确；
当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点），故B正确；
当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点），故C正确；
当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点），故D错误.
故选：ABC.
11．（多选）设数列满足，记数列的前项和为，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】依题意当时，求出，再利用作差法得到，即可得到的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前项和即可；
【详解】解：由题意，当时，得，
令，
则当时，
所以，
即．又时，也成立，
∴，故数列的通项公式为，
∴
，即有．
故选：ABD．
12．如图，已知在长方体中，，，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，则下列说法正确的是（    ）

A．四棱锥的体积为
B．存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值
C．当点为的中点时，在直线上存在点，使得
D．存在唯一一点，使得平面，且
【答案】ABC
【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；将长方体的侧面和沿棱展开到同一平面，可判断B选项的正误；利用勾股定理求出的长，可判断C选项的正误；利用空间向量法可判断D选项的正误.
【详解】长方体中，，，，
对于A，，
，平面，平面，故平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离，设点到平面的距离为，
过点在平面内作，如图1所示，
平面，平面，则，
，平面，且，
故，同理可得，
所以，A对；
对于B选项，因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，同理可得，
故四边形为平行四边形，则四边形的周长为，
将长方体的侧面和沿棱展开到同一平面内，如图2所示，

则的最小值为展开面中的长度，此时点为与的交点，
，
所以四边形的周长的最小值为，B对；
对于，，即，所以，，
解得，C对；
对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图1所示的空间直角坐标系，

则、、、，
设，则，，，
因为平面，则，解得，即，D错.
故选：ABC.

三、填空题
13．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 .
【答案】4
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【详解】解：，，
存在实属使得

解得：．故答案为4.
【点睛】本题考查了向量共线定理，属于基础题．
14．随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若，则的值是
x
-1
0
1
p
a
b
c
【答案】5
【分析】由条件求出，然后算出，然后可得.
【详解】a，b，c成等差数列，，又，且，
联立以上三式解得：，
，
则
故答案为：5
15．已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．

四、双空题
16．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为 ，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 .
【答案】 0.0525
【分析】首先用数学语言表示已知条件，设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.由条件概率公式计算；由条件概率公式计算．
【详解】设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.
由全概率公式，
得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.0525.
“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”，
就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率．
＝
＝＝.
故答案为：0.0525；

五、解答题
17．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（结果需用分数作答）.
（1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）事件（甲射击3次至少有1次未击中目标）与事件（甲射击3次都击中目标）为对立事件，计算得到答案.
（2）甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率，计算得到答案.
【详解】（1）设甲、乙击中目标的概率分别是为，则，，
事件（甲射击3次至少有1次未击中目标）与事件（甲射击3次都击中目标）为对立事件，所以.
（2）甲射击2次恰好击中目标2次的概率为，
乙射击2次恰好击中目标1次的概率为，二事件相互独立，
所以甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
18．已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等比数列，公比为，且满足，，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用可求得数列的通项公式；
（2）求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得的表达式.
【详解】（1）因为数列的前项和，
当时，，
又当时，满足上式，
所以，；
（2）由（1）可知，，，
又，，
又数列是等比数列，，又，所以，，则，
因此，.
19．如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得结果；（Ⅱ）由，可设：AB=，可得 ，以点为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图，利用向量垂直数量积为零列方程分别求出平面的法向量、平面的一个法向量，再由空间向量夹角余弦公式可得结果.
【详解】（Ⅰ）如图，连结，交于点，连结，

因为是的中点，
所以在中， 是中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）因为，
所以，即，
则以为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，


设，
则，
则，
设是平面的一个法向量，
则，即，
取，则,
则
同理可得平面的一个法向量，
则，
所以，，
所以，
即二面角的正弦值为.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20．在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀.
分数
69
73
74
75
77
78
79
80
人数
2
4
4
2
3
4
6
3
分数
82
83
85
87
89
93
95
合计
人数
3
4
4
5
2
3
1
50
经计算样本的平均值，标准差.为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为，并根据以下不等式进行评判.
①；②；③.
评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷.
(1)试判断该份试卷被评为哪种等级；
(2)按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量的分布列和均值.
【答案】(1)该份试卷应被评为合格试卷
(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据频数分布表，计算出，的值，由此判断出“该份试卷为合格试卷”；
（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望．
【详解】（1），
，
，
因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷.
（2）75分以下的人数为10；大于等于75分小于85分的人数为25；85分及以上的人数为15.
按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，分别抽取人数为2，5，3.再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，则的取值可能为0，1，2，3.
，，，.
∴的分布列为

0
1
2
3





.
21．已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
【答案】(1)见详解；(2) 3或.
【分析】（1）可设，，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点.
（2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，分别为点到直线的距离，则，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.
【详解】(1)证明：设,,则．
又因为，所以.则切线DA的斜率为，
故，整理得.
设，同理得.
,都满足直线方程.
于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，
当时等式恒成立．所以直线恒过定点.
(2)[方法一]【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】
设的中点为G，,则，，．
由，得，
将代入上式并整理得，
因为，所以或．
由（1）知，所以轴，
则（设）．
当时，，即；
当时，，
即，．
综上，四边形的面积为3或．
[方法二]【利用弦长公式结合面积公式求面积】
设，由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为．由抛物线的定义，
得．
线段的中点为．
当时，轴，，
；
当时，，由，得，即．
所以，直线的方程为．
根据对称性考虑点和直线的方程即可．
E到直线的距离为，
D到直线的距离为．
所以．
综上，四边形的面积为3或．
[方法三]【结合抛物线的光学性质求面积】
图5中，由抛物线的光学性质易得，又，所以．
因为，，所以，
所以．
同理，所以，即点D为中点．
图6中已去掉坐标系和抛物线，并延长于点H．
因为，所以．
又因为G，D分别为的中点，所以，
故为平行四边形，从而．
因为且，所以I为的中点，
从而．．
当直线平行于准线时，易得．
综上，四边形的面积为3或．
  
[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】
由（1）得直线的方程为.
由，可得，
于是
.
设分别为点到直线的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则，
由于，而，与向量平行，所以，解得或.
当时，；当时
因此，四边形的面积为3或.
【整体点评】(2)方法一：利用公共边将一个三角形的面积分割为两个三角形的面积进行计算是一种常用且有效的方法；
方法二：面积公式是计算三角形面积的最基本方法；
方法三：平稳的光学性质和相似、全等三角形的应用要求几何技巧比较高，计算量较少；
方法四：弦长公式结合向量体现了数学知识的综合运用.
22．设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求                   (2)证明:
【答案】（1）；（2）详见解析.
【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.
试题解析：（1）函数的定义域为，
.
由题意可得，.故，.
（2）证明：由（1）知，，
从而等价于.
设函数，则.
所以当，；
当时，.
故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.
设函数，则.
所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.
综上，当时，，即.
【解析】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的.