2022-2023学年甘肃省庆阳第二中学高二下学期第一次月考数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省庆阳第二中学高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用空间向量基本定理求解即可.

【详解】设向量在基底下的坐标为，则，

又向量在基底下的坐标为，则，

所以，即，

所以解得

所以向量在基底下的坐标为.

故选：C.

2．函数的单调递增区间是（    ）

A． B．和

C． D．

【答案】A

【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.

【详解】函数的定义域为 ，

，当时，解得，

故函数的单调递增区间是，

故选：A

3．定义满足方程的实数解叫做函数的“自足点”，则下列函数存在“自足点”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据逐个答案进行分析求解即可.

【详解】对于A选项，，则，由，

即，，因此，不存在“自足点”，故A不满足易于题意；

对于B选项，，则，由，

得，又，所以无解，所以不存在“自足点”，故B不满足题意；

对于C选项，，则，其中，所以，

又，故函数存在“自足点”，C选项满足题意；

对于D选项，，则，

由，得，

所以，即，

因为，，

所以无解，D选项不满足题意.

故选：C.

4．设函数，则（    ）

A．-6 B．-3 C．3 D．6

【答案】C

【解析】根据瞬时变化率的求解方法求解即可.

【详解】解：根据导数的定义：

，

故选：C.

【点睛】本题考查函数的瞬时变化率的求解问题，是基础题.

5．设，，，则、、的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数在上的单调性可得到、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.

【详解】构造函数，其中，则，

当时，，所以，函数在上单调递增，

因为，则，即，即，

所以，，

因为，故，即，即，

因此，.

故选：D.

6．已知空间向量，且，则x=（    ）

A． B．3 C． D．6

【答案】C

【分析】利用向量平行列方程直接求得.

【详解】因为空间向量，且，

所以，解得：.

故选：C

7．如图，空间四边形中，，，，且，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量的线性表示，用、和表示出即可.

【详解】由题意知，

故选：C.

8．已知函数.若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由分离常数，结合导数研究的图象与性质，从而求得的取值范围.

【详解】依题意，函数恰有3个零点，

由，

即与有个交点.

对于函数，

当时，，

所以在区间递增；

在区间递减.

.

当时，，

所以在区间递减；

在区间递增.

，当时，.

所以

所以的取值范围是.

故选：D

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ACD

【分析】利用导数的运算求解判断.

【详解】A. 因为，所以，故正确；

B.因为，所以，故错误；

C. 因为，所以，故正确；

D. 因为，所以，故正确.

故选：ACD

10．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则下列说法中正确的有（    ）

A．冰块最大体积为

B．冰块的最大体积为

C．冰块体积达到最大时，冰块的高度为

D．冰块体积达到最大时，冰块的高度为

【答案】BC

【分析】求出该圆锥的轴截面三角形的边长，设圆柱的底面半径为r，高为h，建立出体积的函数，利用导数求出最大值．

【详解】由圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形，可算出该三角形直角边长为，斜边长为，如图所示，

即圆锥母线长，高和底面半径，

设冰块的底面半径为，高为，

由，冰块体积要最大，此时冰块的高度，

故圆柱的体积为，其中；则有，

，解得；，解得，

则在区间单调递增，在区间单调递减，

所以当时，冰块的体积最大，最大值为，此时冰块高度.

故选：BC.

11．已知函数，则（    ）

A．函数f（x）为偶函数

B．函数f（x）的定义域为

C．函数f（x）的最小值为2

D．函数f（x）在（0，＋∞）单调递减

【答案】ABC

【分析】对于A：根据偶函数的定义即可判断；对于B：分母不为0即可判断；对于C：根据基本不等式即可判断；对于D：求导即可判断.

【详解】对于A：的定义域为，关于原点对称，

而，所以为偶函数.故A正确；

对于B：，的定义域为.故B正确；

对于C：，当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为2.故C正确；

对于D：，当时，令即，解得，

令即，解得，在上单调递减，在上单调递增.故D错误.

故选：ABC.

12．已知正四面体的棱长为2，、分别是和的中点，下列说法正确的是（    ）

A．直线与直线互相垂直

B．线段的长为

C．直线与平面所成角的正弦值为

D．正四面体内存在点到四个面的距离都为

【答案】ACD

【分析】取的中点，连接，证明平面，即可判断A；根据空间向量基本定理及数量积的运算律计算即可判断B；连接交于点，则点为点在平面上的投影，则即为直线与平面所成角的平面角，求出即可判断C；利用等体积法求出正四面体的内切球的半径即可判断D.

【详解】对于A，取的中点，连接，

因为，

所以，

又平面，

所以平面，

又平面，所以，故A正确；

对于B，，

，

则

，故B错误；

对于C，连接交于点，连接，则为的中心，

则点为点在平面上的投影，即平面，

则即为直线与平面所成角的平面角，

在中，，，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为，故C正确；

对于D，设正四面体的内切球的半径为，

则，

所以，

所以正四面体内存在点到四个面的距离都为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．写出一个满足导数为的函数          .

【答案】(答案不唯一)

【分析】由基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解.

【详解】由基本初等函数的导数公式可知，满足导数为，则可得函数（为实数），答案不唯一.

故答案为：(答案不唯一)

14．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为      .

【答案】

【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.

【详解】依题意是奇函数，图象关于原点对称，

由图象可知，在区间递减，；

在区间递增，.

所以的解集.

故答案为：

15．若曲线存在与直线平行的切线，则实数的最大值为        .

【答案】3

【分析】首先求导，根据题意得到在有解，再设，，根据求解即可.

【详解】，

因为曲线存在与直线平行的切线，

所以在有解.即在有解.

设，，

则，

当且仅当，即时等号成立，即.

所以，即的最大值为.

故答案为：3

16．如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为         ．

【答案】

【分析】由题知，共面，即平面，取中点，连接、、，易证平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，由勾股定理计算可得.

【详解】解：因为成立，所以共面，即平面，

如图，取中点，连接、、，

根据正方体的性质得，，平面，平面，平面，，同理可证平面，且，所以平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，，

由勾股定理得，

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数.

(1)若在处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，求a；

(2)当a＝1时，求函数的极值.

【答案】(1)

(2)极小值1，无极大值

【分析】（1）根据导数的几何意义，，求；

（2）利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值.

【详解】（1），

由导数的几何意义可知，，即，得.

（2）当时，，

，，

当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，函数取得极小值，无极大值.

18．已知向量，，.

(1)当时，若向量与垂直，求实数x和k的值；

(2)当时，求证：向量与向量，共面.

【答案】(1)；；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据可求得，再根据垂直的数量积为0求解即可.

（2）设，根据条件可得，根据共面向量定理即得.

【详解】（1）因为,

所以，

解得，

因为，向量与垂直，

所以，

∴，

∴；

所以实数和的值分别为和；

（2）当时，，

设（），

则，

，解得，

即，

所以向量与向量，共面.

19．如图，在平行六面体中，，且，

(1)试用表示向量.

(2)若，，，求的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由三角形法则以及数乘运算得出；

（2）计算，得出的长.

【详解】（1）

（2）

即，∴.

20．已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；

（2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得时， ，即不等式成立.

【详解】（1）解：函数的定义域为，

 ，

∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；

当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；

综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；

（2）证明：因为时，证明，只需证明，

由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；

所以.

令，则，

所以当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以.

所以时， ，

所以当时，

21．已知函数，.

(1)若曲线在点处的切线经过点，求a的值；

(2)当时，恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，根据已知可得，又，即可解出a的值；

（2）不等式可化为对恒成立. 设，，则只需即可.求出，利用导函数研究单调性，求出即可得到结果.

【详解】（1）.

根据导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率

，

又，切线过，则，

所以，，所以.

（2）当时，恒成立，所以恒成立，

即对恒成立.

设，，则只需即可.

又，设，

则在上恒成立，即在上递减.

又，则当时，，则，单调递增；

当时，，则，单调递减．

，

，即实数a的取值范围是.

22．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，讨论函数在上的单调性；

(3)证明：对任意的，有．

【答案】(1)

(2)在上单调递增.

(3)证明见解析

【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；

（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；

（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.

【详解】（1）解：因为，所以，

即切点坐标为，

又，

∴切线斜率

∴切线方程为：

（2）解：因为，    

所以，

令，

则，

∴在上单调递增，

∴

∴在上恒成立，

∴在上单调递增.

（3）解：原不等式等价于，

令，，

即证，

∵，

，

由（2）知在上单调递增，

∴，

∴

∴在上单调递增，又因为，

∴，所以命题得证.