2022-2023学年甘肃省定西市临洮县临洮中学高二下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省定西市临洮县临洮中学高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，，，则2x－y＝（    ）

A．1 B．－1 C．2 D．－2

【答案】C

【分析】利用空间向量的数量积运算的坐标形式计算求解.

【详解】因为，，，

所以，解得2x－y＝2，.

故选：C.

2．已知点是曲线上一点，则P处的瞬时变化率为（   ）

A．2 B．4 C．6 D．

【答案】B

【分析】直接瞬时变化率计算公式即可得到答案.

【详解】曲线在点处的瞬时变化率为，

故选：B．

3．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6

【答案】D

【分析】根据两点分布的期望即可求解.

【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为，

．

故选:D．

4．已知函数，则的极小值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解.

【详解】函数的定义域为，

因为

所以，

令，则，解得或（舍），

由此表可知，当时，的取得极小值为.

故选：D.

5．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】用列举法列出事件，包含的基本事件，再由条件概率的概率公式计算可得；

【详解】解：依题意包括的基本事件为{正，正}、{正，反}，包括的基本事件为{正，反}，∴，

故选：A．

6．袋中有大小､质地均相同的黑球和白球共个，设“任取1个球，这个球是白球”为事件，则.现再向袋中放入4个白球和3个黑球，则，则的值是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】根据古典概型的计算公式即可求解.

【详解】设袋中白球的个数为，则

由题意可知，，解得

所以的值是.

故选：B.

7．如图，在棱长为2的正方体中，E为上的一点，F为的中点，若点E到平面的距离为1，则线段的长度为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】以D为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】解：以D为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，则，，，

设，则，

，，.

设为平面的一个法向量，

则，令，得，，所以.

则点E到平面的距离为，解得，

所以线段的长度为1.

故选：A

8．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数求得单调递减区间，问题等价于单调递减区间与区间的交集为非空区间，从而可以求参.

【详解】由，可得．

①当时，，此时函数单调递减，

所以当时，函数在区间内存在单调递减区间.

②当时，令，可得，

当时，单调递减；当时，单调递增.

所以函数的减区间为，增区间为，

若函数在区间内存在单调递减区间，

只需，得.

综上所述，．

故选：C

二、多选题

9．若随机变量服从两点分布，其中，、分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】写出随机变量的分布列，利用两点分布的期望和方差以及期望的性质可判断各选项.

【详解】由题意可知，随机变量的分布列如下表所示：

所以，，，，.

故选：ABD.

10．若函数有三个零点，则实数a的可能取值是（    ）

A．－10 B．－9 C．2 D．3

【答案】BCD

【分析】根据已知，把函数零点转化为方程根的问题，再分离参数，利用导数研究函数图象，结合图行进行求解.

【详解】函数有三个零点，等价于有3个根，

即函数与函数有3个交点，令，

则，由有：或，由有：，

所以在，上单调递增，在上单调递减；

又，，所以的大致图象为：

所以，解得，故A错误.

故选：BCD.

11．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（    ）

A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件A与事件B是对立事件

C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为

【答案】CD

【分析】根据已知，利用列举法列出基本事件，再利用交事件、并事件以及古典概型进行求解.

【详解】由题可知，事件A的所有基本事件为：甲1乙5，甲1乙6，甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，

甲3乙5，甲3乙6，甲4乙2，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共11个；

事件B的所有基本事件为：甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙3，

甲4乙5，甲4乙6，共8个；所以事件A与事件B有“公共部分”，故A、B错误；

所以事件的所有基本事件为：甲1乙5，甲1乙6，甲2乙5，甲2乙6，

甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙2，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共11个；

又从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共个基本事件，

所以事件发生的概率为，故C正确；

事件发生的概率为：甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共8个，所以事件发生的概率为，故D正确；

故选：CD.

12．已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．平面

C．点到平面的距离为2 D．二面角的大小为

【答案】ABC

【分析】建立空间直角坐标系，根据线线垂直、线面平行、点面距离、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.

【详解】建立空间直角坐标系如下图所示，

，

，所以，A选项正确.

，

设平面的法向量为，

则，故可设，，

由于平面，所以平面，B选项正确.

，所以到平面的距离为，C选项正确.

平面的法向量为,

设二面角的平面角为，由图可知，为锐角.

，所以不是，D选项错误.

故选：ABC

三、填空题

13．某小组由3名女生、2名男生组成，现从中任选出一名组长，则其中女生甲当选为组长的概率为          ．

【答案】/

【分析】根据古典概型知识直接计算.

【详解】某小组由3名女生、2名男生组成，现从中任选出一名组长，共有5种情况；

其中女生甲当选为组长，有1种情况；则所求概率为.

故答案为：

14．已知，若，，那么的最小值为      ．

【答案】

【分析】根据已知，利用向量的减法运算、模长公式的坐标形式以及二次函数计算求解.

【详解】因为，，所以，

所以，

所以的最小值为.

故答案为：.

15．若有三个单调区间，则的取值范围是      .

【答案】

【分析】利用导数的性质，结合一元二次方程的根的判别式进行求解即可.

【详解】，

因为有三个单调区间，

所以方程有两个不相等的实数根，

即或，

故答案为：

16．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差，为使误差在内的概率不小于0.6827.至少要测量      次（若，则）.

【答案】12

【分析】依题意根据正态曲线的性质，即可得到不等式，解得即可；

【详解】解：根据正态曲线的对称性知：要使误差在内的概率不小于0.6827，

则且，，所以，可得.

故答案为：12.

四、解答题

17．如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】

【分析】根据平行关系找到异面直线与所成角，分别求出线段的长度，解三角形即可求得答案.

【详解】由题意得 ,故是与所成角或其补角，

连接 , 由于底面是直角梯形，

在中， 则 ,

在中,,

在梯形ABCD中，过点C作 交AB于H，

则 ,则 ,

故在中， ,

所以在中， ,

即异面直线与所成角的余弦值为.

18．为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功相互独立．

(1)求恰有两个项目成功的概率；

(2)求至少有一个项目成功的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】根据已知，利用互斥事件、相互独立事件的计算公式进行求解.

【详解】（1）设投资农产品加工成功为事件A，投资绿色蔬菜种植成功为事件B，投资水果种植成功为事件C，则

恰有两个项目成功的概率为:

，

所以恰有两个项目成功的概率.

（2）设至少有一个项目成功为事件，则

,

所以至少有一个项目成功的概率.

19．已知函数为奇函数，且在x＝1处取到极小值．

(1)求的解析式；

(2)若在上单调递增，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知，利用奇函数的性质、极值以及极值点处的导数为0进行计算求解.

（2）函数在上单调递增，则在上恒成立，再分离参数计算求解.

【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，

所以，所以，解得，

所以，又因为在x＝1处取到极小值，

所以，，联立解得，，

所以，经检验满足，所以.

（2）由（1）有：，

所以，因为函数在上单调递增，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

所以在上恒成立，

所以，解得.

20．为推动网球运动的发展，某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名．从这名运动员中随机选择人参加比赛．

(1)设事件为“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；

(2)设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及均值．

【答案】(1)

(2)分布列答案见解析，

【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值；

（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.

【详解】（1）解：由题意可得.

（2）解：由题意可知，人中，种子选手共人，非种子选手共人，

从这人中随机抽取人，其中种子选手的人数为随机变量，

则的可能取值有、、、、，

则，，，

，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

因此，.

21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，为的中点，，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】(1) 将线面平行转化为线线平行证明；作辅助线,取的中点，连，,证明即可；

（2）根据题目可知PA、PB、PD两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用平面法向量求解出二面角的余弦值，进一步求解出正弦值.

【详解】（1）证明：如图，取的中点，连， ，

∵，，

∴

∵在直角梯形中，

∴，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴

∵平面，平面，，

∴平面，

（2）∵平面，，

∴， ，两两垂直，以为原点，

，，向量方向分别为轴，轴，

轴建立如图所示空间直角坐标系.

 各点坐标如下：，，，，

设平面的法向量为

由，，

有,取，则，，

即

设平面的法向量为

由，，有，

取 ，则，，即

所以

故二面角的正弦值为.

【点睛】本题考查了线面平行的判定以及空间向量在立体几何中求二面角的应用，属于中档题目，解题中由于要计算各个点的空间坐标以及平面法向量的坐标，计算比较繁杂，对运算能力要求较高，需要准确计算.

22．已知函数的定义域为.

（1）当时，证明：；

（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）利用，，得到，，由此得到，即可证明不等式；

（2）求出，对的两个根进行分类讨论，分别研究函数的单调性，求解不等式恒成立问题即可．

【详解】（1）当时.因为.所以，

所以，故

所以.

（2）由（1）有

①当时，，此时，此时函数单调递增，，满足题意

②当时，，令，可得或，可得函数的增区间为，

由，若恒成立，必有，可得，有

当时，，，有，由①可知，故有

由上知，当时，若恒成立，则实数的取值范围为.