2022-2023学年江西省铜鼓中学高二下学期4月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江西省铜鼓中学高二下学期4月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省铜鼓中学高二下学期4月月考数学试题 一、单选题1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据等差数列的性质可得，进而可求解.【详解】由得，所以，故选：A2．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程.【详解】因为函数，所以，则，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：C.3．已知直线与圆相交于、两点，则（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后根据弦长公式计算可得.【详解】圆的圆心，半径，设圆心到直线的距离为，则，所以．故选：A4．“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号分别为1， 2， 3， 4， 5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出抽一次获奖的概率，设5人中获奖人数为，则，然后由二项分布的概率公式计算概率．【详解】每次抽奖中，总情况数为种，获奖的共有这4种，所以，设5人中获奖人数为，则，所以，故选：C.5．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万千克，每种植1千克莲藕，成本增加0.5元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是（是常数），若种植2万千克，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（    ）A．8万千克 B．6万千克 C．3万千克 D．5万千克【答案】B【分析】根据题意写出销售利润的函数解析式，，根据种植2万千克，利润是2.5万元，求出，再利用导数求出函数的单调区间，从而可得出答案.【详解】解：种植万千克莲藕的利润(单位：万元)为， ，即，，当时，，解得，故，，，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大.故选：B6．数列满足，∀，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出数列的通项，再分离参数，借助数列单调性求解作答.【详解】因为数列满足，则，而，因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则，即，又∀，因此对恒成立，即，而数列是递增数列，则当时，，有，所以实数的取值范围是.故选：B7．已知双曲线的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线与的上支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设双曲线的焦距为，不妨取的一条渐近线为，进而取线段的中点为，结合双曲线的定义，求得，进而结合勾股定理建立关系得，再求离心率即可.【详解】解：设双曲线的焦距为，则不妨取的一条渐近线为，则直线的方程为，设垂足为，则易知，，因为，所以，由双曲线的定义知，设线段的中点为，则，所以，所以，在中，，即，所以，化简整理得，所以，离心率为.故选：C8．若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导，根据函数有两个极值点，， 由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围，再由，得到，利用导数法求解.【详解】因为，所以，令，因为函数有两个极值点，， 所以函数在上有两个不等实根，则，解得，因为，且，，所以，且，所以，．令函数，，则在上恒成立，故在上单调递增，则，即的取值范围为．故选：A【点睛】关键点睛：本题关键是根据题意，由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围而得解. 二、多选题9．下列式子求导正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据基本初等函数的求导公式，以及加减乘除和复合函数的求导法则即可结合选项逐一求解.【详解】对于A, ,故A正确，对于B, ,故B错误，对于C，，故C正确，对于D，，故D错误，故选：AC10．设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（    ）A． B．当时，C． D．【答案】BCD【分析】根据等比数列下标和的性质和应用判断ABC，根据基本不等式的应用判断D.【详解】A选项：因为，所以，所以A不正确；B选项：因为，，则，所以，所以，所以B正确；C选项：因为，所以，所以，所以C正确；D选项：，当且仅当时，等号成立．所以D正确．故选：BCD．11．设，则下列说法正确的是（    ）A． B．C．展开式中二项式系数最大的项是第5项 D．【答案】BD【分析】对于A，令，从而即可判断；对于B，令，结合A的结论，即可判断；对于C，由二次项的展开式中系数的特征即可判断；对于D，利用二次项的展开式公式求出即可判断.【详解】解：对于A，令得，故A不正确；对于B，令得，而由A知：，因此，故B正确；对于C，因为的展开式中二项式系数最大的项是第6项，故C不正确；对于D，因为的展开式中，，所以，，因此，，所以，故D正确．故选：BD.12．关于函数，下列判断正确的是（    ）A．是的极小值点B．函数图像上的点到直线的最短距离为C．函数有且只有1个零点D．不存在正实数k，使成立【答案】AB【分析】对A：求导，利用导数求极值点；对B：结合导数的几何意义分析运算；对C：求导，利用导数分析零点问题；对D：结合选项C中的结论分析判断.【详解】对A：函数的定义域为，，当时，；当时，；故函数在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，故A正确；对B：设直线与函数的图像相切，切点坐标为，由，可得，解得，所以，即切点为，则切点到直线的距离为，即函数图像上的点到直线的最短距离为，故B正确；对C：因为，所以，当时，；当时，；故函数在上单调递减，在上单调递增，则，所以函数不存在零点，故C不正确，对D：由选项C可知：，即恒成立，所以存在正实数k，使恒成立，故D错误．故选：AB．【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值、导数的几何意义、零点问题和不等式问题等，基础性与综合性并举，对考生的逻辑推理能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等思维能力要求比较高．注意极值点和零点都是数，不是点，不要混淆．对于选项B，注意数形结合，将直线平移，使之与曲线相切，求出切点，再利用点到直线的距离公式求解． 三、填空题13．已知函数，则的单调递增区间是         .【答案】【分析】先求定义域，求导后令求得不等式解集，结合定义域最终求得结果.【详解】函数定义域为，，令得：，结合定义域，可知的单调递增区间为故答案为：14．盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了5个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有2个相同的“竹林春熙”以及“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各1个．小明想将这5个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有            种摆放方法．【答案】36【分析】利用插空法计算即可.【详解】记2个相同的“竹林春熙”为A，A，“冰雪派对”为B，“青云出岫”为C，“如意东方”为D，先摆放B，C，D，一共有种摆放方式，再将2个A插空放入，有种摆放方式，所以，一共有种摆放方式．故答案为：36.15．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线交C于P、Q两点，交l于点M，且，则       ．【答案】9【分析】根据抛物线的定义及，利用比例关系求解即可.【详解】过分别作准线的垂线，垂足分别为，准线与轴交于，如图，由知，，准线，所以，根据抛物线定义得，，因为，所以，又，所以为中位线，所以，所以，所以，所以，所以，故答案为：916．已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是          .【答案】【分析】根据对条件 做出的解释构造函数，利用函数的单调性求解.【详解】对，且，恒有，即 ，所以函数 是增函数，设 ，则在上单调递增，故 恒成立，即，设 ，当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减；故，即；故答案为： . 四、解答题17．已知等差数列为递增数列，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，，成等比数列可得，与进行联立即可求解；（2）由（1）得，利用裂项相消法即可.【详解】（1）设递增的等差数列的公差为，首项为，因为，，成等比数列，所以，即①，又，所以②，联立①②解得，故.（2）由（1）可知，，所以数列的前n项和.18．已知函数在处取得极小值-2.(1)求实数的值；(2)若，都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据已知条件可得，求解即可.（2）问题等价于，利用导数法求得的最大值和最小值，从而可以求解.【详解】（1），因为函数在处取得极小值-2，所以，即，解得．经检验，当，时，在处取到极小值，所以，.（2）由（1）可知，，则令，解得或，而，所以当，时，单调递增；当时，单调递减.又所以当时，.若，都有成立，只需，所以.故实数的取值范围为.19．已知如图甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分别为SB，SA的中点，现在将沿着CD进行翻折，使得翻折后S点在底面ABCD的投影H在线段BC上，且SC与平面ABCD所成角为，M为折叠后SA的中点，如图乙所示.(1)证明：平面SBC；(2)求平面ADS与平面SBC所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取SB的中点为N，连接MN，CN，先证MNCD为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）易得平面SBC的法向量，根据平面法向量的求法求出平面ADS的法向量，代入向量夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：取SB的中点为N，连接MN，CN，如图所示：在图甲中，∵C，D分别为SB，SA上的中点，∴，，又∵M，N分别为SA，SB的中点，∴，，∴MNCD为平行四边形，∴，又∵平面SBC，平面SBC，∴平面SBC.（2）∵，∴，，，∴平面SBC，又平面ABCD，平面平面ABCD，因为S点在底面的投影H在线段BC上，∴平面ABCD，∴.SC与平面ABCD所成角的平面角为，，过H作，则HP，HB，HS两两互相垂直，以H为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，易知为平面SBC的一个法向量；设为平面ADS的一个法向量，则有，可取，设平面ADS与平面SBC所成锐二面角的大小为，则，所以平面ADS与平面SBC所成锐二面角的余弦值为.20．已知正项数列中，．(1)求的通项公式；(2)若，求的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据计算即可得解；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）当时，，解得，由当时，，得当时，，两式相减得，即，又，所以，又适合上式，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以；（2），则，，两式相减得，所以.21．已知椭圆过点，且离心率为(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；（2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论.【详解】（1）因为椭圆过点，所以，又，，所以，得到，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，，化简整理得因为直线与垂直，所以直线的方程为，联立得，解得， ，所以把代入上式得，，所以，为定值；当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，，为定值；当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，，为定值；综上所述，，为定值.22．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围；(3)设，，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)(3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，分，和讨论导函数的正负，进而判断函数的单调性；（2）将不等式等价转化为，构造函数（），利用导数判断函数的单调性，进而求解即可；（3）结合前面的解析，取时，则，利用不等式的放缩即可证明.【详解】（1）由题意可知的定义域为，令，则，①当时，，在上恒成立，在上单调递减．②当时，， 时，，时，，时，，故在单调递减，在单调递增，在单调递减．③当时，，时，，时，，时，，故在单调递减，在单调递增，在单调递减．（2）当时，恒成立，故，所以，即，由得，令（），则，令，则，在单调递增，则，即在恒成立，故在单调递增．所以，故在恒成立．由在单调递增，而，，故．（3）取时，，则，所以，因此，则.【点睛】利用导数证明不等式的基本步骤：1.    作差或变形；2.    构造新的函数；3.    利用导数研究函数的单调性及最值；4.    根据单调性及最值，得到所证不等式.