2022-2023学年江苏省盐城市大丰区南阳中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年江苏省盐城市大丰区南阳中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．函数在点处的导数值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据求导公式即可求解.

【详解】由得，所以，

故选：B

2．现有甲部门的员工2人，乙部门的员工4人，丙部门的员工3人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（    ）

A．9 B．24 C．16 D．36

【答案】A

【分析】根据题意，结合组合数公式和分类计算原理，即可求解.

【详解】由现有甲部门的员工2人，乙部门的员工4人，丙部门的员工3人，

从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，

结合分类计数原理，可得共有种不同的选法种数.

故选：A.

3．已知（，且），则的值为（    ）

A．25 B．30 C．42 D．56

【答案】B

【分析】根据排列数组合式公式求解即可.

【详解】，解得或（舍去）.

.

故选：B

4．老师布置了两道数学题，学生做对第一题的概率是，做对第二题的概率是，两题都做对的概率是，现在抽查一个学生，该生在第一题做对的前提下，第二题做对的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件概率公式求解.

【详解】设做对第一题为事件，做对第二题为事件，

由条件可知，，

；

故选：D.

5．讲台上有左、右两盒粉笔，左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔，右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔.某位老师从这两盒中取粉笔，取自左盒的概率为40%，取自右盒的概率为60%.若这位老师从这两盒粉笔中任取一支，则取到黄色粉笔的概率为（    ）

A．0.275 B．0.28 C．0.32 D．0.6

【答案】C

【分析】直接根据全概率公式计算得到答案.

【详解】.

故选：C

6．数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设向左移动次数为，分析出其服从二项分布，再计算即可.

【详解】此实验满足6重伯努利实验，设向左移动次数为，则，

根据从0移动到2，且移动6次，则需向右移动4次，向左移动2次，

则，

故选：C.

7．“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，面ABCD，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解即可.

【详解】由底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，所以可知,

设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，

以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，1，，，0，，，2，，

则，

，

又异面直线所成角的范围为，

故异面直线与所成角的正弦值为．

故选：C

8．已知定义在R上的函数满足，且恒成立，则不等式的解集为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】 令，则，即为，即

 设，则，

 因为对于任意的，都有成立，

 所以对任意，都有，所以为单调递增函数，

 且，所以的解集为，

 即，即 所以不等式的解集为，故选D.

点睛：本题考查了函数的综合应用问题，以及不等式的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质——单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.

二、多选题

9．以下函数求导正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用基本初等函数的求导公式及运算法则即可逐一求导得出结论.

【详解】, A正确；

，常数的导数为0，B错误；

，C错误；

，D正确.

故选：AD.

10．某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等，下列说法正确的是（    ）

A．高一年级学生人数为120人

B．无人机社团的学生人数为17人

C．若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人

D．若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法

【答案】AC

【分析】根据图表所给出的数据，分别计算出5个社团的具体人数和占高一年级总人数的比例，再逐项求解.

【详解】由题目所给的数据可知：民族舞的人数为12，占高一年级总人数的比例为，所以高一年级的总人数为 ，

英文剧场的人数 ，

辩论的人数=30，

无人机=数学建模= ，占高一年级人数的比例是 ，

故A正确，B错误，分层抽样20人，无人机应派出（人），C正确，

甲乙丙三人报名参加社团，每人有5种选法，共有种报名方法，D错误；

故选：AC.

11．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（    ）

A．若女生必须站在一起，那么一共有种排法

B．若女生互不相邻，那么一共有种排法

C．若甲不站最中间，那么一共有种排法

D．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法

【答案】AC

【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.

【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；

选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空中，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；

选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；

 选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法，故不正确；

故选：AC.

12．如图，已知ABC是边长为4的等边三角形，DE，分别是ABAC，的中点，将ADE沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P−BCED，则（    ）

A．翻折过程中，直线BC始终与平面PDE平行

B．存在某个点P位置，满足平面PDE⊥平面PBC

C．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3

D．当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为

【答案】ACD

【分析】A选项，通过说明可判断选项正误；B选项，如图建立以DE中点F为原点的空间直角坐标系，利用平面PDE法向量与平面PBC法向量互相垂直可判断选项正误；C选项，易知当平面PDE⊥平面DBCE时，四棱锥体积最大，计算体积即可判断选项正误；D选项，结合B选项分析与可得P坐标，后算出四边形DBCE外接圆圆心坐标，球心坐标，即可得相应球表面积.

【详解】A选项，注意到在翻折过程中，始终有又平面PDE，平面PDE，则BC始终与平面PDE平行，故A正确；

B选项，取DE中点为F，BC中点为G，连接AF，PF，FG.

如图建立以F为原点，AF所在直线为y轴，FD所在直线为x轴，过P点且与平面DBCE垂直直线为z轴建立空间直角坐标系.

由题可得，且翻折过程中，P点在yOz平面上，设，则

，由题.

则.

,

.

设平面PDE法向量为，

则，取.

设平面PBC法向量为，

则，

取.因平面PDE⊥平面PBC，

则不存在，则不存在相应的P点，使PDE⊥平面PBC，故B错误；

C选项，易知当平面PDE⊥平面DBCE时，四棱锥体积最大，此时为底面对应高，

则，其中，.

则，故C正确.

D选项，因，，则可得.

.设四边形DBCE外接圆圆心坐标为，由题知其在y轴上，

则.因，则，

.则外接球球心O在过且与平面DBCE垂直的直线上，设为.

又，则，.

则外接球半径为：.故外接球表面积为.

故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．若随机变量X的分布列为则X的数学期望为              ．

【答案】/

【分析】根据期望公式计算即可.

【详解】.

故答案为：.

14．已知，则的值为        ．

【答案】10

【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.

【详解】依题意，.

故答案为：10

15．2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为    ．

【答案】

【分析】根据分组分配利用排列组合计算个数，结合条件概率的计算公式即可求解.

【详解】记事件为“甲派往小区”，事件为“乙派往小区”，则

若A小区分配甲一个人，则有，若A小区分配甲以及另一个人一起，则有,故事件包含的基本事件个数为，

在甲派往小区的条件下，乙派往小区的情况为：①只有甲派往小区，只有乙派往小区，另外两个人去C小区，则有1种情况，②从丙丁中选一个人连同甲一起派往小区，只有乙派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，③从丙丁中选一个人连同乙一起派往小区，只有甲派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，

,

故答案为：

16．十字贯穿体（如图1）是美术素描学习中一种常见的教具．如图2，该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成，且两个四棱柱的侧棱互相垂直，若底面正方形边长为2，则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为          ．

【答案】

【分析】分析该几何体的结构特征，作出该几何体的草图，该几何体可以看成两个全等的四棱锥或八个全等的三棱锥组成，利用等体积法求出其内切球的半径，即可代入球的体积公式，即可求出结果.

【详解】该几何体的直观图如图所示，这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体为两个全等的四棱锥和组成；

由题意，这两个直四棱柱的中心既是外接球的球心，也是内切球的球心，设内切球的半径为R，设的中点为，连接，，可知即为四棱锥的高，

在中，，

又，

∴，

又，

∴，

由八个侧面的面积均为，

∴，得，故几何体的内切球的体积为．

故答案为：．

四、解答题

17．（1）计算：

（2）已知，求.

【答案】（1）；（2）2或3

【分析】（1）根据排列组合数计算公式求解；

（2）根据组合数的性质求解.

【详解】（1）

（2）或解之：或.

18．有6本不同的书（以下各题用数字作答）

(1)分成三份，一份本，一份本，一份本，有多少种分法

(2)分成三份，每份本，有多少种分法

(3)分给甲、乙、丙三人，每人本，有多少种分法

【答案】(1)60

(2)15

(3)90

【分析】（1）利用不平均分组问题计算即可；

（2）利用平均分组问题计算即可；

（3）直接分给甲、乙、丙三人即可.

【详解】（1）由题意分法总数为种.

（2）由题意分法总数为种.

（3）由题意分法总数为种.

19．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）．若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(1)求的分布；

(2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与18之中选其一，应选用哪个？并说明理由．

【答案】(1)答案见解析

(2)应选，理由见解析

【分析】（1）由柱状图并以频率代替概率，得到易损零件数为8，9，10的概率分别为0.3，0.4，0.3，分求得相应的概率，即可得出的分布列；

（2）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用，分别求得和的值，进而得到答案.

【详解】（1）解：由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10的概率分别为0.3，0.4，0.3，

则，，

，，

，

所以随机变量的分布列为

（2）解：记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），

当时，可得

当时，可得

因为，所以当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，

故应选．

20．如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．

(1)求证：平面；

(2)求点到直线的距离；

(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可.

【详解】（1）因为底面，，

建立空间直角坐标系如图所示，

则，

所以，

设为平面的法向量，

则，即，不妨设，可得 ，

又，

可得，因为平面，

所以平面 ，

（2）因为，

所以点到直线的距离.

（3）设，，则，

设平面的法向量为，

则令，则，

所以，

即，解得或（舍去），

所以.

21．2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.

(1)求各班参加竞赛的人数；

(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望；

(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率.

【答案】(1)3,4,2,1

(2)分布列见解析，2.8

(3)

【分析】（1）根据分层抽样计算可得；

（2）根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；

（3）计算1班每位同学获奖的概率，然后根据二项分布求解即可.

【详解】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为，

故班分别抽取（人），（人），（人），（人）.

（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4，

,

,

,

,

所以的分布列为：

（3）由题意，1班每位同学获奖的概率为,

设1班获奖人数为，则，

所以至少1人获奖的概率为.

22．已知函数，

(1)求函数的单调区间；

(2)若对一切的，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）求导后，利用的正负即可得到函数的单调区间；

（2）参变分离，构造函数，然后利用导数求其最大值即可.

【详解】（1）函数的定义域为，

因为，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）因为，

所以对一切的，恒成立，

即恒成立，

可得，即，

令，其中，

则，

则当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，则，解得，

所以的取值范围为.