2022-2023学年广东省湛江市第二中学高二下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年广东省湛江市第二中学高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知随机变量的分布列为

则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据随机变量的分布列性质概率之和为1可得.

【详解】由题意：，

可得：.

故选：D.

2．在等差数列中，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用等差中项的性质求出，再利用等差中项的性质可求得的值.

【详解】在等差数列中，，则，因此，.

故选：D.

3．在等比数列中，，且，则的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等比中项的性质求出的值，求出等比数列的公比，进而求出的值，再利用等比数列求和公式可求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，则，且对任意的，，

由可得，解得，

因为，则，所以，，

因此，的前项和为.

故选：C.

4．的展开式中的系数为（    ）

A．60 B．24 C． D．

【答案】B

【分析】首先写出展开式通项，再考虑通项与相乘得到含的项，即可得系数.

【详解】由的展开式通项为，

所以的展开式项为，

故系数为.

故选：B

5．已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二项式展开式的特点，即可求解.

【详解】，所以，

故选：C

6．已知，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.

【详解】因为，则，所以，，，

因此，曲线在点处的切线方程为，即.

故选：A.

7．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】本题首先可以根据题意确定个数中的阳数和阴数，然后求出任取个数中有个阳数以及任取个数中有个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.

【详解】由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，

若任取个数中有个阳数，则，

若任取个数中有个阳数，则，

故这个数中至少有个阳数的概率，

故选：C.

【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的个物品（包括个指定物品）中抽取个物品，若抽取的个物品中有个指定物品，则概率，考查计算能力，是中档题.

8．已知奇函数是上的增函数，，若，，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的单调性和奇偶性求出函数的单调性和奇偶性，进而判断即可求解.

【详解】因为奇函数是上的增函数，

所以，且.

又因为，所以当时，，

当时，，因为，

所以是上偶函数，

当时，因为，所以函数在上单调递增，

根据函数的奇偶性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

又因为，所以，

则，所以，

故选：D.

二、多选题

9．关于的展开式，下列判断正确的是(    )

A．展开式共有8项 B．展开式的各二项式系数的和为128

C．展开式的第7项的二项式系数为49 D．展开式的各项系数的和为

【答案】ABD

【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可．

【详解】展开式共有项，故A正确．

展开式的各二项式系数的和为，故B正确．

展开式的第7项的二项式系数为，故C错误．

展开式的各项系数的和为，故D正确．

故选：ABD．

10．已知函数，.下列结论正确的是（    ）

A．函数不存在最大值，也不存在最小值 B．函数存在极大值和极小值

C．函数有且只有1个零点 D．函数的极小值就是的最小值

【答案】BCD

【分析】利用导数研究函数的单调性，作出图形，求出函数的最小值，结合函数零点、极值的概念依次判断选项即可.

【详解】，则，

令，令或，

所以函数在上单调递减，在和上单调递增，

且，，如图，

所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，

极小值即为最小值，且函数有且只有一个零点0.

故选：BCD.

11．甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（    ）

A．事件与事件相互独立 B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由全概率公式可计算得到D正确；根据贝叶斯公式可知B正确；根据可知C错误；由可知A错误.

【详解】由题意知：，，，，，，

，D正确；

，B正确；

，C错误；

，，

，事件与事件不相互独立，A错误.

故选：BD.

12．已知数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论多小），总存在正整数，使得时，恒有成立，就称数列收敛于（极限为），即数列为收敛数列.下列结论正确的是（    ）

A．数列是一个收敛数列

B．若数列为收敛数列，则，使得，都有

C．若数列和为收敛数列，而数列一定为收敛数列

D．若数列和为收敛数列，则数列不一定为收敛数列

【答案】ABC

【分析】根据新定义证明是一个收敛数列，A正确，取得到B正确，证明、一定为收敛数列，得到C错误D正确，得到答案.

【详解】对选项A：存在，取，，当时，，

则是收敛数列，A正确；

对选项B：当时，，则，

当时，中最大的项为，取，则，B正确；

对选项C：对任意的，取，当时，恒有，

当时，，

故当时，

则，故数列一定为收敛数列，

C正确；

对选项D：对任意的，令，取，

当时，恒有，当时，恒有，

故当时，则

，

故数列一定为收敛数列，D错误.

故选：ABC

【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用数列的新定义，构造类似的关系，是解题的关键.

三、填空题

13．某活动小组有4男3女共7名学生在博物馆参观后排队合影留念．若这7人排成一排，且3名女生互不相邻，则共有        种不同的排法．

【答案】1440

【分析】根据题意，女生互不相邻，属于不相邻问题，所以先排其他人，再把女生插入排好的空档中即可.

【详解】先把四个男生排成一排有种排法，在每一种排列中有五个空档（包括两端），再把三个女生插入空档中有种方法，所以共有种不同方法.

故答案为：1440.

14．花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为        ．

【答案】/

【分析】使用条件概率进行计算即可.

【详解】设事件“两束花是同一种花”，事件“两束花都是郁金香”，

则积事件“两束花都是郁金香”，

事件中样本点的个数为，

积事件中样本点的个数为，

∴已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为

.

故答案为：.

15．在国际自然灾害中，中国救援力量为挽救生命做出了重要贡献，完美地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．某国际救援团队拥有6个医疗小组和8个抢险小组，现分别去两个受灾点执行救援任务，每个救援点至少需要2个医疗小组和4个抢险小组，则不同的分配方式一共有        种．（用数字作答）

【答案】3500

【分析】先分医疗小组再分抢险小组，按小组数先分组后分配即可求得答案.

【详解】第一步分配医疗小组，先按2：4或3：3分两组再分配到两个受灾点，共有；

第二步分配抢险小组，只能按4：4分组再分配到两个受灾点，共有，

因此，共有种，

故答案为：3500

16．已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范图是      .

【答案】

【分析】求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为，根据恒成立的思想可得，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果.

【详解】，

即为，

整理得到，

即，使得恒成立，

（当且仅当，即时取等号），

，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决恒成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过基本不等式求解函数最值得到结果.

四、解答题

17．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，，.

(1)求；

(2)求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由正弦定理将条件等式角化边，再由余弦定理求解即可；

（2）先求出，再用正弦定理求出，然后求和，即可求出的面积.

【详解】（1）∵，

∴由正弦定理得，即，

∴由余弦定理，，

又∵，

∴.

（2）∵，∴，

由第（1）问，，∴，

又∵，∴，

∴在中，由正弦定理，，∴，

又∵，∴，

∴的面积.

18．己知的前项和.

(1)求数列的通项公式

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可求得数列的通项公式；

（2）求出，当时，计算得出，利用裂项相消法可求得，然后检验是否满足在时的表达式，即可得出的表达式.

【详解】（1）解：当时，，

当时，，

不满足，

因此，.

（2）解：，

当时，，

则，

也满足，

故对任意的，.

19．如图1，在梯形ABCD中，，，，E为CD中点，将沿AE翻折，使点D与点P重合，如图2．

(1)证明：PB⊥AE；

(2)当二面角等于时，求PA与平面PEC所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，取AE中点为O，连接PO，BO，BE，由线面垂直的判定定理可得平面POB，从而证明PB⊥AE；

（2）根据题意，以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.

【详解】（1）证明：取AE中点为O，连接PO，BO，BE，

由题可知，，又，所以，

所以，，

又平面POB，

所以平面POB，

又因为平面POB，所以．

（2）

因为二面角等于，所以平面PAE⊥平面ABCE，

平面平面ABCE＝AE，因为PO⊥AE，所以PO⊥平面ABCE，

所以OA，OB，OP两两垂直．

以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，

不妨设AB＝2，由已知得，所以，，

则，，，，，，，，

设平面PEC的法向量，则，

取平面PEC的一个法向量，

设PA与平面PEC所成角为，则，

即PA与平面PEC所成角的正弦值为．

20．2023年春节期间，电影院有多部新片上映，某传媒公司调查了消费者的购票途径，数据显示超八成用户选择线上购买电影票，已知有A，B，C，D，E，F，G，H这8个线上购票平台，现随机抽取了200名线上消费者并统计他们在这8个平台上购买春节档电影票的人数（假设每个消费者只选用一个购票平台购买春节档电影票）以及曾经使用过这8个平台购买电影票的人数（每个消费者可用多个平台购买电影票），得到如下表格：

(1)把样本消费者中曾经在每个平台上购买电影票的频率作为线上消费者在相应平台上购买电影票的概率，从所有线上消费者中随机抽取4人，求恰有2人在C平台上购买电影票的概率．

(2)现从样本中在A，D，E平台上购买春节档电影票的消费者中按照分层抽样的方法抽取n个人，已知抽取的在A平台上购买春节档电影票的人数比在D平台与E平台上购买春节档电影票的人数之和少2．

①求n的值；

②从抽取的n个人中再随机抽取4人，记这4人中在E平台上购买春节档电影票的人数为X，求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)① ；②分布列见解析；期望为

【分析】（1）n次独立重复实验求解即可；

（2）先应用分层抽样再根据超几何分布列分布列求数学期望即得.

【详解】（1）由题可得线上消费者在C平台上购买电影票的概率为，所以从所有线上消费者中随机抽取4人，恰有2人在平台上购买电影票的概率为．

（2）①设按照分层抽样的方法抽取的在A平台上购买春节档电影票的人数为4x，则抽取的在D平台与平台上购买春节档电影票的人数之和为6x，所以，得，所以．

②由题及①易知抽到的10个人中，在平台上购买春节档电影票的人数为3，所以X的所有可能取值为0，1，2，3．

 ，

，

，

，

所以的分布列为

．

21．乒乓球是中国的国球，我国选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军，乒乓球运动也深受人们的喜爱．乒乓球主要有白色和黄色两种，国际乒联将球的级别用星数来表示，星级代表质量指标等级，星级越高质量越好，级别最高为“☆☆☆”，即三星球，国际乒联专业比赛指定用球，二星球适用于国内重大比赛及国家队专业训练，一星球适用于业余比赛或健身训练．一个盒子装有9个乒乓球，其中白球有2个三星“☆☆☆”，4个一星“☆”，黄球有1个三星“☆☆☆”，2个一星“☆”

(1)逐个无放回取两个球，记事件{第一次白球}，事件{第二次三星球}，求，并判断事件A与事件B是否相互独立；

(2)逐个无放回取球，取出白球即停止，取出的三星球数记为随机变量X，求随机变量X的分布列及期望．

【答案】(1)，相互独立

(2)分布列见解析，

【分析】（1）分别计算，，，根据是否成立判断事件A与事件B是否相互独立；

（2）可能取值为,分别计算 列出分布列并求期望.

【详解】（1）“第二次三星球”的概率：（或）

“第一次白球且第二次三星球”的概率：（或）

“第一次白球”的概率：，

所以.

因为成立,所以事件与事件相互独立.

（2）可能取值为,

,

,

,

(或),

分布列为

所以.

22．已知函数.

(1)若，试讨论函数零点的个数；

(2)若函数恰有两个零点，，证明：.

【答案】(1)详见解析；

(2)详见解析.

【分析】（1）求导，求得取得最大值，再分和讨论求解；

（2）根据（1）的结论，研究时的情况，在， 上各有一个零点，即，再将要证，结合在上递减和，转化为，然后令，用导数法证明；

【详解】（1）解：因为，

所以，

当时，，在上递增；

当时，，在上递减，

所以当时，取得最大值，

当时，，则函数无零点，

当时，，函数有一个零点；

综上：当时，，则函数无零点，

当时，，函数有一个零点.

（2）由（1）知：当时，，则函数无零点，

当时，，函数有一个零点.

当时，， ，

，，

当时，，在 上递增；

当 时，， 在上递减；

所以，则 ，

所以在， 上各有一个零点；

则，且，

要证，则证，

因为在上递减，

所以只需证，又，

只需证，

令，

则，

则，

设，则，

所以在上递增，则，即，

则在上递减，则，即，

即，则.

【点睛】思路点睛：本题第二问基本思路是：结合（1）的结论，根据函数恰有两个零点，，得到，且，将要证，结合在上递减，转化为证，由，转化为，令而得解.

23．已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．

(1)求椭圆C的方程．

(2)不经过点A且斜率为的直线与椭圆C相交于P ，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

【答案】(1)

(2)定值为

【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出 ；

（2）设直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明.

【详解】（1）由题可知，  ，解得， ，故椭圆C的方程为；

（2）直线l的方程为，

联立方程组整理得，

则 ，

由题意，必须有 ，即 必须满足 ，

此时，．

，

整理得，

因为l不经过点A，所以，所以，即，

故k为定值，且该定值为；

综上，椭圆C的方程为，k为定值，且该定值为.

【点睛】在计算过程中，是对直线l的k和m的一个约束，因为l必须经过椭圆C内部的点；对的因式分解比较难，不容易看出.