2022-2023学年广东省佛山市禅城实验高级中学高二下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年广东省佛山市禅城实验高级中学高二下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的（    ）

A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项

【答案】B

【分析】将改写成的形式，即可确定它是这个数列的第几项.

【详解】因为题中数列的第项为，

而，

所以是题中数列的第23项.

故选：B.

2．下列函数的求导运算中，错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据基本初等函数求导公式求解.

【详解】由基本初等函数的导数公式可知，，，，，故ABD正确，C错误.

故选：C

3．已知数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用累加法可求得的值.

【详解】由已知，

，，，，

上述等式全加可得，.

故选：D.

4．数列中，，（为正整数），则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合递推式特征，利用累乘法算出，进而可得答案.

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：A

5．数列满足，若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】由的值确定该数列为周期数列，进而由周期性得出.

【详解】由，则，，.

故数列是以3为周期的周期数列，则.

故选：B.

6．已知函数，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求导得到，函数单调递增，得到大小关系.

【详解】，故，所以在上递增，

，所以，

故选：D

7．某同学完成假期作业后，离开学还有10天时间决定去某公司体验生活，公司给出的薪资有三种方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，为了使体坛生活期间的薪资最多，下列方案选择错误的是（    ）

A．若体验7天，则选择方案① B．若体验8天，则选择方案②

C．若体验9天，则选择方案③ D．若体验10天，则选择方案③

【答案】B

【分析】根据等差数列与等比数列求和公式得出各天各方案的薪资，比较大小即可对选项一一判断.

【详解】对于A：体验7天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验7天，则选择方案①薪资最多，故A正确；

对于B：体验8天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验8天，则选择方案①薪资最多，故B错误；

对于C：体验9天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验9天，则选择方案③薪资最多，故C正确；

对于D：体验10天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若体验10天，则选择方案③薪资最多，故D正确；

故选：B.

8．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题知过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可.

【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.

设切点为，，

所以，切线斜率为，

由题知得或（舍），

所以，，此时点到直线距离.

故选：C

二、多选题

9．已知公差为的等差数列中，其前项和为，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用等差数列的通项公式和前项和的性质，列方程求出公差，即可得数列通项,验证各选项是否正确.

【详解】公差为的等差数列中，其前项和为，且，

则，所以，A选项正确；

，B选项正确；

，C选项正确；

，，D选项错误.

故选：ABC

10．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】利用导数的几何意义求解即可

【详解】设切点为，

由，得，

所以，得，解得或，

所以切点坐标为或，

故选：AC

11．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】先求出，，判断出，得到等差数列为递增数列，利用等差数列的性质对四个选项一一验证.

【详解】因为，所以，，

所以.故A错误，B正确；

因为，所以等差数列为递增数列.

因为，所以，，

所以.故C正确；

因为，所以.故D正确.

故选：BCD

12．若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据题意，分点是切点与点不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到的值.

【详解】由题意可得，，

因为在直线l上，当为的切点时，

则，所以直线l的方程为，

又直线l与相切，

所以满足，得；

当不是的切点时，

设切点为，

则，

所以，得，

所以，所以直线的方程为.

由，得，

由题意得，所以.

综上得或.

故选:AB

三、填空题

13．函数在处的导数为        ．

【答案】

【分析】先用幂函数的求导公式求出导函数，再令即可求出答案

【详解】因为，

所以.

故答案为：

14．数列是等差数列，，，则数列的前100项和等于        ．

【答案】

【分析】根据等差数列的求和公式求解.

【详解】因为，，

所以，

故答案为：

15．已知数列满足，，则该数列的通项公式      ．

【答案】

【分析】利用递推关系式可得，从而得到为等比数列；利用等比数列通项公式求得，进而得到.

【详解】由得：

数列是以为首项，为公比的等比数列

【点睛】本题考查根据递推关系式求解数列的通项公式，关键是能够通过递推关系式配凑出等比数列的形式，利用等比数列通项公式求得结果.

16．设，则满足在上恒正的是          .（填写序号）

①；②；③；④.

【答案】①③

【分析】求导，根据题意逐项分析运算.

【详解】对①：，则，

故在上恒成立，①成立；

对②：，则，

故在上恒成立，在上恒成立，②不成立；

对③：，则，

故在上恒成立，③成立；

对④：由，解得，

故的定义域为，

则，故在上恒成立，④不成立；

故答案为：①③.

四、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的导数；

(2)求曲线在点处的切线方程

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数的乘法运算法则进行求解即可；

（2）先利用导数求出切线的斜率，然后用点斜式即可求解

【详解】（1）

（2）因为，又过点，

所以切线方程为，

即.

18．已知公比大于1的等比数列满足，，．

(1)求数列的通项公式

(2)记，求的前项和

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等比数列的公比为，则，根据等比数列的通项公式列方程求解的值，即可得数列的通项公式；

（2）求得，由错位相减法的步骤计算的前项和即可.

【详解】（1）设等比数列的公比为，则，

又，，

所以，解得，

所以的通项公式为.

（2）由（1）可得，所以，

则，

，

两式相减可得：，

∴.

19．在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式;

(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和.

【详解】（1）由于是等差数列,设公差为,

当选①②时:,解得,

所以的通项公式.

选①③时:,解得,

所以的通项公式.

选②③时:,解得,

所以的通项公式.

（2）由(1)知,,

所以,

所以

.

20．已知等差数列的前项和为，，，且．数列满足

(1)求的值；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）根据题意求得数列的前3项，利用，求得；

（2）求得数列的公差，得到，解得，结合并项法及等比数列的求和公式

求和即可.

【详解】（1）等差数列的前项和为，

可得，

因为，可得，解得.

（2）由，

所以等差数列的公差为，

所以，

因为，所以，

所以，

所以数列的前项和：

，

21．某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量（公斤）和开园的第天满足以下关系：.批发销售每天的销售量为200公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍.

(1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？

(2)采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？

【答案】(1)

(2)1327公斤，不能完成销售计划

【分析】（1）分段讨论计算采摘零售当天的收入:，批发销售当天的收入，列不等式求解即可；

（2）当时，采摘零售量为数列的和，当时，采摘零售量为数列的和， 两者之和为采摘零售的总采摘量，再加上批发销售的销售总量后判断是否超过6500公斤.

【详解】（1）由条件，当时，，解得

当时，，解得，

所以，采摘零售当天的收入不低于批发销售的收入.

（2）不能.当时，为等差数列，记这些项的和为，.

当时，记数列这些项的和为，

，即采摘零售的总采摘量是1327公斤.

批发销售的销售总量为公斤，24天一共销售公斤，故不能完成销售计划.

22．已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若存在唯一的零点，且，求 的取值范围.

【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】（1）根据，得到，求导，由求得增区间，求得减区间.

（2）当时，，的零点是，由不成立，当时，，再分，讨论求解.

【详解】（1）因为，则，，

令，解得.

当时，；当时，.

故在，上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，，的零点是，不符合题意.

当时，，

当时，在上单调递增，所以，不符合题意，

当时，令，解得，

在，上单调递增，在上单调递减.

若存在唯一的零点，且，则，解得.

综上， 的取值范围为.

【点睛】本题考查导数与函数的单调性，导数与函数的零点，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.