2022-2023学年山东省烟台市莱州市第一中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省烟台市莱州市第一中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．函数，则（    ）

A．4 B．2 C．8 D．6

【答案】B

【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代相应的对应关系

【详解】因为，

所以.

故选：B

2．设函数，且，则（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据得出关于的等式，即可解出实数的值.

【详解】，则，

所以，，解得.

故选：D.

【点睛】本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.

3．已知函数，且，则实数的值等于（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；

【详解】令，解得或由此解得，

故选：D

4．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的运算法则求导后判断．

【详解】，A错；

，B错；

，C正确；

，D错．

故选：C．

5．“”是“函数的定义域为R”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求出“函数的定义域为R”时对应a的范围，记为集合B, 记集合,利用集合法进行判断.

【详解】因为函数的定义域为R，所以对任意恒成立.

i.时，对任意恒成立；

ii. 时，只需，解得：；

所以.

记集合,.

因为A B,所以“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.

故选：B.

6．若直线与曲线（，为自然对数的底数）相切，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出切点，利用导数几何意义，列出方程，即可求得参数.

【详解】不妨设切点为，因为，

故可得，，，

解得，故可得，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查导数的几何意义，属基础题.

7．已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　　）

A．（0，1）和（4，+∞） B．（0，2）

C．（﹣∞，0）和（1，4） D．（0，3）

【答案】A

【分析】结合函数图象，求出f′（x）﹣f（x）＜0成立的x的范围即可．

【详解】根据导函数和函数的关系可判断两函数如图：

结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，

所以，

故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，

故选：A

8．实数满足，，，则，，的大小为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用其单调性判定即可.

【详解】设，则，令，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

由条件可知，

且，，，故有，

如下图所示，作出函数简图，可知，由，

故选：D

二、多选题

9．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象，根据图象判断以下说法正确的是（    ）

A．曲线在附近增加

B．曲线在附近减少

C．曲线在附近比在附近增加的缓慢

D．曲线在附近比在附近增加的缓慢

【答案】AD

【分析】根据二次函数图象及导数的几何意义一一判断即可.

【详解】对于A、B选项，由图象可知，在与附近均增加，故A正确，B错误；

对于C、D选项，由图象及二次函数的单调性可知，

与均在对称轴左侧，函数单调递增，

但增加的趋势逐渐趋于平缓，且，，故C错误，D正确.

故选：AD

10．已知是定义在R上的函数，函数图像关于y轴对称，函数的图像关于原点对称，则下列说法正确的是（    ）

A． B．对，恒成立

C．函数关于点中心对称 D．

【答案】BCD

【分析】根据条件判断函数的对称性和周期性，利用相关性质判断选项即可．

【详解】∵函数的图像关于y轴对称，∴函数的图像关于直线对称，

，则，

∵函数的图像关于原点对称，∴函数的图像关于点中心对称，，

，则，C选项正确；

，，故，B选项正确；

，D选项正确；

没有条件能确定，A选项错误.

故选：BCD.

11．下列关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．为偶函数 B．在上单调递减

C．的值域为 D．的值域为

【答案】ABD

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A；去绝对值分离常数可得函数的单调性即可判断B；根据单调性与奇偶性可判断C、D.

【详解】由题意,为偶函数，选项A正确．

当时，为单调递减函数，选项B正确．

当时，为单调递减函数，则，

因为函数为偶函数，当时，，选项D正确，C不正确．

故选：ABD．

12．已知函数，若，其中，则（    ）

A． B．

C． D．的取值范围为

【答案】BCD

【分析】对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断A；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断C，D；结合A和C即可判断B．

【详解】因为，所以，

令，解得或，

当时，或，所以单调递增区间为和；

当时，，所以单调递减区间为，

的图象如右图所示，

设，则，，故A错误；

又，所以，

即，

对照系数得，故选项C正确；

，故选项D正确；

因为，所以，解得，故选项B正确．

故选：BCD．

【点睛】关键点点睛：先利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再利用数形结合求解是解答本题的关键．

三、填空题

13．函数的定义域为，若，则的取值范围是          ．

【答案】

【分析】转化条件为，即可得解.

【详解】由于，所以解得或.

所以的取值范围是.

故答案为：

14．函数在区间上的最小值是      ．

【答案】

【分析】判定函数的单调性即可得出结果.

【详解】由和在区间上单调递增，可知在区间上单调递增，故.

故答案为：

15．已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是            ．

【答案】

【分析】先求出时，的值域为；再分类讨论，分别求出在上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可.

【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为；

当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴.

i.若，则二次函数的最小值为.

要使的值域为R，只需：，解得：.

所以；

ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为.

要使的值域为R，只需：，解得：.

所以；

综上所述：实数t的取值范围是.

故答案为：

16．已知直线y＝b与函数f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分别交于A，B两点，若AB的最小值为2，则a+b＝       .

【答案】2.

【分析】设A（x1，b），B（x2，b），则2x1+3＝ax2+lnx2＝b，表示出x1，求出|AB|，利用导数，结合最小值也为极小值，可得极值点，求出最小值，解方程可得a＝1，再求得b和a+b．

【详解】设A（x1，b），B（x2，b），可设x1＜x2，

则2x1+3＝ax2+lnx2＝b，

∴x1（ax2+lnx2﹣3），

∴|AB|＝x2﹣x1＝（1a）x2lnx2，

令y＝（1a）xlnx，

则y′＝1•（x＞0），

由|AB|的最小值为2，

可得2﹣a＞0，

函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

∴x时，函数y取得极小值，且为最小值2，

即有（1a）•ln2，即得ln0

解得a＝1，

由x2＝1，

则b＝ax2+lnx2＝1+ln1＝1，

可得a+b＝2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查了两函数图象间的距离最小值的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，是综合题．

四、解答题

17．已知函数是上的奇函数，当时，.

(1)当时，求解析式；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据奇函数性质求解即可；

（2）先判断函数在上的增减性，再由奇函数性质得到，

根据单调性解抽象不等式即可.

【详解】（1）因为函数是上的奇函数，当时，，

所以当时，， 所以，

因为，所以，

故当时， .

（2）由（1）知，，

当时，，易知此时函数单调递增，由奇函数性质得，

当时，也单调递增，所以函数是上的增函数，

因为，所以，

即，又因为函数是上的增函数，

所以，解得.

故实数的取值范围为：.

18．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.

【答案】（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或

【分析】（1）求出函数导数，由题可得即可求出；

（2）求出在的最大值即可建立关系求解.

【详解】（1），，

在与时都取得极值，

，解得，

，

令可解得或；令可解得，

的单调递增区间为和 ，单调递减区间为；

（2），

由（1）可得当时，为极大值，而，

所以，

要使对恒成立，则，解得或.

19．已知函数.

（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；

（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先对函数求导，再根据在处的切线斜率可得到参数的值，然后代入，求出的值，则即可得出；

（2）根据函数在上是增函数，可得，即恒成立，再进行参变分离，构造函数，对进行求导分析，找出最小值，即实数的最大值．

【详解】解：（1）由题意，函数.

故，

则，

由题意，知，即.

又，则.

，即.

.

（2）由题意，可知，即恒成立，

恒成立.

设，则.

令，解得.

令，解得.

令，解得x.

在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值.

.

，

故的最大值为.

【点睛】本题主要考查利用某点处的一阶导数分析得出参数的值，参变量分离方法的应用，不等式的计算能力．本题属中档题．

20．某工厂某种产品的年产量为吨，其中，需要投入的成本为（单位：万元），当时，；当时，．若每吨商品售价为万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（Ⅰ）写出年利润（单位：万元）关于x的函数关系式；

（Ⅱ）年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）50000吨.

【分析】（Ⅰ）根据题意分，即可得出答案；

（Ⅱ）当时，求导，求出函数的单调区间，根据函数的单调性即可求出最大值，当时，直接根据函数的单调性求出最大值，然后比较两种情况下的最大值即可得出答案.

【详解】解：（Ⅰ）由题意，

（Ⅱ）当时，，

由，得；由，得，

在上单调递增，在上单调递减，

当时，；

当时，单调递增，

．

，

当，即年产量为50000吨时，利润最大，最大利润为万元．

21．已知函数，其中．

(1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)对，，使得，且，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）因为在R上单调递增，所以可得答案；

（2）当时，在R上单调递增不满足题意；当时，由，得．利用单调性可得，即对任意恒成立，令，转化为对恒成立，

求出，分、，利用的单调性可得答案.

【详解】（1）

因为f（x）在R上单调递增，且在上单调递增，所以在单调递增，且，

所以对恒成立．

因为，所以，．

（2）当时，由（1）知，f（x）在R上单调递增，不满足题意，∴，

此时，当时，，

所以在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增．

因为，所以，

又，所以，

因为在单调递减，所以，

又，所以，

所以，

即对任意恒成立，

由，得，

即，

令，

转化为对恒成立，，

因为，

当时，，，所以在单调递减，

所以，满足题意，

当时，时，，在单调递增，

所以，，不满足题意，

综上，．

【点睛】对于函数恒成立求参数的问题，可以直接法利用导数求参数的范围，还可以分离参数，再构造函数，利用导数求新函数的最值可得答案.

22．已知函数．

(1)证明：在区间存在唯一的极值点；

(2)试讨论的零点个数.

【答案】(1)证明见解析

(2)有且只有2个零点

【分析】（1）求出函数的导数，判断其单调性，结合零点存在定理，判断其零点情况，即可证明在区间存在唯一的极值点；

（2）分区间讨论，讨论函数的导数在区间内的正负情况，从而判断函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断函数的零点情况.

【详解】（1）证明：函数的定义域为，导函数为,

当时，，所以在单调递减．

又因为

，，

根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点．

当时，；当时，,

因此，在单调递增，在单调递减，

故在区间存在唯一的极值点；

（2）令，则．当时，；

当时，．因此，在单调递增，在单调递减．

由于，且当时，，

故当时，，从而在区间没有零点．

当时，，从而，

在单调递减．又，

根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点．

当时，由（1）知在单调递增，在单调递减．

又，

根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点,

综上所述，有且只有2个零点．

【点睛】本题考查用导数判断函数的极值点以及函数的零点个数问题，综合考查学生应用导数知识的能力和数学素养，解答时要明确导数与函数的极值以及零点之间的关系问题，能用导数灵活判断函数的单调性.