2022-2023学年山东省泰安市宁阳县第四中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省泰安市宁阳县第四中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．下列导数运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则逐项计算即可判断.

【详解】；；；.

故选：D.

2．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围为

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【详解】因为函数恰好有三个单调区间，

所以有两个不等零点，则，解得或.故选D.

3．现有种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】将原图从上而下的个区域标为、、、，分类讨论、同色与不同色这两种情况，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.

【详解】将原图从上而下的个区域标为、、、，

因为、、之间不能同色，与可以同色，因此，要分类讨论、同色与不同色这两种情况.

①若、同色，则区域、有种选择，区域有种选择，区域有种选择，由分步乘法计数原理可知，此时共有种涂色方法；

②若、不同色，则区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择，区域只有种选择，此时共有种涂色方法.

故不同的着色方法种数为.

 故选：D.

【点睛】本题考查涂色问题，涉及分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.

4．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由超几何分布概率公式可得.

【详解】由题可知，服从超几何分布，

所以.

故选：A

5．已知随机变量服从正态分布，则下列选项不正确的是（    ）（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据正态分布的性质及原则，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】∵随机变量服从正态分布，

∴，

∴，故A正确；

，故B正确；

根据题意可得，，，

∴，故C正确；

，故D错误．

故选：D．

6．设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为（ ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【详解】试题分析：因为曲线上任一点处切线斜率为，则可知g(x）=cosx,因此可知函数，可知函数为偶函数．故排除选项A,B，然后看选项C,D，当x取正数且趋近于0时，函数值也趋近于0，故选C．

【解析】本试题考查了函数图像的运用．

点评：解决该试题的关键是能通过解析式分析函数的奇偶性和对称性，以及特殊点的函数值，利用这些知识来逐一的判定，属于基础题．

7．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.

【详解】依题意得所拨数字共有种可能．

要使所拨数字大于200，则

若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，

有种；

若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，

有种，

则所拨数字大于200的概率为，

故选：B．

【点睛】本题考查排列组合的应用，求古典概型概率，涉及分类讨论的思想，属于中档题.

8．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为为偶函数，故的图象关于对称，可得的图象关于对称，可得，设，求，进而判断单调性，将等于，即可求得答案.

【详解】为偶函数，

的图象关于对称，

的图象关于对称，

，

又，

，

设，

则，

，

，

，

在定义域上单调递减，

等价于.

又，

不等式的解集等于的解集，

又在上单调递减，

，

的解集为，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了求解函数不等式，解题关键是掌握构造函数求解函数不等式的方法和根据导数判断单调的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

二、多选题

9．如图所示，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（    ）

A．相关系数r变大

B．残差平方和变大

C．相关指数R2变小

D．解释变量x与预报变量y的相关性变强

【答案】AD

【分析】由散点图知，去掉离群点D后，x与y的相关性变强，且为正相关，由此判断即可．

【详解】由散点图知，去掉离群点D后，x与y的相关性变强，且为正相关，

所以相关系数r的值变大，相关指数R2的值变大，残差平方和变小．

故选：AD．

10．对任意实数x，有则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD，转化法求指定项的系数判断选项B.

【详解】由，

当时，，，A选项错误；

当时，，即，C选项正确；

当时，，即，D选项正确；

，由二项式定理，，B选项正确.

故选：BCD

三、单选题

11．已知函数，使在定义域内恒成立的充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求函数的导函数，利用导数求得函数的最小值，由最小值大于，求出参数的取值范围，再找到其一个真子集即可．

【详解】因为，，

所以，

当时，，函数在上为减函数，

又当时，，，所以，不满足在定义域内恒成立；

当时，由，解得，

当时，，当时，，

所以当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，

所以=＝

由，得，即，

所以的取值范围是，

又真包含于，

即可得到使在定义域内恒成立的充分不必要条件可以是.

故选：B．

四、多选题

12．口袋中有个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，若取到红球，则继续取球，且取出的红球不放回；若取到白球，则停止取球．记取球的次数为，若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】根据概率公式求得事件的概率，从而可求得，然后求出的分布列，由此可得和，从而判断各选项．

【详解】事件，即为第一次取得红球，第二次取得白球，因此，由于是正整数，故解得，

由题意可知的可能值依次为，

，，，

的分布列为

，

，

因此ABC正确，D错误．

故选：ABC．

五、填空题

13．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）；

【答案】90

【详解】先选三个不同场馆中只去一名志愿者，共有种选法；

剩下的两个场馆只需各取两名志愿者，共有种选法，

由乘法原理得分配方案有种．

六、双空题

14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X的均值为        个，方差为        ．

【答案】          /

【分析】根据二项分布的期望和方差公式可得.

【详解】由题可知，，

所以，.

故答案为：；

七、填空题

15．用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，表示被检验者患肝癌，表示判断被检验者患肝癌．由于种种原因使检验方法带有误差．假定，，又设人群中患肝癌的比例为．现在若有一人被此法诊断为患肝癌，则此人真正患肝癌的概率        ．（结果保留两位有效数字）

【答案】

【分析】根据全概率公式求出，再根据条件概率的概率公式计算可得.

【详解】因为，所以，

由，则，

又，所以，

所以

现在若有一人被此法诊断出患肝癌，则此人真正患肝癌的概率为：．

故答案为：

16．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是        ．

【答案】

【分析】由奇偶性定义确定函数的奇偶性，由导数确定函数的单调性，然后利用奇偶性与单调性解函数不等式．

【详解】由题意的定义域是，

，∴是奇函数，

，当且仅当时等号成立，

∴是增函数，

不等式化为，

因此，解得．

故答案为：．

八、解答题

17．对某校小学生进行心理障碍测试得到如下列联表：

将表格填写完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断心理障碍与性别有关？

【答案】表格见解析，能认为心理障碍与性别有关联

【分析】完善列联表，计算出卡方，即可判断.

【详解】依题意可得列联表如下：

零假设为：心理障碍与性别无关联．

所以，

所以依据的独立性检验，能认为心理障碍与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.

18．已知．

(1)当时，求：

①展开式中的中间一项；

②展开式中常数项的值；

(2)若展开式中各项系数之和与各二项式系数之和的和为272，求展开式中含项的系数．

【答案】(1)①中间项为；②常数项为375；

(2)150.

【分析】（1）①写出展开式通项公式，确定中间项为第4项，，由此可得；②由的指数为0求得得常数项；

（2）由展开式通项公式的指数为1求得，从而可得结论．

【详解】（1）①由已知，展开式通项公式为，

中间项是第4项，，即；

②由得，∴常数项为；

（2）由题意，解得．

，由得，

因此展开式中含项的系数为．

19．甲盒有标号分别为1，2，3的3个红球，乙盒有标号分别为1，2，3，4的4个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球．

(1)求抽到红球和黑球的标号都是奇数的概率；

(2)现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，记其标号的差的绝对值为X，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)抽到红球和黑球的标号都是奇数的概率为；

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）由独立事件的概率公式即可得到答案；

（2）的所有可能取值为0,1,2,3，分别计算概率，于是得到分布列和数学期望.

【详解】（1）由题意，抽到红球是奇数的概率为，抽到黑球是奇数的概率为，

因为两次抽取是相互独立事件，

所以由独立事件的概率公式，得抽到红球和黑球的标号都是奇数的概率为，

所以抽到红球和黑球的标号都是奇数的概率为；

（2）由题意，的所有可能取值为0,1,2,3

故的分布列为

故的数学期望为

20．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中．

(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润与的关系为．根据（2）的结果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．

【答案】(1)

(2)

(3)；.

【分析】（1）根据散点图，选择更适宜；

（2）令，拟合函数化为线性回归方程，由题中提供的公式以及数据，即可求解；

（3）（i）由（2）知，当时，年销售量的预报值为，年利润的预报值为；（ii）根据（2）的结果知，年利润的预报值，求二次函数的最值即可.

【详解】（1）根据散点图判断，

更适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；

（2）令，，

由表可知：，

；

所以关于的回归方程为：

；

（3）（i）由（2）知，当时，年销售量的预报值为，

年利润的预报值为.

（ii）根据（2）的结果知，年利润的预报值

，

当，即时，年利润的预报值最大，

故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.

21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．

【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.

再由，得，因此.

而建造费用为

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

（Ⅱ），令，即.

解得，（舍去）.

当时，，当时，，故是 的最小值点，对应的最小值为．

当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．

22．设函数

(1)若在，x处取得极值，

 ①求a、b的值；

 ②在存在，使得不等式成立，求最小值

(2)当b＝a时，若在上是单调函数，求a的取值范围．

（参考数据，）

【答案】(1)①；②．

(2)

【分析】（1）①先对函数进行求导，根据函数在取得极值，则，代入可求a，b的值．

②转化为，从而求函数在区间上的最小值，从而求c的值

（2）此时，

先说明当符合条件，当时，分讨论在上的正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a的取值范围.

【详解】（1）①∵，∴．

∵在x＝1，x处取得极值，∴

即，解得，

∴所求a、b的值分别为；

②在存在，使得不等式成立，只需，

由，

∴时，，故在是单调递减；

当时，，故在是单调递增；

当时，，故在是单调递减；

∴是在上的极小值．

，

且，

又，∴，

∴，∴，

∴c的取值范围为，

所以c的最小值为．

（2）当a＝b时，，

当时，．则在上是单调递增；

当时，∵，∴，∴，则在上是单调递增；

当时，设，只需，从面得，

此时在上是单调递减；

综上得，a的取值范围是．