2022-2023学年山东省枣庄市市中区第三中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省枣庄市市中区第三中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，美术不排在第四节，则该班周一上午不同的排课方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】C

【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理求解即可.

【详解】因为体育不排在第一节，美术不排在第四节，分两种情况安排，

体育在第四节时，其他三科则有种；

体育不在第四节，则体育有种，美术有种，其他两科有种，

所以共有种.

故选：C

2．某试验每次成功的概率为，现重复进行9次该试验，则恰好有2次试验未成功的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解.

【详解】由题意可知，重复进行9次该试验，恰好有2次试验未成功，

说明7次成功，2次未成功，所以所求概率为.

故选：D

3．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6

【答案】A

【分析】根据正态分布的对称性求解可得.

【详解】因为，且，所以，

又，所以.

故选：A

4．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至35℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据散点图的变化趋势，结合常见函数的性质特征可得.

【详解】由图可知，随着稳定的增加，发芽率的增长速度越来越慢，符合对数型函数的特征.

故选：D

5．若展开式的常数项等于 ，则（    ）

A．  B． C．2 D．3

【答案】C

【分析】先求出展开式中的系数，再乘以得展开式的常数项，解方程即可求解得答案.

【详解】解：展开式的通项公式为：，

所以当时，项的系数为：，

的展开式无常数项，

所以展开式的常数项为：，解得：

故选：C.

【点睛】本题考查二项式的常数项的求解，是中档题.

6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中不放回地依次取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据古典概型和条件概率公式可得.

【详解】记第一次取出的数为m，第二次取出的数记为n，

则，

，

，

所以，

所以，

，

所以.

故选：C

7．设,则除以的余数为

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】A

【分析】用二项式定理化简整理得到，分为奇数或偶数，得到余数.

【详解】=，当为奇数时，余数为，当为偶数时，余数为,

故选：A.

8．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用导数证明单调性，借助该函数得，再利用基本不等式得，进而得.

【详解】易得，，

令，

，

∴在上递减，

则，

∴，

故，

，

，

故，

故选：A.

二、多选题

9．对两个变量和进行相关关系和回归分析，得到一组样本数据：，其中和的均值分别为和．则下列说法中正确的是（    ）

A．由样本数据得到的回归直线方程至少经过点中的一个

B．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好

C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好

D．若变量和之间的相关系数为，则变量和之间具有线性相关关系

【答案】CD

【分析】A.由点不一定在回归直线上判断；B.由说明模型的拟合效果越好判断；C.由残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好判断；D.由相关系数的绝对值越大，则变量和之间相关性越强判断.

【详解】A. 由样本数据得到的回归直线方程，不一定经过中的点，故错误；

B.用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；

C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好，故正确；

D.若变量和之间的相关系数为，其绝对值越大，则变量和之间具有线性相关关系，且相关关系越强，故正确，

故选：CD

10．某校开展“音乐浸润，尚美育人”知识竞赛，甲组有8名选手，其中5名男生，3名女生；乙组有8名选手，其中4名男生，4名女生．现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，表示事件“从甲组抽取的是男生”，表示事件“从甲组抽取的是女生”，表示事件“从乙组抽取1名女生”，则（    ）

A．不是独立事件 B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据独立事件的定义可判定A选项；由互斥事件的概率可判定B选项；由条件概率判定CD选项即可.

【详解】对于A选项，从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，则事件会影响事件的概率，故不是独立事件，A选项正确；

对于B选项，，B选项正确；

对于C选项，当发生时，这时乙组有5男4女，从中抽取一个不是女生的概率为，故，故C选项错误；

对于D选项，当发生时，这时乙组有4男5女，从中抽取一个是女生的概率为，故，故D选项正确.

故选：ABD.

11．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（    ）

A．

B．已知，则等式对任意正整数都成立

C．设，则的个位数字是6

D．等式对任意正整数都成立

【答案】ABD

【分析】对A：根据运算求解；对B：可得，结合排列数分析运算；对C：根据组合数分析运算；对D：构建，利用的系数结合二项展开式的通项公式分析运算.

【详解】对A：由可知，

，

A正确；

对B：若，

则，

B正确；

对C： ，，

则，

故，

，其个位数字是0，

故的个位数字是9，C错误；

对D：的展开式通项为，

故展开式的的系数为，又，则，

同理可得：的展开式通项为，即展开式的的系数为，

由于，故，D正确；

故选： ABD

12．已知函数，若直线与曲线和分别相交于点，且，，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用导数研究f(x)和g(x)的单调性，画出图象，数形结合得出范围，利用和f(x)的单调性即可判断．

【详解】f(x)的定义域为R，，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

时，；；时，；

的定义域为，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

时，；；时，；

作出f(x)和g(x)图象，

易知，，且，

∵，∴，

∵，f(x)在单调，

∴，同理，

∴，，

又，

∴，故A正确，B错误；

又，故D正确，C错误．

故选：AD．

【点睛】关键点点睛：利用导数研究f(x)和g(x)的性质，并作出其图象，数形结合，利用即可得到答案.

三、填空题

13．随机事件的概率为，独立重复进行次试验，设表示次重复试验中事件发生的次数．已知，则          ．

【答案】0.55/

【分析】利用独立重复试验的期望和方差公式求解.

【详解】解：由题意得：，

解得，

故答案为：0.55

14．展开式中含项的系数为          ．

【答案】

【分析】根据计数原理确定出展开式中含的项，即可得出答案.

【详解】展开式中，

含的项是：.

故答案为：

15．如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个1区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为       ．

【答案】

【分析】利用分类计数原理以及排列数进行计算求解.

【详解】解：由题意得：

若只有2，4区域种的花相同，则有种种法；

若只有3，5区域种的花相同，则有种种法；

若2、4区域种的花相同，3，5种的花也相同，则有种种法，由分类加法计数原理知共有种不同的种法.

故答案为：

16．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是            ．

【答案】0.18

【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．

【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是

前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是

综上所述，甲队以获胜的概率是

【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．

四、解答题

17．已知

(1)若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数；

(2)苦，且，求.

【答案】(1)594

(2)

【分析】（1）根据二项式系数的性质可求出，然后可求的系数；

（2）根据展开式系数特点判定系数正负去掉绝对值，然后给赋值就可求出和.

【详解】（1）由于的二项展开式中第7项的二项式系数为且最大，可得，则，所以当时，故展开式中的系数为594；

（2）若，由可知当为奇数时，即的奇次项系数为正，当为偶数时，即的偶次项系数为负，所以，又，故.

18．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.

(1)有女生但人数必须少于男生；

(2)某女生一定担任语文科代表；

(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表.

【答案】(1)5400（种）

(2)840（种）

(3)3360（种）

【分析】（1）先选后排，分类讨论列式求解；

（2）除去一定担任语文科代表的女生后先选后排，，先选后排计算可得；

（3）先安排不担任语文科代表的该男生，先选后排计算可得.

【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，

所以先选有种，后排有种，

所以共有不同选法（种）.

（2）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，

共有不同选法（种）.

（3）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，

所以共有不同选法（种）.

19．为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.

(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；

(2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）根据条件概率公式即可求解.

（2）根据超几何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望与方差.

【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动”为事件．

则，所以；

（2）依题意知服从超几何分布，且，

所以的分布列为：

.

20．某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：

(1)统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；

(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；

（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.

【详解】（1）由题意得：，

，

，

.

（2），

，则，

可能的取值为，

的分布列为：

数学期望.

21．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有两个零点（其中），求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程运算求解；

（2）根据题意分析可得原题意等价于有两个不等的实根，构建，利用导数判断的单调性与最值，进而可得结果.

【详解】（1）由，则，

所以，即切点坐标为，切线斜率，

故切线方程为，即.

（2）由题意有两个不等的正根，等价于有两个不等的实根，

设，则，

设，则在为增函数，

且，

所以存在唯一的，使，得①，

当时，，即，所以在内单调递减；

当时，，即，所以在内单调递增；

所以，代入①式得，

当趋向于0或时，趋向，

若函数有两个零点，即函数有两个零点，可得，

所以实数的取值范围.

22．某医疗机构，为了研究某种病毒在人群中的传播特征，需要检测血液是否为阳性.若现有份血液样本，每份样本被取到的可能性相同，检测方式有以下两种：

方式一：逐份检测，需检测次；

方式二：混合检测，将其中份血液样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，说明这份样本全为阴性，则只需检测1次；若检测结果为阳性，则需要对这份样本逐份检测，因此检测总次数为次，假设每份样本被检测为阳性或阴性是相互独立的，且每份样本为阳性的概率是.

（1）在某地区，通过随机检测发现该地区人群血液为阳性的概率约为0.8%.为了调查某单位该病毒感染情况，随机选取50人进行检测，有两个分组方案：

方案一：将50人分成10组，每组5人；

方案二：将50人分成5组，每组10人.

试分析哪种方案的检测总次数更少？

(取，，)

（2）现取其中份血液样本，若采用逐份检验方式，需要检测的总次数为；采用混合检测方式，需要检测的总次数为.若，试解决以下问题：

①确定关于的函数关系；

②当为何值时，取最大值并求出最大值.

【答案】（1）方案二的检验次数更少；（2）①；②，最大值为：.

【分析】（1）分别计算两种方案的分布列得到数学期望，比较大小得到答案.

（2）根据得到，设，构造函数，根据函数的单调性得到的最值.

【详解】（1）设方案一中每组的检验次数为，则的取值为1，6

则；

则的分布列为：

则，

故方案一的检验总次数的期望为；

设方案二中每组的检验次数为，则的取值为1，11

则；.

则的分布列为：

则，

故方案二的检验总次数的期望为，

因为，则方案二的检验次数更少.

（2）由已知得，或，

则，，

则，

因为，则即，

令，，，

则，当时，

令，，

当时，则在单调递增，

则当时，即，

则当时，，

则……即当时，最大值，

最大值为.

【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，函数关系式，根据导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.