2022-2023学年福建省宁德市高二下学期区域性学业质量监测（期中）（B卷）数学试题含答案

2022-2023学年福建省宁德市高二下学期区域性学业质量监测（B卷）数学试题

一、单选题

1．已知物体的运动方程为（t是时间，s是位移），则物体在时刻时的速度为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【分析】根据位移的导数是速度，求出的导函数即速度与时间的函数，将代入即可求出物体在时刻时的速度．

【详解】已知物体的运动方程为（是时间，是位移），

故速度，

所以物体在时刻时的速度.

故选：B．

2．已知，，且，则（    ）

A． B．2 C．4 D．6

【答案】A

【分析】根据空间向量共线定理列式可求出结果.

【详解】因为，所以存在实数使得，

即，

所以,

所以，得，所以.

故选：A

3．已知函数的导函数为，且满足，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】求导后，令可得结果.

【详解】因为，所以，

所以，得.

故选：A

4．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】D

【分析】根据题意，设，列出方程组即可得到结果.

【详解】因为，，，且，，三向量共面，

设，则，

即，解得.

故选：D

5．已知单位向量，，中，，，则（    ）

A． B．5 C．6 D．

【答案】D

【分析】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为，，且，，为单位向量，

则

.

故选：D

6．已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.

【详解】由题意，，，

可得，，

，即角B为锐角，所以，

所以边上的高.

故选：B

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】首先求出函数的定义域，判定函数的奇偶性及单调性即可得解.

【详解】解：定义域为

即函数是奇函数，图象关于原点对称，

由，为奇函数，排除B；又，排除C；

当时，，令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，排除A；

故选：

【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是函数的奇偶性，单调性的应用，属于基础题.

8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A．  B． C． D．

【答案】C

【分析】方法1，由题意可得有两根，则，，令，对函数求导，求出函数的单调区间，从而画出函数的图象，结合图象可求得结果；

方法2：由题意得有两根，令，对函数求导，求出其单调区间，画出图象，将问题转化为直线与图象有两个交点，从而可求出实数的取值范围

【详解】方法1：，有两个都零点，即有两根，

则，，

设，则，

令，则，，

令，得，则在且；

令，得，则在且；

，图象如图所示，

实数时函数有两个零点.

方法2：

有两个都零点，即有两根，

设，则，

令，则，，

令，得，则在单调递增且；

令，得，则在单调递减且；

，图象如图所示，

设与相切于

则，解得，

所以实数时函数有两个零点.

故选：C

【点睛】关键点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是将问题转化为，，然后构造函数，利用导数求出其单调区间，画出图象，利用数形结合的方法求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．空间向量与的长度相等

B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量

C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆

D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底

【答案】AB

【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断.

【详解】对于A，向量与是相反向量由相反向量的定义知，向量与的长度相等，故A正确；

对于B，平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，故B正确；

对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；

对于D，空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D错误.

故选：AB.

10．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据题意，由求导的运算法则，对选项逐一验证，即可得到结果.

【详解】对于A，，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确；

故选：BD

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的单调递增区间是 B．的单调递减区间是

C．的最大值是 D．恒成立

【答案】BD

【分析】根据导数求出函数的单调区间和最值可得答案.

【详解】的定义域为，

，

令，得，令，得，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是，

故A不正确，B正确；

所以，故C不正确，

由C知，，故D正确；

故选：BD

12．如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（    ）

A．存在点，使得

B．过三点、、的正方体的截面面积为

C．四面体的内切球的表面积为

D．点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆

【答案】BC

【分析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由可判断A；过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，求出截面面积可判断B；设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，由即，求出可判断C；由分析可得，的轨迹是被四边形截得的4段圆弧，求解可判断D.

【详解】对于A，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，；

若，则，即，与题意矛盾，所以A错误；

对于B，取中点，连接，因为，

所以可得、、、四点共面，

所以过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，

，

过点作，所以，

所以梯形的高为，

所以，，故B正确；

对于C，如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个三棱锥的体积，

可知四面体是棱长为的正四面体，

取的外心，连接，则平面，

则，则，所以，

所以四面体的高，

设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，

，

即，，所以C正确；

对于D，，，∵，∴，

即，可得轨迹为圆：，

所以，圆心，，又，

所以，轨迹为圆：被四边形截得的4段圆弧，

所以D错误；

故选：BC.

三、填空题

13．已知在标准正交基下，向量，，，则向量在上的投影为         .

【答案】

【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算用基底表示，再求出在上的投影作答.

【详解】因为向量，，，

因此，

，

所以向量在上的投影为.

故答案为：

14．函数的单调递减区间是         .

【答案】

【分析】求导，解不等式可得结果.

【详解】,

由，得，

所以函数的单调递减区间是.

故答案为：.

15．如图，在长方体中，，，E、F分别是BC、DC的中点，则与所成角的余弦值为         .

【答案】

【分析】,可得与EF所成角,在三角形中可计算得出.

【详解】  

由E，F分别是BC，DC的中点，则.

在长方体中有，

所以 ，

所以为与EF所成角.

在三角形中，,.

所以 .

故答案为： .

16．设定义在上的函数满足，，若，则的取值范围为         .

【答案】

【分析】根据题意，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性解不等式即可.

【详解】设函数，

∴，

∴在上单调递减，

又∵，

∴则，

即，

∴，即.

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，.

(1)求与的夹角余弦值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量坐标夹角公式计算可得答案；

（2）利用向量垂直的坐标运算可得答案.

【详解】（1）因为，，

所以，

，，

所以；

（2），

因为，所以，

解得.

18．已知函数.

(1)求函数在处的切线方程；

(2)求函数在的最大值与最小值.

【答案】(1)

(2)最大值为10，最小值为

【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；

（2）对函数求导，得出在的单调性和极值，比较极值点和端点函数值大小即可得出答案.

【详解】（1）∵，

函数在处的切线方程的斜率为，

又，切点为，

切线方程为：即.

（2）因为

令，得或；令，得，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

所以在处取得极大值，在处取得极小值.

又，，，，

由（1）知，在区间上的最大值为10，最小值为

19．如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，.

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用空间向量与平面的法向量垂直可证结论正确；

（2）根据点面距的向量公式可求出结果.

【详解】（1）以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系.

则，，，，，

所以，，.

设是平面的一个法向量，

则，令，得，，所以.

因为，所以，又因为平面，

所以平面.

（2）因为，，

设是平面的一个法向量，

则，令，得，所以.

所以点到平面的距离.

20．现有一批货物从A港运往B港，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，全程的航行距离约为600海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成.轮船每小时使用的燃料费用（元）与轮船速度（海里/小时）的平方成正比.已知当轮船速度为20海里/小时，轮船每小时使用的燃料费用320元，其余费用为每小时720元.

(1)把全程的运输成本元表示为速度（海里/小时）的函数；

(2)为了使全程的运输成本最小，轮船的航行速度是多少？

【答案】(1)，

(2)30海里/时

【分析】（1）根据题意，由条件即可得到函数关系式；

（2）根据题意，求导可得，从而得到当时，函数取得极小值即为最小值.

【详解】（1）设每小时燃料费（元）与速度（海里/时）函数关系为，

又当时，，所以得，所以

轮船每小时的燃料费元，总共行驶小时，

所以全程运输成本，定义域为，

即全程运输成本（元）表示为速度（海里/时）的函数为；

，

（2）由（1）知，，

当时，，即在上单调递减

当时，，即在上单调递增，

所以当时，函数取得极小值即为最小值.

故当轮船应以30海里/时的速度行驶时，全程运输成本最小．

21．如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.

(1)证明：平面平面；

(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，在中，由余弦定理求得，得到，证得，再由，证得平面，即可证得平面平面；

（2）若O为中点，证得，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，设，由平面的一个法向量为，列出方程求得，进而得到，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）证明：由题知且，所以为等边三角形，

则，

又由四边形为梯形，，则，

在中，，

所以，即，

因为，且，平面，所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

（2）解：若O为中点，，则，

由（1）得平面平面，平面平面，平面，

则平面，

连接，则，且平面，所以，，

所以，，两两垂直，

以为原点，，，分别为为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系，

如图所示，可得，，，，

设且，则，由平面的一个法向量为，

可得，解得，

因为，所以，可得，

所以，，，

设是平面的一个法向量，则，

取，可得，所以

则，

由图形可得的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

22．已知函数，；

(1)求函数的单调性；

(2)设函数，对于任意的都有成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）对求导，分类讨论和，判断与得大小，即可得出答案.

（2）将题意转化为得对于任意的恒成立，令即在恒成立，即在恒成立，转化为求得最大值.

【详解】（1）的定义域为，则，

当时，即时，在上单调递增，

当时，即时，则即，

令得，令得，

则在上单调递增，在上单调递减，

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，则在上单调递增，在上单调递减；

（2）依题得

因为对于任意的总有成立，不妨设

由，得

设，可得在单调递增；

在恒成立；

∴在恒成立；

设，

令，得，因为，所以在单调递增；

同理，在单调递减，所以的最大值为，

所以.