2022-2023学年江苏省徐州高级中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省徐州高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，，则与向量平行的一个向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量共线定理判定即可.

【详解】,

则与向量平行的一个向量的坐标为.

故选:C.

2．若，则的值为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【分析】根据即可求解.

【详解】若，则，

所以,解得.

故选:C.

3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.

【详解】因为，则，而，，

因此，解得.

故选：D

4．一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件=“第一次抽到红球”，=“第二次抽到红球”，则概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用古典概率公式求出事件及事件的概率，再利用条件概率公式计算得解.

【详解】依题意，，，

所以.

故选：B

5．在棱长为1的正方体中，为上任意一点，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】根据空间向量的线性运算法则可得，再根据数量积的运算律和运算公式结合图形求

【详解】由图形可得，

所以，

由正方体性质可得，所以，

所以，

又，与方向相反，

所以.

故选：B.

6．6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（    ）

A．720 B．360 C．240 D．120

【答案】C

【分析】先将甲乙捆绑在一起，然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得.

【详解】先将甲､乙两人排成一排共种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有种排法.

故选：C

7．在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（    ）

A．4项 B．5项 C．6项 D．3项

【答案】A

【分析】分与讨论，都可求得，再根据二项式定理即可求解.

【详解】由可得，

当，,则，

其展开式的通项为，

令,得,解得；

当,,则，

其展开式的通项为，

令，得，解得.

综上所述：，

所以展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项是第4项.

故选:A.

8．在平行六面体中，是线段上一点，且，若，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】取利用向量，分别表示出，，再由空间向量基本定理列出等式即可求出答案.

【详解】因为是线段上一点，且,

所以，

所以,

又，所以，

又因为,

所以，

所以，化简得：.

故选：B

二、多选题

9．若，则m的取值可能是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】BC

【解析】根据组合的公式列式求解,再结合的范围即可.

【详解】根据题意,对于,有0≤m﹣1≤8且0≤m≤8,则有1≤m≤8,

若,则有,

变形可得：m＞27﹣3m,

解可得：m＞,

综合可得：＜m≤8,则m＝7或8；

故选：BC.

【点睛】本题主要考查了组合数的公式运用,属于中档题.

10．7张卡片上分别写有，，，，，，，其中i为虚数单位.从这7张卡片中随机抽取一张，记“抽到的卡片上的数是正实数”为事件，“抽到的卡片上的数是无理数”为事件，则下列计算结果中正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】ABC选项，利用列举法求出，D选项，利用条件概率求出答案.

【详解】A选项，7个数中，正实数为，，，，，共5个，故，A错误；

B选项，7个数中，无理数为，，，，故，B正确；

C选项，7个数中，既是无理数，又是正实数的是，，，，共4个，故，C错误；

D选项，由条件概率得，D正确.

故选：BD

11．若，，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答.

【详解】因，则，A正确；

展开式的通项，，当为奇数时，，当为偶数时，，

则，B正确；

，而，则，C不正确；

，而，则，D正确.

故选：ABD

12．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（    ）

A．

B．平面

C．向量与的夹角是

D．直线与所成角的余弦值为

【答案】ACD

【分析】利用向量的基底运算可求，利用向量垂直及线面垂直的判定可得B的正误，利用向量的基底运算可求C,D的正误.

【详解】对于A，，

，

所以，选项A错误；

对于B，

，所以，即，

，所以，即，因为，平面，所以平面，选项B正确；

对于C：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项C错误；

对于D，，,

所以，

，

同理，可得;

，

所以，所以选项D错误．

故选：ACD．

三、填空题

13．的展开式中的系数为        ．

【答案】

【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．

【详解】，

故它的展开式中的系数为，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

14．组合数被9除的余数是      ．

【答案】8

【分析】先求出，再利用二项式定理得到，求出组合数被除的余数是.

【详解】∵，

∴

，其中；

∴该组合数被除的余数是8．

故答案为：8．

15．甲､乙､丙､丁4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且甲､乙两名同学不能安排到同1个小区，则不同的安排方法共有          种.

【答案】30

【分析】利用间接法：先把学生安排出去，再排除甲､乙两名同学安排到同1个小区的情况，结合捆绑法运算求解.

【详解】根据题意：若每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，共有种安排方法，

若甲､乙两名同学安排到同1个小区，共有种安排方法，

所以共有种安排方法.

故答案为：30.

16．三棱锥中，，，记二面角的大小为，当时，直线与所成角的余弦值的取值范围是      .

【答案】

【分析】取中点，连，，以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值取值范围．

【详解】取中点，连接，，

．，，，且，，

是二面角的平面角，

以为原点，为轴，为轴，

过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，0，，，1，，

设二面角的平面角为，则，

连、，则，，

，，

设、的夹角为，

则，

，，,

,,则

．

故答案为：

四、解答题

17．第八届“徐高好声音”高二年级复赛共有5个独唱节目和3个合唱节目，请按各小题要求排出一张节目单，求不同的排法种数（用数字作答）.

(1)3个合唱节目两两互不相邻；

(2)前4个节目中要有合唱节目.

【答案】(1)14400；

(2)37440.

【分析】（1）先排5个独唱节目，再将合唱节目插空即可；

（2）先求出三个合唱节目不出现在前四个位置的方法种数，根据“正难则反”原则求解.

【详解】（1）先排5个独唱节目，有种方法种数，

再把3个合唱节目用插空法排在独唱节目的首尾或之间，有种方法种数，

所以一共有种.

（2）8个节目（无限制条件）的排法有种方法，若三个合唱节目不出现在前四个位置，则应在后4个位置安排合唱节目，有种方法，

所以符合题意的方法有种.

18．已知在的展开式中第5项为常数项.

(1)求的值；

(2)求展开式中所有的有理项.

【答案】(1)

(2)，，

【分析】（1）根据二项式展开式的通项特征，由常数项即可求解，

（2）由通项以及有理项的定义即可求解.

【详解】（1）展开式的通项公式为

因为第5项为常数项，所以时，有，解得；

（2）由题意得，，解得，4，7，

将其代入通项中可得，，

所以有理项分别为，，

19．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：

（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出与；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.

【详解】解：（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，

则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为.

（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.

20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2．

（1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；

（2）若M是棱BC的中点．求点M到平面A1B1C的距离．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）（或其补角）即为异面直线与所成角，连接，在中，即可求解．

（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合，利用空间距离公式求解即可．

解法二：过点作交于，证明平面，然后求解三角形即可．

【详解】解：（1）由于A1C1AC，所以∠CAB1（或其补角）即为异面直线AB1与A1C1所成角，

连接CB1，在AB1C中，由于，所以AB1C是等边三角形，

所以，所以异面直线AB1与A1C1所成角的大小为．

（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C（0，0，2）、B1（0，2，0）、A1（2，2，0）、M（0，0，1）．

设平面A1B1C的法向量为，则．

∵，，

且，

∴，取v＝1，

得平面A1B1C的一个法向量为， 且，

又∵，

于是点M到平面A1B1C的距离

所以，点M到平面A1B1C的距离等于．

解法二：过点M作MN⊥CB1交CB1于N，由⇒MN⊥平面A1B1C．

在RtCMN中，由，CM＝1，得，

所以，点M到平面A1B1C的距离等于．

21．已知等式（x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，其中ai（i＝0，1，2，…，10）为实常数．求：

（1）的值；

（2）的值．

【答案】（1）31；（2）160．

【分析】（1）利用（x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，采用赋值法可求得的值；

（2）对已知关系式两边求导后，令x＝0即可求的值．

【详解】（1）∵（x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，

∴令x＝﹣1得：15＝a0，即a0＝1，

再令x＝0，有a0+a1+a2+…+a10＝25，

∴＝a1+a2+…+a10＝25﹣a0＝31；

（2）∵（x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，

∴两边求导得：5（x2+2x+2）4•（2x+2）＝a1+2a2（x+1）+3a3（x+1）2+…+10a10（x+1）9，令x＝0得：5×24×2＝a1+2a2+3a3+…+10a10，

即＝a1+2a2+3a3+…+10a10

＝160；

综上， ，    .

22．如图1，在等边中，点，分别为边，上的动点，且满足，记.将沿翻折到位置，使得平面平面，连接，得到图2，点为的中点.

(1)当平面时，求的值；

(2)试探究：随着值的变化，二面角的大小是否为定值？如果是，请求出二面角的正弦值；如果不是，请求出二面角的余弦值的取值范围.

【答案】(1)

(2)是，

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解，

（2）由法向量的夹角即可求解二面角.

【详解】（1）取的中点，连接并延长与相交，因为，，所以，即，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，建立如图空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，

所以，，.

设平面的法向量为，则，

令，则，，所以即是平面的一个法向量，

因为平面，所以，，解得；

（2）  

由（1）知，是平面的一个法向量，

同理可求平面的一个法向量为，

，即随着值的变化，二面角的大小为定值.

且，所以二面角的正弦值为.