2022-2023学年安徽省安庆市第二中学东区高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年安徽省安庆市第二中学东区高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．与的等差中项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】代入等差中项公式即可解决.

【详解】与的等差中项是

故选：A

2．等差数列中，，，则公差等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用等差数列的公差公式可求得结果.

【详解】由已知可得.

故选：A.

3．在等比数列中，如果，，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等比数列性质及等比数列通项公式进行求解.

【详解】由等比数列性质知，，，，成等比数列，其首项为，公比为，所以.

故选：C.

4．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平均变化率的定义直接求解.

【详解】因为函数，

所以该函数在区间上的平均变化率为

，

故选：A

5．设函数是函数的导函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据余弦函数的导数公式求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：B.

6．函数的图象在点处切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果.

【详解】，，

即在处切线的斜率为，则其倾斜角为.

故选：B.

7．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论．

【详解】∵，

∴，

故选：A

8．数列满足，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意得到，（），与条件两式作差，得到，（），再验证满足，得到，进而可求出结果.

【详解】因为数列满足，

，（）

则，则，（），

又满足，所以，

因此.

故选：A

二、多选题

9．下列有关导数的说法，正确的是（    ）.

A．就是曲线在点处的切线的斜率

B．与的意义是一样的

C．设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度

D．设是速度函数，则表示物体在时刻的瞬时加速度

【答案】ACD

【分析】根据导数的定义以及几何意义判断ACD，根据常数函数的导数为判断B.

【详解】表示曲线在点处的切线的斜率，故A正确；

表示对函数值求导，因为是常函数，所以，

与的意义不一样，故B错误；C，D易知正确.

故选：ACD

10．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用导数的运算法则可判断AD选项；利用基本初等函数的导数公式可判断BC选项.

【详解】对于A选项，，A错；

对于B选项，，B对；

对于C选项，，C错；

对于D选项，，D对.

故选：BD.

11．已知数列是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（　　）

A．数列是等比数列 B．数列是等比数列

C．数列是等比数列 D．数列是等比数列

【答案】ABD

【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断.

【详解】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则，

对于A，对于数列，则有，为等比数列，A正确；

对于B，对于数列，有，为等比数列，B正确；

对于C，对于数列，若，数列是等比数列，但数列不是等比数列，C错误；

对于D，对于数列，有，为等比数列，D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题.

12．已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．数列的最大项为 D．

【答案】ABD

【分析】由判断出，，求出，即可判断A；

利用等差数列的性质求出，可以判断B；

由，，可判断出最大，可以判断C；

由，，，可以判断D.

【详解】因为，，所以，A正确；

，所以，B正确；

因为，，所以数列的最大项为，C不正确；

因为，，，所以，即，D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则        .

【答案】1

【分析】易知点在曲线上，求出函数的导函数，由两直线垂直斜率之积为，得到，即可得到方程，解得即可.

【详解】易知点在曲线上，

令，则，

所以，又该切线与直线垂直，

所以，解得.

故答案为：

14．已知数列的前项和，则数列的通项公式为           .

【答案】

【详解】当时，；当时，；所以.

15．已知函数，则      .

【答案】/

【分析】将视为常数，在 中令求出的值，从而求出的解析式，再求即可.

【详解】因为，

所以，

将代入得，

所以，

所以，

所以，

故答案为：

16．已知数列中，，，则      ．

【答案】

【分析】已知递推关系变形凑配出一个等比数列，利用等比数列的通项公式可求得．

【详解】由，得，所以数列是首项为1，公比为的等比数列．所以，所以．

故答案为：．

四、解答题

17．求下列函数的导数.

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】由常见函数的导数公式及导数的运算法则可得答案.

【详解】（1）

（2）

18．已知在等比数列中，，且是和的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用等差中项的性质列方程，由此求得，进而求得数列的通项公式；

（2）利用分组求和法求得.

【详解】（1）设等比数列的公比为，则，则，，

由于是和的等差中项，即，即，解得.

因此，数列的通项公式为；

（2），

.

【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列的通项公式，考查分组求和法，属于中档题.

19．（1）求曲线，在点处的切线方程；

（2）求过点的抛物线的切线方程．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；

（2）先设出切点坐标为，再利用导数几何意义即可求得过点的抛物线的切线方程．

【详解】（1），可知所求切线的斜率

故所求切线的方程为，即．

（2）设切点坐标为，，可知所求切线的斜率

∵切线过点和点，∴，

解得或，∴切线的斜率为2或6

故所求切线的方程为或，

即或．

20．已知是公差不为0的等差数列，满足，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意设是公差为，故，进而，再整理解方程即可得，最后根据通项公式求解即可；

（2）由（1）知，进而根据裂项求和求解即可.

【详解】（1）解：设是公差为，因为，，成等比数列，

所以，

因为，所以，

所以，整理，解得或（舍）

所以，

所以数列的通项公式为

（2）解：由（1）知，

所以

，

所以

21．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【详解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，

当x＝2时，y＝．

又f′(x)＝a＋，

于是，解得

故f(x)＝x－．

(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．

令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．

曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．

22．已知数列是首项为的等差数列，数列满足，且，．

(1)证明是等比数列

(2)，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由得，即可证明数列为等比数列；

（2）计算，的通项公式，用分组求和与错位相减法求和求的前n项和.

【详解】（1）证明：因为，所以，

所以，又，

所以数列是首项为，公比为的等比数列．

（2）由知，所以，，

设等差数列的公差为d，，所以，

所以，

  ，

令，

，

两式相减，得 ，

所以，

.