2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．记复数的共轭复数为，则在复平面内所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】首先根据复数代数形式的乘法化简复数，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可；

【详解】解：因为，所以，

则在复平面内所对应的点为，位于第四象限；

故选：D

2．在含有3个白球，2个黑球（它们除颜色外，其余均相同）的箱子里不放回地抽取2个球，恰好一个为黑球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据古典概型概率计算公式，可以利用组合数进行运算求解，也可以利用列举法运算求解．

【详解】根据题意：

方法一：“恰好一个为黑球”的概率为

方法二：设三个白球为，两个黑球为，不放回地抽取2个球，则有：

，共10个基本事件

“恰好一个为黑球”包含：，共6个基本事件，其概率为

故选：C．

3．的展开式中的系数为（    ）

A．240 B． C．120 D．

【答案】A

【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可

【详解】展开式的通项，

由，可得.∴含项的系数为.

故选：A.

4．随机变量X的分布列如表，则的值为（    ）

A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2

【答案】B

【分析】根据期望公式求，然后由期望性质可得.

【详解】由得，

所以，

所以.

故选：B

5．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出正四棱锥的底面及各侧面面积计算作答.

【详解】依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4，四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为，

所以四棱锥的表面积为.

故选：C

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】因为，则.

故选：B.

7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径X（单位：mm）服从正态分布，则估计苹果直径在内的概率为（    ）

（附：若，则，．）

A．0.6827 B．0.8413 C．0.9545 D．0.8186

【答案】D

【分析】根据正态分布的对称性求解可得.

【详解】由知，，

所以

.

故选：D

8．已知的值域为，则x的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，根据值域解不等式组可得t的范围，然后解指数不等式可得.

【详解】令，则，

由题知，，解得或，

即或，解得或.

故选：D

二、多选题

9．某种产品的价格（单位：元）与需求量（单位：）之间的对应数据如下表所示：

数据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是（    ）

A．变量与呈负相关

B．回归直线经过点

C．

D．该产品价格为元时，日需求量大约为

【答案】ABC

【分析】根据线性回归方程经过样本中心，可解得，可判断A,B,C.由回归方程做预测，即可判断D.

【详解】，，

∴回归直线经过点，B正确，

将， 代入得，∴变量与呈负相关，A、C正确，

当产品价格为元时，代入得，∴日需求量大约为，D错误，

故选:ABC．

10．在中，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则定为等腰三角形

C．若，则定为直角三角形

D．若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角

【答案】ACD

【解析】选项，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项，用正弦定理边化角，再将代入展开，整理可得，所以正确；选项，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确.

【详解】在中，若，则，因此，A正确；

若，则或，

即或，

所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；

若，

则，

所以，即，，

所以定为直角三角形，C正确；

三角形的三边的比是，设最大边所对的角为，

则，因为，

所以，D正确.

故选:ACD.

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于，属于中档题.

11．二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由二次函数性质对选项逐一判断

【详解】由题意得，对称轴，则，故A正确，

当时，，则，故C正确，

当时，，则，故D正确，

当时，，故B错误，

故选：ACD

12．已知函数的值域为集合A，函数的定义域为B，则下列说法正确的是（    ）

A．或

B．

C．“是“的充分不必要条件

D．函数的增区间是

【答案】BD

【分析】根据指数型函数值域即可得到即可，根据对数型函数定义即可得到，根据交并集含义即可判断AB，根据充分不必要条件的判定即可判断C，根据复合函数单调性即可判断D.

【详解】，则，则，则，

由题意得，解得或，则，

则，故A错误；，故B正确；

，其中一个元素0在集合中找不到，故C错误；

设，则在上单调递增，且，

而在上单调递增，

则根据复合函数单调性得在上单调递增，则其增区间为，故D正确，

故选：BD.

三、填空题

13．已知，，且，则的最小值为        ．

【答案】/

【分析】妙用“1”，展开使用基本不等式可得.

【详解】因为，

所以

当且仅当，即时，等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

14．为了贯彻落实党史学习教育成果，某校名师“学史力行”送教井冈山中学．现有理科语文､数学､英语､物理､化学､生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上一节课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为          ．

【答案】504

【分析】根据排列计算公式，结合特殊元素法求解排列数即可得出答案.

【详解】根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班.

①化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列共有种方法；

②化学老师不在1班，先排1班，有4种方法，再排6班有4种方法，余下4个班有种方法，所以共有：种方法.

所以不同的安排上课的方法数为.

故答案为：504.

15．已知函数为偶函数，则          ．

【答案】

【分析】令时，则，由偶函数的定义可得出，可得出、的值，进而可得出的值.

【详解】因为函数为偶函数，

当时，，此时，，

所以，，，故.

故答案为：.

16．记，则          ．

【答案】

【分析】令，则，利用二项展开式通项可求出的值，然后令，可求得的值.

【详解】令，则，

所以，的展开式通项为，

所以，，

在等式中，

令，可得，

因此，.

故答案为：.

四、解答题

17．化简与计算：．

【答案】

【分析】利用指数的运算性质、对数的运算性质化简可得所求代数式的值.

【详解】解：原式

.

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角A；

(2)若，，求a，c．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）利用三角恒等变换化简即得解；

（2）求出再利用正弦定理得解.

【详解】（1）解：因为，所以．

由正弦定理得，

所以，

所以，

即．

因为，所以，

因为，所以．

（2）解：若，，则．

则．

由正弦定理，得，

解得，．

19．常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具.洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险.正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤.某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频数分布表如下：

(1)现以7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”.完成下面列联表，并判断可否认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关，且犯错误的概率不大于0.05？

(2)从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，求X的分布列与期望.

附：，.

临界值表：

【答案】(1)列联表答案见解析，没有足够证据认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关

(2)分布列答案见解析，数学期望

【分析】（1）根据已知数据，结合题意，完成列联表，再求，即可判断；（2）根据分层抽样的特点求得抽取10人中，女生和男生的分布情况，再结合X的取值，结合超几何分布的概率求解求得分布列，再求数学期望即可.

【详解】（1）由得分情况的频数分布表得列联表如下：

故，

因为，所以没有足够证据认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关.

（2）由得分情况的频数分布表可知，参与网上测试且得分不低于9分的学生中，

女生9人，男生6人，从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人.

在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，

所以，，，，

所以随机变量X的分布列为

所以.

20．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，是等边三角形，是棱的中点，，．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）可证得四边形为平行四边形，由此可得，利用勾股定理证得；由等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定定理可得结论；

（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1）为等边三角形，，为中点，且；

，，四边形为平行四边形，，

又，，，

又，平面，平面.

（2），四边形为平行四边形，，

则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，

，令，解得：，，，

，

即直线与平面所成角的正弦值为.

21．已知函数.

(1)求的对称中心；

(2)求的最小正周期和单调递增区间；

(3)若，求的最小值及取得最小值时对应的x的取值.

【答案】(1)（）

(2)最小正周期为；

(3)，

【分析】（1）利用三角恒等变换和辅助角公式化简，再求对称中心即可求解；

（2）利用整体代换法可得周期和单调区间；

（3）根据的范围利用整体代换法求出最小值及取得最小值时对应的x的取值即可.

【详解】（1）

，

由得，，

所以对称中心（）；

（2），

∵∴∴的最小正周期为，

由，，

得：，，

∴单调递增区间为；

（3），

∵，∴，

∴，

∴，

即：，此时.∴，.

22．已知定义在上的函数满足:①对任意的,都有;②当且仅当时,成立.

(1)求;

(2)用定义证明的单调性;

(3)若对使得不等式恒成立,求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】(1)令可得;

(2)任取,且,根据定义可得,即可证明;

(3)由(2)知函数在上是减函数,当在恒成立,令,转化为当时,恒成立且恒成立,分别求出其最值即可.

【详解】（1）对任意的,都有,

令,则,

.

（2）任取,且,

由,可知,

则,

,

,

,

故函数在上是减函数.

（3）由(2)知函数在上是减函数,

当时,恒成立,

即.

令，则,

当时,恒成立,

即当时,,

设,

则函数在时为增函数,

,

,

又当时,恒成立,

,

在时为减函数,

,

,

综上,实数m的取值范围为.