2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高二下学期期末数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高二下学期期末数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的性质求出集合，由一元二次不等式的解法算出集合，然后根据交集的运算求解.【详解】，根据对数函数的单调性可知上述不等式的解集为，而，根据交集的运算，.故选：A2．已知为坐标原点，复数，，分别表示向量，，若，则m=（    ）A．-1 B．0 C．1 D．-2【答案】D【分析】分别表示出向量，，因为，所以，求解即可.【详解】复数，，分别表示向量，，则，，因为，所以，解得，故选：D．3．已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案．【详解】，的定义域均为，且,，所以为奇函数，为偶函数.由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB.当时，，排除C.故选:D．4．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（    ）A．120 B．60 C．40 D．30【答案】B【分析】选出一个志愿者连续参加两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人参加这两天的活动，计算结果即可.【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.故选：B.5．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，则圆锥和圆柱的高为，所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,故选:C.6．已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由逻辑用语及数列的性质判定即可.【详解】若数列是递增数列，则，即，推不出，不满足充分性，比如反例：是各项为正数，公比小于1的等比数列；若，则数列是递减数列，不满足必要性，故数列是递增数列是的既不充分也不必要条件.故选：D.7．已知同时满足下列三个条件：①当时，的最小值为；②是偶函数；③．若在上有两个零点，则实数m的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由①可得函数的半个周期为，即可求得，由②③可求得，再根据正弦型函数的图象与性质找到两个零点时满足的范围即可.【详解】由①当时，则分别为最大值与最小值，所以的最小值即为半个周期，，由；由②是偶函数，所以，因为，所以或；由③，则， 所以.时，，因为在上有两个零点，根据正弦函数的图象故选：A.8．已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左､右焦点分别为,,且两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形,若,椭圆与双曲线的离心率分别为,,则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，由条件可得，，再由椭圆和双曲线的定义可得，，，运用三角形三边关系，求得的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围.【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，是以为底边的等腰三角形，若，则，，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，即有，，根据三角形三边关系可得，即，所以，根据离心率公式可得，因为，所以，则有，所以的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，考查离心率的求法，三角形的三边关系，属于中档题. 二、多选题9．某次测试，经统计发现测试成绩服从正态分布，则（    ）A．这次测试的平均成绩为90B．这次测试的成绩的方差为10C．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同D．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同【答案】AD【分析】利用正态分布的性质及原则判断各项正误即可.【详解】由题意得：,，其中，，即正态分布的对称轴为，因为，方差为100，A对，B错；由对称性及原则知：，，C错误，D正确．故选：AD10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，若用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，定义事件：“为奇数”，“”，“”，则下列结论正确的是（    ）A． B．与互斥 C．与独立 D．与独立【答案】ABD【分析】根据题意，列举出事件、的所有基本事件，根据古典概型的概率求法求出和，从而可判断AB选项；求出和，可知，再根据独立事件的定义，从而可判断C选项；列举出事件的所有基本事件，根据古典概型的概率求法求出，进而得出，最后根据独立事件的定义即可判断D选项.【详解】解：由题可知，“为奇数”，“”，“”，则事件的所有情况为：，共18种情况，所以，事件的所有情况为：，共6种情况，所以，所以，且与互斥，故AB选项正确；则，，可知，所以与不独立，故C不正确；事件的所有情况为：，共12种情况，所以，，，可知，所以与独立，故D正确.故选：ABD.11．若抛物线C：，过焦点F的直线交C于不同的两点A、B，直线l为抛物线的准线，下列说法正确的是（    ）A．点B关于x轴对称点为D，当A、D不重合时，直线AD，x轴，直线l交于一点B．若，则直线AB斜率为C．的最小值为D．分别过A、B作切线，两条切线交于点M，则的最小值为16【答案】ACD【分析】求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，设直线的方程为，与抛物线C的方程联立，借助韦达定理逐项分析、计算判断作答.【详解】抛物线C：的焦点，准线，显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，，由消去x得：，于是，  对于A，点，准线交轴于点，则，有，即得，因此点共线，即直线AD，x轴，直线l交于一点，A正确；对于B，，解得，直线的斜率，B错误；对于C，由选项B知，，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D，显然抛物线C在点A处的切线斜率存在且不为0，设此切线方程为，由消去x得：，则，解得，同理抛物线C在点B处的切线斜率，显然，于是，因此，当且仅当时取等号，D正确.故选：ACD【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.12．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】证明，放缩可判断A，由，放缩可判断B，先证出，再放缩，根据再放缩即可判断C，可得，令，转化为，构造，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D.【详解】由，可得，，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，由知，A正确；由可得，可得（时取等号），因为，所以，B正确；时，，则，，C错误；，令，则，，在单调递增，，，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：比较式子的的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后判断AB选项，变形，再令，变形，是判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可. 三、填空题13．在的展开式中，项的系数为         ．【答案】【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.【详解】展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.故答案为：60.14．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为         ．【答案】【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．当时，同理可得．故答案为：．15．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为     ．【答案】25π【分析】设球体的半径为，根据已知条件得出正方体上底面截球所得的截面圆的半径，球心到截面圆圆心的距离，利用勾股定理即可求出球体半径，再带入球体表面积公式即可.【详解】由题意得正方体上底面到水面的高为，设球体的半径为，由题意如图所示：三角形为直角三角形，为球与正方体的交点，则，，，所以：，解得，所以球的表面积.故答案为：【点睛】本题主要考查球体的表面积，根据截面求出球体的半径为解题的关键，属于中档题.16．已知函数的图象是连续不间断的，函数的图象关于点对称，在区间上单调递增．若对任意恒成立，则的取值范围     【答案】【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数为上单调递增，进而得到，利用参变分离和的取值范围求出的取值范围，进而求解.【详解】解：因为连续函数的图象关于点对称且在区间上单调递增，所以函数的图象关于对称，函数在上单调递增，由，可得，也即，则有恒成立，即，因为，所以，当时，得到恒成立；当时，则有，令，则，因为函数在上单调递增，且，所以，则故答案为：. 四、解答题17．设为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等差数列、等比数列的性质计算即可；（2）利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可.【详解】（1）设等差数列的公差为由成等比数列可得，所以，所以，因为，所以.①又，所以，②所以，联立①②得，所以数列的通项公式.（2）由（1）知，所以.18．在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为. 19．记的内角、、的对边分别为，，，且．(1)求；(2)已知，求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据向量数量积的含义和余弦定理即可得到，则得到答案；（2）根据余弦定理即可得到，再利用三角形面积公式即可得到答案.【详解】（1）因为，即，则，整理可得①，②，联立①②得．则.（2）因为，，则，由（1）和余弦定理有，因为，则，则.20．某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）： 好评差评合计男性 68108女性60  合计  216（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析；有；（2）答案见解析；（3）2．【分析】（1）根据数据完善列联表，求出，根据参考数据可判断.(2)先求出随机抽取1人为男性的概率，由题意，由二项分布可得答案.(3) Y的可能取值为0，1，2．求出概率，求出期望，建立不等式，可得答案.【详解】解：（1）填写列联表如下： 好评差评合计男性4068108女性6048108合计100116216所以，所以有99%的把握认为“观影评价与性别有关”．  （2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以，所以，，，．故X的分布列为X0123P（3）从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人,则男性4人，女性6人.则Y的可能取值为0，1，2．所以，，．所以，即，即，解得，又，所以m的最大值为2．【点睛】关键点睛：本题考查对立性检验、二项分布和期望，解答本题的关键是将问题转化为二项分布问题，即根据条件得出，以及求出对应概率，属于中档题.21．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析. 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，  直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 22．已知函数．(1)若，，求实数a的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）先求出函数的导数，利用含参函数单调性的讨论中首项系数含参数问题讨论，将分为零正负，又通过判别根式对导函数是否有根进行分类求解即可；（2）由题意要证，只要证，涉及到转化的思想令，，求的最小值即可求得结果.【详解】（1）依题意，.           ①当时，在上，所以在上单调递减，所以，所以不符合题设.        ②当时，令，得，解得，，所以当时，所以在上单调递减，所以，所以不符合题设.③当时，判别式，所以，所以在上单调递增，所以.综上，实数a的取值范围是.（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点. 由（1）知，，，则.综上，要证，只需证，因为，设，.        所以，所以在上单调递增，所以.所以，即得成立．所以原不等式成立.【点睛】关键点点睛：导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想，同时考查了利用导数证明不等式的成立，（1）含参问题的分类讨论，对参数的讨论不重不漏；（2）换元法的应用，通过换元研究函数时的常用方法.