2022-2023学年吉林省通化市梅河口市第五中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年吉林省通化市梅河口市第五中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知P(B|A)=，P(A)=，则P(AB)等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由条件概率的计算公式求解即可.

【详解】由题意，知

故选：C

2．在数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据数列的递推公式，逐项计算，即可求解.

【详解】由题意，数列中，，，

可得.

故选：B.

3．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（    ）

A．0.8 B．0.832 5 C．0.532 5 D．0.482 5

【答案】D

【分析】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，利用全概率公式即可求出.

【详解】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，

则它们构成样本空间的一个划分.设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：

.

故选：D.

4．已知圆：，则点到点的距离与其半径的乘积为（    ）

A．4 B．1 C．0 D．2

【答案】D

【分析】由圆的标准方程求出圆心坐标和半径，再由两点间的距离公式可求出结果.

【详解】依题意得圆心，半径为，

所以点到点的距离为，

所以点到点的距离与其半径的乘积为.

故选：D

5．已知数列为等比数列，公比为负数，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作差，因为的符号不确定，所以与的大小不确定，故AB都不正确；根据等比中项可知C正确，D不正确.

【详解】数列为等比数列，公比为负数，

所以，

当时，，当时，，故AB都不正确；

因为，故C正确，D不正确.

故选：C.

6．如图，小明在ABCD外的某处出发，在ABCD范围内存在一条界线，已知小明出发点与界线一侧某点的距离为a，若该界线另一侧也始终存在一个点与小明出发点的距离a，根据你的判断，你觉得该界线可能是（    ）

A．椭圆的一部分 B．一段圆弧

C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

【答案】C

【分析】假设小明在外的一定点和界线一侧定点，在另一侧存在一个点，设与这条界线交于点，在中，得到，结合双曲线的定义，即可求解.

【详解】根据题意，假设小明在外的一定点，在界线一侧定点，在界线另一侧也始终存在一个点，使得，

设与这条界线交于点，

在中， 可得，其中和为定点，

由双曲线的定义得，该界线可能是双曲线一部分.

故选：C.

7．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.

【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为，

因为，直线的斜率为，

所以，，

所以，

因为

所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值是.

故选：D

8．若数列各项均为正数，且对，都有，则称数列具有“P性质”，则（    ）

A．数列具有“P性质”

B．数列具有“P性质”

C．具有“P性质”的数列的前n项和为

D．具有“P性质”的数列的前n项和为

【答案】C

【分析】令，则，令，求得数列的首项，令，可得，将换为，两式相减，结合数列的递推式，再将换为，两式相减，结合等差数列的定义，即可求出数列的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得；

【详解】解：由题意可得，对，都有，

令，即，

当时，，解得，

当时，，

两式相减可得，

即为，可得，，

两式相减可得，

由于，

所以，

令可得，解得或（舍去），

所以，当时也成立，

所以，则.

故选：C

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用赋值处理问题，令，整理可判断ABC的正误；利用求导可得，再令，代入运算判断D正误．

【详解】令，则，所以A正确；

令，则，

又，

所以，，所以B正确，C错误；，

令，则，故D正确；

故选：ABD．

10．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个歧义点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是（    ）

A．相关变量x，y具有正相关关系

B．去除两个歧义点后的回归直线方程为

C．去除两个歧义点后，样本（4，8.9）的残差为

D．去除两个歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小

【答案】ABC

【分析】回归直线方程的斜率大小可以判断A和D；残差为真实值与估计值之差，进而判断C；根据题意算出新的相关变量的平均值，进一步求出，进而判断B.

【详解】对A，因为回归直线的斜率大于0，即相关变量x，y具有正相关关系，故A正确；

对B，将代入得，则去掉两个歧义点后，得到新的相关变量的平均值分别为，，此时的回归直线方程为，故B正确；

对C，x=4时，，残差为8.9-9=-0.1，故C正确；

对D，斜率3>1，此时随x值增加相关变量y值增加速度变大，D错误.

故选：ABC.

11．已知函数的定义域，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的结论正确的是（    ）

A．函数的极大值点有2个

B．函数在上是减函数

C．若时，的最大值是2，那么的最大值为4

D．当时，函数有4个零点

【答案】AB

【分析】观察的图象，有两个左负右正的不等零点故A正确，函数在成立，故B正确，根据条件作出的图象判断C错误，由得，利用数形结合法得到D错误.

【详解】由的图象，

当或，，

函数为增函数，

当或，，

函数为减函数，

即当时，函数取得极大值，当时，函数取得极大值，

即函数有两个极大值点，故A正确，

函数在上是减函数，故B正确，

作出的图象如图:

若时，的最大值是2，

则满足，即的最大值是5，故C错误，

由得，

若，当时，有四个根，

若，当时，不一定有四个根，有可能是2个，

故函数有4个零点不一定正确，故D错误，

【点睛】本题主要考查导数在函数的单调性，极值，最值中的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.

12．已知数列，均为递增数列，的前项和为，的前项和为.且满足，，则下列说法正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】对于A，由数列为递增数列，，可得，从而可求得的范围，对于B，由数列 为递增数列，，可得从而可求出 的取值范围，对于CD，求出，，然后比较即可.

【详解】∵数列为递增数列；

；

，

，

，

；故A正确．

；

因为数列为递增数列；

，

，，

即

所以，

所以所以B正确；

；

所以对于任意的；故C正确，D错误．

故选：ABC

三、填空题

13．写出具有性质①②③的一个函数      ．

①；②当时，；③是奇函数

【答案】（答案不唯一）

【分析】要满足条件①，要联想到对数函数，要满足条件③，应考虑原函数为偶函数，然后结合导数的运算公式和法则可得所求的.

【详解】取，

则，满足①，

，时有，满足②，

的定义域为，又，故是奇函数，满足③.

故答案为：（答案不唯一）.

14．的展开式中的系数为         .

【答案】60

【分析】先求出展开式通项，令的指数为3即可求出.

【详解】的展开式通项为，

令，解得，所以展开式中的系数为.

故答案为：60.

15．函数的极值点为            .

【答案】

【分析】求导，再根据极值点的定义即可得解.

【详解】，

当时，，当时，，

所以函数的极小值点为，无极大值点.

故答案为：.

16．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占、、，甲、丙车间生产的产品的次品率分别为和.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测乙车间的次品率为            .

【答案】

【分析】设出事件，设出未知数，利用全概率公式列出方程，求出答案.

【详解】设表示“取到的是一件次品”，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，

显然是样本空间的一个划分，且有，

由于，设，

由全概率公式得

即，

解得，推测乙车间的次品率为

故答案为：

四、解答题

17．已知数列满足：，且___________，其中，从①，②，③三个条件中任选一个填入上面的横线中，并完成下列问题解答.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列的前项和，求.

【答案】答案见解析.

【分析】（1）选①：根据题意得到，利用等比数列的通项公式，求得，即可求解；

选②：根据题意，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解；

选③：根据题意得到对于恒成立，进而求得数列的通项公式；

（2）由（1）化简的得到，结合裂项法求和，即可求解.

【详解】（1）若选①：因为数列满足，，

可得，即公比，且，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

可得，故；

若选②：数列满足，，

当时，

，

因为，可得.

当时，满足，故；

若选③：数列满足，，

所以对于恒成立，

则必有：，所以.

（2）由题意及（1）知：，

所以

.

18．某市在中学推行“明珠”课堂进行教学改革，为了比较教学效果，改革试点学校的某位数学老师用原传统模式和“明珠”课堂两种不同的教学模式在甲、乙两个同类型的班级进行教学实验.经过一学期的实验，在期末考试后分别统计两个班级中起点成绩相同的名同学的成绩，作出茎叶图如下：记成绩不低于分为“成绩优良”.

(1)试用所学知识大致判断哪种教学方式的教学效果更佳？

(2)由以上统计数据填写下面的列联表，并判断“成绩优良”与教学方式是否有关？

附：

【答案】(1)“明珠”课堂的教学方式的教学效果更佳

(2)列联表见解析；在犯错误不超过的前提下，认为“成绩优良”与教学方式有关

【分析】（1）根据茎叶图可比较出甲乙两班的平均数和数据集中程度，由此可得结论；

（2）根据茎叶图可补充列联表，并计算得到，由此可得结论.

【详解】（1），，

乙班同学的平均成绩更高；

由茎叶图可知：乙班的成绩主要在之间，集中在平均数附近；甲班的成绩分布更为分散，可知乙班的成绩更稳定；

综上所述：“明珠”课堂的教学方式的教学效果更佳.

（2）根据茎叶图数据可补充列联表如下：

，

在犯错误不超过的前提下，认为“成绩优良”与教学方式有关.

19．已知数列满足，，且．

(1)证明数列为等差数列．并求数列的通项公式；

(2)对，将数列中落入区间内的项的个数记为，记的前m项和为，求满足不等式的最小值m．

【答案】(1)证明见解析，，；

(2)4.

【分析】（1）利用同角三角函数之间的关系，移项并平方即可；

（2）区间共有个整数，因此得到表达式，进而得到表达式，解不等式即可得到最小值m．

【详解】（1）由，所以，.

所以，，.

即是以为首项，以1为公差的等差数列.

所以，，.

（2）令，则，.

所以，

，.

令，即，

因为，所以随着m的增大而增大，

又，所以m的最小值为4.

20．已知函数.

⑴当时，证明:在上有唯一零点；

(2)若对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【分析】（1）通过导数可得单调性，利用零点存在性定理依次验证在各个单调区间内是否有零点，结合单调性可知每段单调区间内零点具有唯一性，从而可证得结论；（2）采用分离变量的方式将问题转化为对恒成立，令，利用导数得到在内的最小值，从而得到结果.

【详解】（1）当时，

当和时，；当时，

在，上单调递增；在上单调递减

，    在有一个零点

    在上没有零点

    在上没有零点

综上所述：在上有唯一零点

（2）当时，恒成立等价于对恒成立

令，

则

当时，；当时，

在上单调递减，在上单调递增

即的取值范围为：

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数和零点存在性定理研究函数的零点个数、恒成立问题的求解；解决恒成立问题的常用方法是通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求得函数的最值，得到所求范围.

21．已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)已知，记.若恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设数列的公比为，由，可得，从而可求出公比，进而可得的通项，由题意得，由求出，然后利用累加法可求出的通项公式；

（2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法可求出，则由，得恒成立，再构造函数，求出其最大值即可.

【详解】（1）设数列的公比为，由，得，

由，得，所以，即，

解得（舍去），或，

所以，

因为，所以，

由，得，得，

当时，

，

当时，，所以，

（2）由（1）得

，

所以

，

由恒成立，得，得恒成立，

令，则

，

当时，，当时，，

当时，，所以，

所以，

所以，

所以，即实数t的取值范围为

【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的基本量计算，考查累加法求通项公式，考查裂项相法求和法，解题的关键是将，化为，从而可求出，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.

22．已知函数，其中.

(1)若，讨论函数的单调性；

(2)已知，是函数的两个零点，且，证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）时，，求出定义域，求出导数，对的值分情况讨论即可求解；

（2）由，是函数的两个零点，可得，令，则原不等式转化为证明成立，分别构造函数和后即可证明.

【详解】（1）时，，定义域为，

，

当时，恒成立，在上单调递减；

当时，令，得，

时，，单调递减；

时，，单调递增.

综上，时，在上单调递减；

时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）因为，是函数的两个零点，且，

所以，

得，

所以要证，

只要证，

只要证，

只要证，

因为，所以，

故只要证，

令，则只要证，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即；

令，

则，所以在上单调递增，

所以，即.

综上，时有，从而原不等式得证.

【点睛】思路点睛：含双变量的函数不等式的证明，应注意等价变形，同时观察式子的结构，重视构造函数证明不等式的方法.