2022-2023学年吉林省普通高中友好学校联合体高二下学期第三十六届基础年段期末联考数学试题含答案

2022-2023学年吉林省普通高中友好学校联合体高二下学期第三十六届基础年段期末联考数学试题

一、单选题

1．函数的导数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可求解.

【详解】

故选：C.

2．的展开式中的常数项为（    ）

A． B．18 C． D．9

【答案】A

【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得结果.

【详解】的展开式的通项公式为，

令，得，

故常数项为．

故选：A.

3．某校开展了课后延时服务，要求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务，则张老师在周二参加课后延时服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件概率的计算公式即可求得答案.

【详解】记事件A表示“张老师在周二参加课后延时服务”，

事件B表示“张老师在周三参加课后延时服务”，

则，，所以，

故选：B．

4．已知离散型随机变量的分布列，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分布列求得a的值，确定符合题意的X的值，结合，即可求得答案.

【详解】由已知离散型随机变量的分布列，

则，

由可得或，

故,

故选：A

5．斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…．小利是个数学迷，她在设置手机的数字密码时，打算将斐波那契数列的前5个数字1，1，2，3，5进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小利可以设置的不同密码有（    ）

A．24个 B．36个 C．72个 D．60个

【答案】B

【分析】根据要求，现将数字2，3，5进行全排列，然后将两个1进行插空即可求解.

【详解】由题意可知：排列时要求两个1不相邻，

则现将数字2，3，5进行全排列，有种；

再将两个1进行插空，则有种，

所以小利可以设置的不同密码有种，

故选：.

6．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（    ）

A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38

【答案】A

【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.

【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，

“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥，

根据题意得：，，，

则.

故选：A.

7．为了解某种产品与原材料之间的关系，随机调查了该产品5个不同时段的产品与原材料的价格，得到如下统计数据表：

但是统计员不小心丢失了一个数据（用k代替），在数据丢失之前得到经验回归方程为，则k的值等于（    ）

A．6.96 B．7.0 C．7.1 D．7.2

【答案】C

【分析】根据给定数表，求出样本的中心点，再代入经验回归方程作答.

【详解】依题意，，，

而经验回归方程为，因此，解得，

所以.

故选：C

8．函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导后，令导数小于0求解即可.

【详解】函数的定义域为，

，

令，解得，

则的单调递减区间为.

故选：B.

二、多选题

9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增

C．为的极小值点 D．2为的极大值点

【答案】AD

【分析】由图象可得出导函数的正负，然后得出函数的单调区间，进而判断，即可得出答案．

【详解】对于A项，由图象可得，

当时，，所以在上单调递增，故A项正确；

对于B项，由图象可得，

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增，故B项错误；

对于C项，由图象可得，

当时，，所以在上单调递减，故C项错误；

对于D项，由图象可得，

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

所以，当时，取得极大值，所以2为的极大值点，故D项正确.

故选：AD.

10．随机变量且，随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据正态分布的期望方差性质可判断A、B，根据及二项分布期望公式可求出，根据二项分布方差的计算公式可求出，进而求得.

【详解】解：因为且，

所以，故，，选项A正确，选项B错误；

因为，所以，

所以，解得，选项C正确；

，选项D正确.

故选：ACD.

11．甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（    ）

A．A与B互斥 B．A与C独立 C． D．

【答案】ACD

【分析】A与B是互斥事件，A正确，，B错误，利用公式计算CD正确，得到答案.

【详解】对选项A：A与B是互斥事件，正确；

对选项B：，，，

，错误；

对选项C：，正确；

对选项D：，正确.

故选：ACD

12．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．是的极小值；

B．函数有且只有1个零点

C．在上单调递减；

D．设，则.

【答案】ABD

【分析】由函数的定义域为，可知选项C错误，再利用导数求出极小值可判断选项A正确；由求导，可判断该函数在上单调递减且时其函数值为，可判断选项B正确；对求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D正确.

【详解】函数的定义域为，可知C错误，

对A，，

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增，

所以当时，函数取得极小值，故A正确；

对B，，其定义域为，

，

所以函数在上单调递减，又时其函数值为，

所以函数有且只有1个零点，故B正确；

对D，，其定义域为，

，令，得，

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增，

所以当时，函数取得极小值，也是最小值，

所以，故D正确.

故选：ABD

【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于中档题.

三、填空题

13．已知函数，则      .

【答案】

【分析】利用导数公式及求导法则求出导数，再赋值计算作答.

【详解】函数，求导得，

当时，，所以.

故答案为：

14．已知的分布列，且，，则      .

【答案】4

【分析】由分布列计算，再由得a的值.

【详解】，

且，

，

即，解得，

故答案为：4.

15．若，，则      .

【答案】

【分析】根据赋值法，分别令，求解可得.

【详解】令可得：，

再令可得：，

所以.

故答案为：

16．已知定义在R上的函数的导函数为，，且，则不等式的解集为      .

【答案】

【分析】首先构造函数，理由导数判断函数的单调性，再求解不等式.

【详解】设函数，

，所以单调递增，

不等式，即，即，

所以不等式的解集为.

故答案为：

四、解答题

17．（1）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法?（结果用数字表示）

（2）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晩上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数?（结果用数字表示）

【答案】（1）14种；（2）60种.

【分析】（1）把4名干部按分成两组，再分配到两个街道列式计算作答.

（2）根据给定条件，利用倍缩法列式计算作答.

【详解】（1）依题意，把4名干部按分成两组，有种分组方法，按分成两组，有种分组方法，

所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）.

（2）依题意，6串香蕉任意收取有种方法，其中中间一列按从下往上有1种，占，

最右一列按从下往上只有1种，占，

所以不同取法数是（种）.

18．已知函数.

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)求函数在的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在的导数值，即切线斜率，代入直线的点斜式方程即可；

（2）利用导数判断出函数在上的单调性，求出极小值，再分别求出端点处的函数值比较即可得出其最大值和最小值．

【详解】（1）易知，函数的定义域为；

所以，则切点为，

又，则在点处的切线斜率，

所以切线方程为，整理可得，即，

即函数在点处的切线方程为.

（2）由（1）可知，，又，所以令得，

令得，所以在上单调递减，

令得，所以在上单调递增，

所以函数有极小值为，也是函数的最小值，

又，，所以函数的最大值为，

综上可得，函数在上的最大值为，最小值为.

19．对于二项式：

(1)若展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；

(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据第4项与第8项的二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项，取的指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可；

（2）写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，进而求得展开式的中间项即可.

【详解】（1）解：因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，

所以，解得，

则展开式通项为

，

令，解得，代入通项有：

，所以的系数为；

（2）二项式通项为：

，

所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，

第三项的系数为：，由于前三项的系数成等差数列，

所以，解得，或，

因为至少有前三项，所以（舍），故，

所以展开式有9项，中间一项为.

20．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为，，.

(1)求该产品的次品率；

(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X，求随机变量X的分布列与方差.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式以及对立事件的概率，即可求解.

（2）根据二项分布的概率公式即可求解概率，进而可得分布列以及方差.

【详解】（1）产品正品的概率为：，

所以为次品的概率为

（2）由题意得，1，2，3，且,

，，

，

.

∴X的分布列如下：

    ∴

21．相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查，得到如下列联表：

(1)依据的独立性检验，能否认为性别与使用刷脸支付有关联？

(2)根据是否刷脸支付，在样本的女性中，按照分层抽样的方法抽取9名，为进一步了解情况，再从抽取的9人中随机抽取4人，求抽到刷脸支付的女性人数的分布列及数学期望.

附：

【答案】(1)能够认为性别与使用刷脸支付有关联

(2)分布列答案见解析，数学期望

【分析】（1）补充列联表，计算出卡方值，和6.635比较即可得出；

（2）可得的可能取值为0，1，2，3，4，计算出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望.

【详解】（1）列联表补充为

.

依据小概率值的独立性检验，能够认为性别与使用刷脸支付有关联.

（2）易知9人中刷脸支付的有5人，非刷脸支付的有4人.

由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4.

，，

，，

，

的分布列为

.

22．设函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若f（x）有两个极值点，，求a的取值范围．

【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）运用导数研究函数的单调性.

（2）将问题转化为，是的两个不同的根，分离参数研究与有两个不同的交点，运用导数研究的图象进而求得a的范围.

【详解】（1）∵，

∴，

当时，

∴，定义域为R，

则，

∴，，

∴的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）∵有两个极值点，（），

∴，是的两个不同的根.

即：，是的两个不同的根.

∴令，

则，是与的两个不同的交点.

∴，

∴，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

又∵，，

当时，；当时，，

∴图象如图所示，

所以，

所以，

即：a的取值范围为.