2022-2023学年吉林省“BEST合作体”高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年吉林省“BEST合作体”高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，先把集合求出，再利用集合的交集运算即可.

【详解】由，

，

则

故选：A

【点睛】考查了指数不等式的解法以及函数的值域的求法，交集的运算，属于较易题.

2．命题“”，命题“”，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】先根据命题求出的范围，再根据充分性和必要性的定义得答案.

【详解】对于命题，，得，

可以推出，但是不能推出，

p是q的充分不必要条件.

故选：A.

3．用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】化简已知得，得，即得解.

【详解】解：因，两边取对数得：，

令，则，而，于是得，即，

所以.

故选：B

4．已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.

【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则，

当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，

所以的最大值为.

故选：A

5．李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价略有差异.有以下两种加油方案：

方案一：不考虑两次油价的升降，每次都加油200元；

方案二：不考虑两次油价的升降，每次都加油30升.

李先生下个月采用哪种方案比较经济划算?（    ）

A．方案一 B．方案二 C．一样划算 D．不能确定

【答案】A

【分析】设第一次油价为，第二次油价为，计算两种方案的平均油价，作差比较得到答案.

【详解】设第一次油价为，第二次油价为，，，

方案一的平均油价为：；

方案二的平均油价为：.

则，故.

故选：A.

6．已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件求出点M的坐标代入双曲线方程化简得，即可求出离心率.

【详解】由双曲线的对称性不妨设点在第一象限，设双曲线的右焦点为F，

因为为顶角为的等腰三角形，所以，，

则，所以，，

则点的坐标为，

代入双曲线方程得，化简得，

所以双曲线的离心率.

故选：D

【点睛】本题考查双曲线的概念和性质、求双曲线的离心率，属于基础题．

7．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可解答.

【详解】  

依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，

转化为函数与图象由四个交点，

由函数函数可知，

当时，函数为单调递减函数，；

当时，函数为单调递增函数，；

当时，函数为单调递减函数，；

当时，函数为单调递增函数，；

结合图象，可知实数的取值范围为.

故选：A

8．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构建函数，利用导数判断的单调性可得，再构建利用导数判断的单调性可得.

【详解】构造函数，

则，

所以在上单调递增，则，故，

构建，则，在上恒成立，

故在上单调递减，则，∴，

所以，即，所以，故，

综上，，

故选：C

二、多选题

9．某课外兴趣小组通过随机调查，利用列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得，经查阅临界值表知，则下列判断错误的是（    ）

A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生

B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010

C．有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关

D．在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”

【答案】ABD

【分析】根据题意，由的意义即可得到结果.

【详解】每100个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，已知数据不能确定结论，故A错误；

若某人数学成绩优秀，已知数据不能判断他为男生的概率，故B错误；

由以及可知，有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关，

即在犯错误率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C正确，D错误.

故选：ABD

10．下列命题中正确的是（    ）

A．命题：“”的否定是“”

B．函数（且）恒过定点

C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为

D．函数的值域是，则实数m的范围是

【答案】BCD

【分析】根据全称量词命题的否定、指数函数的性质、函数定义域、函数值域等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知：“”的否定是“”，故A错误；

B选项，因为，由，可得恒过定点，故B正确；

C选项，函数的定义域为，，

所以的定义域为，所以，即函数 的定义域为，故C正确；

D选项，函数的值域是，当时，的值域为，符合题意，

当时，则，解得；

综上所述，的取值范围是，故D正确.

故选：BCD.

11．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，可判断B选项；的取值为，计算的概率和期望值，又，可计算，可判断AC选项；的取值为，且，计算可判断D选项.

【详解】解：由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，故B正确；

的取值为，

，，

，，，可知A错；

的取值为，且，，，，，

则，，所以，故C错；

的取值为，且，，，，，

所以，故D正确；

故选：BD.

12．定义在上的函数的导函数为，当时，，函数 满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（    ）

A．是周期为2的函数 B．为偶函数

C． D．的值域为

【答案】BC

【分析】对求导，根据条件求得对称性，并求得定义域上的单调性及周期性，从而对选项一一分析.

【详解】解：因为，所以，

在时，，

所以，所以，故在上单调递减．

因为为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，即；

又，所以函数关于直线对称，

所以在单调递增，且，

则，，

可得，是周期为的周期函数，A不正确．

因为，，结合草图可知

，C正确．

对于定义域内任一个，结合周期性可得，故为偶函数，B正确

而的函数最值无法确定，故D错误．

 故选：BC

三、填空题

13．已知等差数列的前项和为，且，，则      ．

【答案】5

【分析】根据题意，由等差数列的性质以及其前项和公式可得，从而求得.

【详解】因为，则，又，所以，

则，所以.

故答案为：

14．的展开式中，的系数为      ．

【答案】

【分析】可以将可以看作5个盒子，每个盒子中有三个元素，每个盒子中取一个元素，结合组合数公式，即可求解.

【详解】可以看作5个盒子，每个盒子中有三个元素，

现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，

所以展开式中含的项为

，

所以的系数为.

故答案为：

15．已知，，且，则的最大值是     .

【答案】4

【分析】根据均值不等式，即可求得答案.

【详解】因为，，所以由基本不等式得,

所以，得，所以，

当且仅当即，时取等号,所以的最大值是4,

故答案为：4

16．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法，例如：47可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为          .

【答案】

【分析】表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数有种情况，由于至少要用8根小木根的对立事件为用掉5根，6根，7根这三种情况，用掉5根，6根，7根小木棍的全排列共有种，从而求出至少要用8根小木棍的概率.

【详解】至少要用8根小木根的对立事件为用掉5根，6根，7根这三种情况，

用5根小木棍为1、2、6这一种情况的全排列，

6根有123，127，163，167这四种情况的全排列，

7根有124，128，164，168，137，267，263这七种情况的全排列，

用掉5根，6根，7根小木棍的全排列共有种，

表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数有种情况

故至少要用8根小木根的概率为.

故答案为：.

四、解答题

17．在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．

(1)求，，

(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)，

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）法一：根据古典概型结合条件概率运算求解；法二：根据独立事件概率乘法公式结合条件概率运算求解；

（2）根据题意结合超几何分布求分布列和期望.

【详解】（1）方法一：

由题意可得：，

“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，

因为，，

所以，

故．

方法二：，

“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，，

故．

（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，

，，

，，

X的分布列：

X的数学期望.

18．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.

附：相关系数，

回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

，，.

(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）

(2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.

【答案】(1)0.96，订单数量y与月份t的线性相关性较强

(2)，6.05万件

【分析】（1）根据公式求出，即可得出结论；

（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令，即可得解.

【详解】（1），，

，

，

，

，

订单数量y与月份t的线性相关性较强；

（2），

，

线性回归方程为，

令，（万件），

即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.

19．已知数列的前n项和为．

(1)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求的通项公式；

(2)设，记的前n项和为，若对任意正整数的n，不等式恒成立，求的最小值．

条件①，且；条件②为等比数列，且满足；（注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．）

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）选择条件①，结合题意得，进而得为公比的等比数列，再根据等比数列求得，进而求解通项公式；

选择条件②，由题知，再根据等比数列通项公式求解即可；

（2）由题知，进而根据裂项求和法得，进而得.

【详解】（1）解：选择条件①，且，

由题意可得，

∴，即，

∴为公比的等比数列，

∵，∴，解得，

∴；

选择条件②为等比数列，且满足，

由题意可得，

∴，∴；

（2）由（1）得，

∴，

∴，

∵，，

∴

∴不等式恒成立时，，即的最小值为．

20．已知函数．

(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a的值；

(2)当时，求在上的最大值；

(3)若对任意的，恒有，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）直接求导得出，解a的值即可；

（2）利用导函数判断在上的单调性即可得出最大值；

（3）利用导函数结合区间端点，分类讨论函数的单调性即可.

【详解】（1）由，所以，

又曲线在处的切线方程为，即，

所以；

（2）当时，，

由在上分别单调递增、单调递减可得：

在上单调递增，而，

即，使得，故在上单调递减，上单调递增，

且，即在上的最大值为；

（3）∵，，令，

①当时，，易知在上恒成立，当时取得等号，符合题意；

②当时，易知，则在上恒成立，即在时单调递增，

又，故在上单调递增，

∵，∴恒有，符合题意；

③当时，由②知在时单调递增，

而，

即，使得，故在上单调递减，上单调递增，

又，则，不满足题意；

综上当，能满足任意的，恒有.

21．2023年4月23日，是中国海军成立74周年74年向海图强，74年劈波斩浪．74年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发展，从“101南昌舰”到“108咸阳舰”，8艘055型驱逐舰列阵.我国自主研制的075型两栖攻击舰“31海南舰”“32广西舰”“33安徽舰”也相继正式入列．从小艇到大舰，从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平．为了庆祝中国海军成立74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型（分别为“31海南舰”､“32广西舰”“33安徽舰”），并限量发行若该公司每个月发行300件（三款各100件），一共持续12个月，采用摇号的方式进行销售．假设每个月都有3000人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款中的一款．小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣喜若狂．

(1)若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；

(2)若摇上号的人不再参加后面的摇号．已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在12个月的限量发行中成功摇到并获得了模型．设他第X个月摇到并获得了模型，求X的数学期望．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别分析小周连续3个月摇上号的概率和集齐三款模型的概率，即可求出他在这三个月集齐三款模型的概率；

（2）根据题意得出和，得出的表达式，根据错位相减即可求出．

【详解】（1）由题可知，小周第1个月摇上号的概率为，所以小周连续三个月摇上号的概率为，

小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型共有种情况，三个月获得模型共有种情况，

所以在小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型的概率为,

设事件为“小周在这三个月集齐三款模型”，则．

（2）由题意得，，

则，

两边同乘得，

两式相减得

，

所以．

22．已知 ，函数，.

(1)当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；

(2)若，求证：.

【答案】(1)1

(2)证明见解析

【分析】（1）分别对，求导，讨论和，得出和的单调性，即可求出，的极小值，即可得出答案.

（2）令，由可得，要证 ，不妨设，所以只要证，令，，对求导，得出的单调性，即可证明.

【详解】（1），定义域均为，

，  

当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；

当时，令，解得：，

所以在单调递减，在单调递增，

在取极小值，且；    

又，

当时：，在单调递减，无极值，与题不符；

当时：令，解得：，

所以在单调递减，在单调递增，

在取极小值，且；    

由题：，解得：.

（2）令，因为，所以，

由可得：，

（1）-（2）得：，所以，

要证： ，只要证： ，只要证：

不妨设，所以只要证：，

即证：，令，只要证：，

令， ，

 所以在上单调递增，

， 即有成立，所以成立.