2022-2023学年陕西省西安市周至县第四中学高二下学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市周至县第四中学高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．

方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．

【详解】方法一：因为，而，

所以．

故选：C．

方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．

故选：C．

2．已知是虚数单位，则在复平面内，复数对应的点所在位于第（        ）象限

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】D

【分析】根据复数四则运算可知，即可得其对应的点为，位于第四象限.

【详解】由可知，，

因此其对应的点为，位于第四象限.

故选：D

3．已知函数，则（    ）

A． B．1 C．-1 D．2

【答案】C

【分析】根据分段函数的解析式求函数值即可.

【详解】由条件可得，则.

故选：C.

4．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（    ）（参考数据：）

A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟

【答案】B

【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.

【详解】由题知，，，

，

，

，

，

.

故选：B.

5．函数，此函数的奇偶性及最大值为（    ）

A．奇函数，最大值是 B．偶函数，最大值是

C．奇函数，最大值是 D．偶函数，最大值是

【答案】D

【分析】根据奇偶函数的判定和二倍角的余弦公式，结合二次函数的最值即可得到答案.

【详解】易知函数的定义域为，

又，

所以该函数为偶函数，

因为，

所以当时，取最大值.

故选：D.

6．函数在上的图象大致为（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】根据奇偶性排除B、D，再取特值排除C.

【详解】因为，

所以函数为奇函数，故B、D错误；

又因为，则，故C错误；

故选：A.

7．已知是各项不相等的等差数列，若，且，，成等比数列，则数列的前10项和（    ）

A．5 B．45 C．55 D．110

【答案】C

【分析】设等差数列的公差为d（），由等比中项的性质和等差数列的通项公式求得公差，再由等差数列的求和公式即可求得结果.

【详解】设等差数列的公差为d（），

由题意知，，，

所以，

解得或（舍去），

所以，

所以.

故选：C.

8．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积是（   ）

A．6 B．9 C．18

【答案】A

【分析】根据题意证得平面，得到四棱锥的高为，结合体积公式，即可求解.

【详解】在长方体中，，

连接交于点，可得，

又由平面，且面，所以，

因为，且平面，可得平面，

所以四棱锥的高为，

所以的体积.

故选：A.

9．已知平面向量，满足，且，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．

【答案】C

【分析】根据已知条件求出，然后根据数量积的运算律，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，

即，即，

所以，.

所以，.

故选：C.

10．圆及围成的平面阴影部分区域如图所示，向正方形中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用几何概型的概率公式即可求解.

【详解】圆及分别以和为圆心，

半径都是1.连接，可知阴影部分由分别以为圆心，

1为半径的两个四分之一弓形组成，

阴影部分的面积为，

正方形的面积为，

所以质点落在阴影部分区域的概率为，

故选：B.

11．函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意首先确定函数的单调性和极值，据此得到关于实数的不等式组，求解不等式组即可确定实数的取值范围．

【详解】由题意可得：，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

据此可得函数在处取得极大值，在处取得极小值，

结合题意可得：，解得：，

所以实数的取值范围是.

故选：B．

【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值，由函数零点个数求参数取值范围的方法等知识，属于中等题．

12．已知双曲线C的离心率为，焦点为，点A在C上，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线离心率可得，根据双曲线定义推出，利用余弦定理即可求得答案.

【详解】由题意双曲线C的离心率为，焦点为F1、F2，点A在C上，

故不妨设为左、右焦点，由可知A在双曲线右支上，

则，故，

由于双曲线C的离心率为，则，即，

在中，

，

故选：B

二、填空题

13．若x，y满足约束条件，则的最大值为      .

【答案】2

【分析】先作出可行域，再根据目标函数的几何意义分析运算.

【详解】作约束条件的可行域，如图所示.

由，解得，令.

将目标函数变形为，表示斜率为2，纵截距为的直线，

根据其几何意义可得，当直线经过点时，其纵截距最小，

即当时，目标函数z取到最大值，则的最大值为2.

故答案为：2.

14．已知数列的前n项和满足，则         ．

【答案】

【分析】根据给定的递推公式，结合与的关系求解作答.

【详解】数列的前n项和满足，即，

当时，，即有，

当时，，即，因此数列是首项为，公比为的等比数列，

所以.

故答案为：

15．函数（且，）的部分图象如图所示，函数解析式为        .

【答案】

【分析】由图象可直接判断出，计算周期，从而可得值，代入最小值结合的范围计算值，从而可得函数解析式.

【详解】由图象可知，，，得，

所以，当时，，

得，所以，

因为，所以，

所以函数解析式为.

故答案为：

16．若函数为定义在上的奇函数，则曲线在点处的切线方程为        ．

【答案】

【分析】先根据奇函数的性质求出，进而根据导数的几何意义求解即可.

【详解】因为函数为定义在上的奇函数，

所以，即，

此时，，

所以，即函数为奇函数，符合题意，

所以，

所以，

所以，

即曲线在点处的切线斜率为，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的单调递减区间

(2)若在中，角，，所对的边分别为，，，且，，求面积的最大值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；

（2）由，求出角，余弦定理求的最大值，面积公式可求面积的最大值．

【详解】（1）因为

，

即，

令，，解得，，

所以函数的单调减区间为，．

（2）由得，由，∴，∴．

又，由余弦定理得，

所以，得，当且仅当时等号成立，

所以，

所以面积的最大值为．

18．习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调：“回望过往的奋斗路，眺望前方的奋进路，必须把党的历史学习好、总结好，把党的成功经验传承好、发扬好.”为庆祝建党100周年，某市积极开展“青春心向党，建功新时代”系列主题活动.该市某中学为了解学生对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，全校高一和高二共选拔100名学生参加，其中高一年级50人，高二年级50人.并规定将分数不低于135分的得分者称为“党史学习之星”，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如下表所示.

(1)能否有99%的把握认为学生获得“党史学习之星”与年级有关？

(2)获得“党史学习之星”的这60名学生中，按高一和高二年级采用分层抽样﹐随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的党史知识竞赛，求这2人中至少有一人是高二年级的概率.

参考公式：，其中.

【答案】(1)有 的把握认为学生得“党史学习之星”与年级有关

(2)

【分析】（1）计算，进行独立性检验；

（2）由分层抽样结合概率公式求解即可.

【详解】（1）根据列联表代入计算可得：

，

所以有 的把握认为学生得“党史学习之星”与年级有关.

（2）由题意可知，所抽取的6名学生高一年级有4人，记为，，，

高二年级有2人，设为甲、乙.

从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有，，， {，甲}，{，乙}，，，{，甲}，{，乙}，，{，甲}，{，乙}，{，甲}，{，乙}，{甲，乙}，共15个，

其中至少有一人是高二年级基本事件有{，甲}，{，甲}，{，甲}，{，甲}，{甲，乙}，{，乙}，{，乙}， {，乙}， {，乙}，共9个.

故至少有一人是高二年级的概率.

19．如图1所示，在长方形中，，是的中点，将沿折起，使得，如图2所示，在图2中．

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在图1中，连接，根据勾股定理结合条件得到，再由线面垂直的判定定理即可证明出平面；

（2）在图2中，作的中点，连接，根据（1）的结论结合面面垂直的判定和性质得到线段是三棱锥的高，从而求出三棱锥的体积，再由等体积法，即可求得点到平面的距离.

【详解】（1）在图1中，连接，如图所示：

因为在长方形中，，是的中点，

所以，

则，，

又，即，所以，

在图2中，又，，平面，平面，

所以平面.

（2）在图2中，作的中点，连接，如图所示：

因为，所以，且，

又由（1）得：平面，平面，

所以平面平面，又平面平面，

，平面，所以平面，

即线段是三棱锥的高，

所以三棱锥的体积，

又平面，平面，所以，

则的面积，

设点到平面的距离为，

则三棱锥的体积，

即，解得：，

故点到平面的距离为.

20．已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求

(1)

(2)的面积

【答案】(1)48

(2)24

【分析】（1）根据椭圆定义结合勾股定理运算求解；

（2）结合（1）中结果运算求解即可.

【详解】（1）因为椭圆方程为，则，

即，可得，

因为，则

即，所以.

（2）由（1）得，

因为，所以.

21．已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)求在上的最值.

【答案】(1)增区间、；减区间

(2)，

【分析】（1）直接对函数求导，再利用导数与函数单调性间的关系即可求出结果；

（2）利用（1）中结果，确定在区间上的单调性，利用单调性即可求出结果.

【详解】（1）因为，所以，

由得到或，由得到，

所以单调增区间为和；单调减区间为.

（2）由（1）知，当时，单调递增，时，单调递减，

故

又，

故.

22．已知直线的参数方程为(为参数)，圆的极坐标方程为．

(1)求圆的直角坐标方程；

(2)设圆与直线交于点，若点的坐标为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）两边同时乘以，根据互化公式可得结果；

（2）将直线的参数方程化为标准形式，代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求出结果.

【详解】（1）由，得，

将，代入，得圆C的直角坐标方程为.

（2）把参数方程化为标准形式：，

代入得，

设，是上述方程的两根，则有,,

因此由t的几何意义可知．