2022-2023学年陕西省渭南市富平县高二下学期7月期末数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省渭南市富平县高二下学期7月期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数满足，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将化简为，然后直接求的共轭复数即可.

【详解】由得，

则的共轭复数为.

故选：C

2．设函数可导，则等于（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数的定义即可得出.

【详解】．

故选：C

【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于基础题.

3．已知四组不同数据的两变量的线性相关系数如下：数据组①的相关系数；数据组②的相关系数；数据组③的相关系数；数据组④的相关系数.则下列说法正确的是（    ）

A．数据组①对应的数据点都在同一直线上

B．数据组②中的两变量线性相关性最强

C．数据组③中的两变量线性相关性最强

D．数据组④中的两变量线性相关性最弱

【答案】B

【分析】根据线性相关系数的性质逐个判断即可

【详解】对A，数据组①的相关系数，故数据组①对应的数据点无线性关系，故A错误；

对BC，数据组②的相关系数为4组中绝对值的最大值，故数据组②中的两变量线性相关性最强，故B正确，C错误；

对D，数据组①的相关系数为4组中绝对值最小，故数据组①中的两变量线性相关性最弱，故D错误

故选：B

4．有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（    ）

A．甲与丙相互独立 B．乙与丁不相互独立

C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立

【答案】C

【分析】首先令事件：“第一次取出的球的数字是1”， 事件：“第二次取出的球的数字是2”， 事件：“两次取出的球的数字之和是”， 事件：“两次取出的球的数字之和是6”，得到，，，，再根据独立事件的性质依次判断选项即可.

【详解】从5个标有数字的小球中有放回的随机取两次，每次取1个球，

共有个基本事件，

令事件：“第一次取出的球的数字是1”，

事件包含：，，，，共5个基本事件，

则，

令事件：“第二次取出的球的数字是2”，

事件包含：，，，，共5个基本事件，

则，

令事件：“两次取出的球的数字之和是”，

事件包含：，，，，共4个基本事件，

则，

令事件：“两次取出的球的数字之和是6”，

事件包含：，，，，共5个基本事件，

则，

对选项A，，故A错误.

对选项B，，，

所以乙与丁相互独立，故B错误.

对选项C，，，

所以甲与丁相互独立，故C正确.

对选项D，，，

所以乙与丙不相互独立，故D错误.

故选：C

5．已知，则的取值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据组合数公式的性质求解

【详解】由题意得，解得，

故选：C

6．某大学四名学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（    ）

A．9种 B．13种 C．64种 D．81种

【答案】D

【分析】根据每名大学生都有3种选择，利用分步计数原理求解.

【详解】解：因为每名大学生都有3种选择，

所以共有种选法．

故选：D

7．某校高二年级有1000名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计高二年级的学生数学成绩在120分以上的人数为（    ）

A．150 B．140 C．130 D．120

【答案】A

【分析】根据数学成绩，且，求得即可.

【详解】解：因为数学成绩，且，

所以，

所以高二年级的学生数学成绩在120分以上的人数为，

故选：A

8．已知某同学投篮一次的命中率为，连续两次均投中的概率是，若该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合题设及条件概率公式求条件概率即可.

【详解】若为第次投篮并投中，则，，

所以.

故选：D

9．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的导数公式求解.

【详解】因为，所以，

令，则有，解得，

所以，

所以，

故选：A.

10．某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一位同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下：

经这位同学的研究，发现第天幼苗的高度的经验回归方程为，据此预测第10天这棵幼苗的高度大约为（    ）

A．25cm B．23.1cm C．21cm D．19cm

【答案】B

【分析】根据样本中心必满足经验回归方程即可求解.

【详解】由题可得，

因为样本中心必满足经验回归方程为，

所以，解得，

所以经验回归方程为，

当时，，

故选：B.

11．已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导数，就，分类讨论后可得参数的取值范围.

【详解】，其中

当时，，故在上单调递减，

此时在内无最值.

当时，若，则，若，则，

故在上为增函数，在上为减函数，

故在处取最大值，

故选：A.

12．是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令，求导，根据，得到在上递增，再根据是定义在R上的奇函数，得到在上的单调递增求解.

【详解】解：令，

则，

因为，

所以，

则在上递增，

又是偶函数，且是定义在R上的奇函数，

所以是定义在R上的奇函数，

则在上单调递增，

所以，即，故A错误；

，即，故B错误；

，即，故C正确；

，即，故错误，

故选：C

二、填空题

13．复数的虚部为        .

【答案】

【分析】根据复数的乘法运算及虚部的概念求解.

【详解】，

所以的虚部为.

故答案为：

14．二项式的展开式中的系数是        .

【答案】

【分析】根据二项式展开的通项公式求解.

【详解】展开式的通项公式为，

令，则，

故答案为: .

15．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设、、三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学报名，则不同报名方法有        种

【答案】

【分析】将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，确定每组的人数，然后将这三组同学分配给、、三门德育校本课程，结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，每组人数分别为、、或、、，

然后将这三组同学分配给、、三门德育校本课程，

由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为.

故答案为：.

16．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是        ．

【答案】

【分析】由有两个极值点可得有两个不同的实数根，令，用导数研究的图像即可求解

【详解】由题意，有两根，且两根的两边导函数值异号，

又，令，则有两个不同的实数根，

令，则，

令有，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.

且当时，当时，且，，

故作出图象.

可得当有两根时

故答案为：

三、解答题

17．4月23日是“世界读书日”，读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界，为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动.活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测.通过随机抽样，得到100名学生的检测得分如下：

(1)若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”，得分低于70分的学生称为“非阅读爱好者”.根据所给数据完成下列2×2列联表；

(2)请根据所学知识判断是否有95%的把握认为“阅读爱好者”与性别有关

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析

(2)没有95%的把握认为“阅读爱好者”与性别有关.

【分析】（1）根据列联表的定义求解；

（2）根据独立性检验的方法求解.

【详解】（1）由题可得，男生中不低于70分的学生有45人，低于70分的有10人，

女生中不低于70分的学生有30人，低于70分的有15人，

（2）因为，

所以没有95%的把握认为“阅读爱好者”与性别有关.

18．已知复数（是虚数单位），且为纯虚数（是的共轭复数）.

(1)求的模；

(2)若在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，利用复数的乘法化简复数，根据复数的概念求出的值，再利用复数的模长公式可求得的值；

（2）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于的不等式组，解之即可.

【详解】（1）解：因为，则，所以，为纯虚数，

则，解得，则，故.

（2）解：因为，

且复数在复平面内所对应的点在第四象限，则，解得.

19．一个口袋内有5个不同的红球，4个不同的白球.

(1)若将口袋内的球全部取出后排成一排，求白球互不相邻的排法种数；

(2)已知取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若从口袋内任取5个球，总分不少于8分，求不同的取法种数.

【答案】(1)43200

(2)81

【分析】（1）使用插空法可解；

（2）分3红2白，4红1白，5红三种情况求解即可.

【详解】（1）先将5个红球排成一排共，再将4个白色小球插入到6个空位中有，

所以白球互不相邻的排法种数为种.

（2）当取出的小球为3红2白时得8分，共种；

当取出小球为4红1白时得9分，共种；

当取出小球都是红球时得10分，共1种.

所以口袋内任取5个球，总分不少于8分的取法共有种.

20．已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)已知时，恒成立；若当时，恒成立，求的取值范围

【答案】(1)在单调递减，在单调递增.

(2)

【分析】（1）利用导函数求单调区间；

（2）利用导函数求函数的单调性和最值即可求解.

【详解】（1）当时，,

,

当时，；当时，；

所以函数在单调递减，在单调递增.

（2）因为当时，恒成立，

所以，也即，

所以恒成立，

令，

，

因为时，恒成立，所以，

所以当时，；当时，；

所以函数在单调递减，单调递增，

所以，

所以，所以.

21．在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的个白色球和个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑色球，则用个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中.

(1)求第次恰好取完两个黑色球的概率；

(2)若取到两个黑色球或者取球次数达到次就停止取球，设停止取球时取球次数为，求的分布列.

【答案】(1)

(2)分布列答案见解析

【分析】（1）分析可知前三次取球中恰好有一次取到黑球，且第次也取到黑球，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列.

【详解】（1）解：若第次恰好取完两个黑色球，则前三次取球中恰好有一次取到黑球，且第次也取到黑球，

故所求概率为.

（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，

则，，

，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

22．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，证明：函数在上有两个不同的零点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；

（2）当时，由可得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可证得结论成立.

【详解】（1）解：因为，则，

所以，，，

所以，曲线在点处的切线方程为，

即.

（2）解：当时，且当时，由，可得，

令，其中，则，令，可得，列表如下：

所以，函数的最小值为，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，

故当时，直线与函数在上的图象有两个交点，

此时，函数在上有两个不同的零点.