2022-2023学年陕西省安康市汉滨区七校高二下学期期末联考数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省安康市汉滨区七校高二下学期期末联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定复数进行除法运算即可得解.

【详解】.

故选：A

2．用分析法证明：欲使①，只需②，这里①是②的（ ）

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】分析法本质是找出结论成立的充分条件，由此分析即可得出答案.

【详解】根据分析法可知，②能推出①，但①不一定能推出②，所以①是②的必要条件.

故选:B

3．如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)中,E为BC延长线上一点,,则=

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】如图所示,取的中点,连接,，再求出，即得解.

【详解】如图所示,取的中点,连接,

则且,

四边形是平行四边形,

且，

又，

，

故答案为B

【点睛】本题主要考查平行六面体的性质、空间向量的运算法则，意在考查空间想象能力以及利用所学知识解决问题的能力.

4．“猜想”又称“角谷猜想”“克拉茨猜想”“冰雹猜想”，它是指对于任意一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终总能够得到1.已知正整数数列满足上述变换规则，即：.若，则（    ）

A．1 B．2

C．3 D．16

【答案】D

【解析】利用正整数经过4次运算后得到1，按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到的所有可能的取值.

【详解】根据题意，正整数经过4次运算后得到1，

所以正整数经过3次运算后得到2，

经过2次运算后得到4，

经过1次运算后得到8或1(不符合题意，舍去)，

可得正整数的值为16，

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，按照变换规则，进行逆向分析是解题关键，考查了学生的推理能力，是中档题.

5．动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是（    ）.

A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线

【答案】D

【解析】根据抛物线的定义即可判断.

【详解】解：∵动点到点的距离比它到直线的距离大1，

∴动点到点的距离等于它到直线的距离，

∴由抛物线的定义知：该动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线.

故选：D.

6．设双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据，即可求解.

【详解】由题意，双曲线：的离心率为，即，

所以，所以的渐近线方程为.

故选：B.

7．如图，阴影部分的面积是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】运用定积分的性质可以求出阴影部分的面积.

【详解】设阴影部分的面积为，则

.选C

【点睛】考查了定积分在几何学上的应用，考查了数学运算能力.

8．函数的图象大致是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】求导得到，得到函数单调性，根据单调性判断图象得到答案.

【详解】，，取得到.

故函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.

对比图象知：满足条件.

故选：.

【点睛】本题考查了根据导数求单调区间，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

9．王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ）

A．18 B．20 C．22 D．28

【答案】C

【分析】设教师、家长、女生、男生人数分别为，根据给定的信息，建立不等关系，即可求解作答.

【详解】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且，

于是，则，

又，解得，因此，此时，

所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22.

故选：C

10．已知，直线与曲线相切，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为直线与曲线相切，则可设切点为，求出在切点处的切线方程等同于直线，即切线方程过点，代入切线方程求出，从而求出值.

【详解】因为直线与曲线相切，所以设切点为，

则，因为，所以 ，

则切线方程为：，因为过点，代入可得：

.

令，则在上恒成立，所以在上单调递增，且，所以切点为，则.

故选：B.

11．如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于（    ）

A． B． C．－1 D．＋1

【答案】A

【分析】根据可得出，可得出、、的齐次等式，进而可求得“黄金双曲线”的离心率的值.

【详解】根据“黄金椭圆”的性质是，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，

设“黄金双曲线”方程为，则、、．

在“黄金双曲线”中，，．

又，，则，

在等式的两边同时除以可得，

，解得.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

12．已知函数（为自然对数的底数），若在上有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.

【详解】由，即，得，

令，其中，，令，得，列表如下：

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以，函数的最小值为，.

因此，实数的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题考查利用导数求解函数不等式能成立问题，利用参变量分离法转化为函数的最值是一种常见的解法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

二、填空题

13．命题“”的否定是“ ”．

【答案】，

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“”的否定是，

14．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，已知比赛结果没有并列名次记“甲得第一名”为，“乙得第一名”为，“丙得第一名”为，若是真命题，是真命题，则得第一名的是              ．

【答案】乙

【解析】直接利用复合命题的真假判断推理得到答案.

【详解】由是真命题，，可知p、q中至少有一个是真命题，因为比赛结果没有并列名次，说明第一名要么是甲，要么是乙；且r是假命题；

又是真命题，则是真命题，即p是假命题.

故得第一名的是乙.

故答案为：乙.

【点睛】复合命题真假的判定:

(1) 判断简单命题的真假;

(2) 根据真值表判断复合命题的真假.

15．已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则            ．

【答案】

【分析】根据空间向量数量积的定义可求得，进而求得的值，从而求解.

【详解】因为，且两两夹角为，

所以，

所以，

所以.

故答案为：.

16．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是     

【答案】

【分析】由双曲线定义和勾股定理可得，可得.

【详解】  

如图：

由得，，

，，

由题意：，，

，

所以，

故答案为：

三、解答题

17．已知复数，（是虚数单位）.

（1）若z是纯虚数，求m的值；

（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第一象限，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据复数的运算，化简复数，根据其为纯虚数，即可列方程求得参数；

（2）根据（1）中的化简结果，以及共轭复数的定义，求得，根据对应点所在象限，列出不等式，解不等式即可求得.

【详解】（1），

∵z是纯虚数，∴，且，

解得.

（2）∵是z的共轭复数，所以，

∴

，

复数在复平面上对应的点在第一象限，

∴，解得，

即实数的取值范围为.

【点睛】本题考查复数的运算，涉及共轭复数的求解，由复数对应点所在象限，求参数范围的问题，属综合基础题.

18．计算：，；所以；又计算：，，；所以，．

（1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题；

（2）判断该命题的真假．若为真，请用分析法给出证明；若为假，请说明理由．

【答案】（1）；（2）真命题

【分析】（1）根据所给结论，可写出一个一般性的命题．

（2）利用综合法证明命题是一个真命题．

【详解】（1）一般性的命题：是正整数，则

（2）命题是真命题．

因为

因为

所以.

【点睛】本题考查简易逻辑，推理和证明，属于一般题．

19．已知数列中，

（1）求，，的值；

（2）猜测的表达式，并用数学归纳法证明.

【答案】（1），，；（2）；证明见解析

【分析】（1）由数列的递推公式及的值即可求得，，的值；

（2）先猜测，再利用数学归纳法证明即可.

【详解】解：（1）因为，，

所以，同理，，

即，，；

（2）猜想，

证明如下：

①当时，，显然满足题意，

②设且)时，，

则，

即当时，等式也成立，

综上可得.

【点睛】本题考查了数列的递推公式及数学归纳法，重点考查了运算能力，属中档题.

20．已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，.

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】（1）证明，得到平面，得到证明.

（2）以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，平面的一个法向量，利用夹角公式得到答案.

【详解】(1)在等腰梯形中，，，

，所以，即，

又因为，且，所以平面，

又因为平面，因此平面平面.

(2)连接，由(1)知，平面，所以，

所以，

所以，即，

又，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，

设平面的法向量为，因为，，

所以即

令，则，，所以平面的一个法向量，

平面，平面的一个法向量，

所以，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

21．已知椭圆：()的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线经过的左焦点且与相交于、两点，以线段为直径的圆经过椭圆的右焦点，求的方程．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】（1）根据离心率求出b,即可得到方程；

（2）直线的方程为，点、，利用向量求解即可.

【详解】（1）由题意得，，，解得，

∴椭圆方程为；

（2）由题目可知不是直线，且、，

设直线的方程为，点、，

代入椭圆方程，整理得：，恒成立，

∴①，②，

由，得：③，④，

∵，，由题意知，

∴，

将①②③④代入上式并整理得，

∴，

因此，直线的方程为或．

22．已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，是否恒成立? 并说明理由.

【答案】（1）当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间.当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）恒成立，理由见解析.

【解析】（1）函数的定义域为..分和两种情况讨论

的单调性；

（2）令，求出，判断的单调性，求的最小值，看最小值是否大于0.

【详解】（1）函数的定义域为..

当时，在上恒成立，的单调递增区间为，没有单调递减区间.

当时，，

令，得；令，得.

的单调递减区间为，单调递增区间为.

综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间.

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）令.

，

在上单调递增，

，即对任意恒成立.

当时，恒成立.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，属于中档题.